四招破解三角形作高的難點(diǎn)

“三角形作高”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊“三角形的認(rèn)識”一課中的內(nèi)容，歷來被廣大教師公認(rèn)為教學(xué)難點(diǎn)。這學(xué)期，學(xué)校舉行數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽，教學(xué)內(nèi)容為“三角形的認(rèn)識”，共六位教師參賽。為了檢測教學(xué)效果如何，學(xué)校作了新的嘗試，即課后對學(xué)生進(jìn)行作高測試。六輪測試下來，一些共性問題浮現(xiàn)。現(xiàn)將測試中出現(xiàn)的典型錯誤收集、整理如下：

經(jīng)過討論，我們將上述典型錯誤歸為以下四類，并從學(xué)生的認(rèn)知心理及教師的教學(xué)方法方面作了成因分析。

第一類：高沒有從頂點(diǎn)出發(fā)（錯誤見③⑧）

成因分析：沒有真正理解三角形高的含義。

關(guān)于“高”，學(xué)生并不陌生，對生活中的高有一定的認(rèn)知，也已經(jīng)學(xué)會作平行四邊形的高，這些經(jīng)驗對學(xué)生認(rèn)識三角形的高有一定的幫助，但同時也會帶來負(fù)遷移。部分學(xué)生認(rèn)為三角形高的含義與平行四邊形高的含義相同，作高的方法也相同，實(shí)則兩者的含義是有區(qū)別的。平行四邊形的高的實(shí)質(zhì)是平行線之間的距離，而三角形的高是最高點(diǎn)到對邊的距離。因此，在作高時，平行四邊形可從對邊任意一點(diǎn)到底邊引垂線段，三角形則不行，必須從頂點(diǎn)出發(fā)。教學(xué)中，教師沒有強(qiáng)調(diào)其中的區(qū)別，學(xué)生便會出現(xiàn)此類錯誤。

第二類：高與底不對應(yīng)（錯誤見①⑥⑩）

成因分析：不明確三角形中底與高的相互對應(yīng)關(guān)系。

生活中接觸的高，一般是以水平邊為底，方向是垂直的，高也是唯一的。然而，數(shù)學(xué)中三角形的高卻復(fù)雜得多，在一個三角形中有三組不同的底和高，高隨著底的變換而變換。這與生活經(jīng)驗產(chǎn)生了強(qiáng)烈的沖突，學(xué)生覺得難以理解。教學(xué)中，教師又缺乏有效的教學(xué)手段讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的高，明確底與高的相互對應(yīng)關(guān)系。最后，學(xué)生或置斜底不顧，仍作了水平邊上的高，或作與頂點(diǎn)所在邊垂直的高。

第三類：高與底假垂直（錯誤見②⑦⑨）

成因分析：三角板的擺放不夠規(guī)范。

出現(xiàn)這一類錯誤的學(xué)生已經(jīng)能找到高的位置，但是三角板的擺放不夠規(guī)范、到位。三角形作高需要做到“雙重合”，即“邊重合”——三角尺的一條直角邊與底邊重合；“點(diǎn)重合”——另一條直角邊與頂點(diǎn)重合。這對于四年級學(xué)生來說，存在一定的難度。另外，教學(xué)上也有值得商榷之處：一是教師示范不到位；二是缺乏作高步驟的提煉。

第四類：不會找直角邊上的高（錯誤見④ ⑤）

成因分析：認(rèn)為高一定在三角形內(nèi)部。

給銳角三角形畫高后，學(xué)生思維上產(chǎn)生一種定式，即高都在三角形內(nèi)部。即使教師課上對以直角邊為底作高已作引導(dǎo)，但學(xué)生獨(dú)立作高時，這種固有的思維定式仍在干擾，他們認(rèn)為高和三角形的邊是兩回事，不可以是同一線段。因此，學(xué)生有的把高畫在了三角形中間，有的把高畫在非常接近另一條直角邊的位置，但就是不重合。

那么，針對學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，如何順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知心理特點(diǎn)，在課堂教學(xué)中有的放矢，有效破解三角形作高這一教學(xué)難點(diǎn)呢？筆者翻閱了大量的資料，在借鑒了許多教師寶貴經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進(jìn)行個性化處理，悟出“四招”破解之術(shù)，并付諸實(shí)踐，收效不錯，現(xiàn)闡述如下。

一、比較中理解高的含義

1.比身高，啟發(fā)高須從頂點(diǎn)出發(fā)

即從學(xué)生熟悉的比身高進(jìn)行啟發(fā)。當(dāng)兩人站在一起比身高時，誰高誰矮一定要看兩人的頭頂，而不能比兩人的肩膀誰高。上課時可先請兩位學(xué)生上臺比身高，突出高應(yīng)從頭頂即最高點(diǎn)開始測量。

2.比三角形的高，滲透三組不同的底和高

筆者嘗試從比三角形哪個高入手，讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的硬紙做的三角形，比比哪個三角形高一些。在同桌合作活動中，學(xué)生會把三角形豎起來，使三角形的一條邊和桌子面貼在一起，比較誰的三角形（如圖1）高一些。這樣學(xué)生很容易想到要看最上面的一個頂點(diǎn)的位置，因為那個點(diǎn)是最高的。在比的過程中，學(xué)生為了證明自己的三角形高一些，還會變換與桌子面貼在一起的那條邊（如圖2），這時他們又能發(fā)現(xiàn)當(dāng)放在底下的一條邊變化時，三角形的高度也會發(fā)生變化，從而得出三角形有三個不同的高度。

二、溝通中解析作高的實(shí)質(zhì)

從三角形的一個頂點(diǎn)到它的對邊做一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。從定義剖析可知，作高的實(shí)質(zhì)是學(xué)生已學(xué)會的“過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線”。因此，幫助學(xué)生溝通新舊知識的聯(lián)系，能收到事半功倍的教學(xué)效果。

1.溫習(xí)舊“技”

請在下圖中過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線。

（畫完后，請學(xué)生說說畫垂線時三角板是怎么擺放的）

2.溝通新知

把已知直線上的兩點(diǎn)分別與直線外一點(diǎn)連結(jié)（去掉多余的線條，并將所畫垂線改成虛線），便出現(xiàn)了三個三角形。如下：

教師引導(dǎo)：“點(diǎn)到直線的垂線段，在三角形中就是會么？”由此溝通新舊知識間的聯(lián)系，解析三角形作高的方法與經(jīng)過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線方法是相同的。

3.明確對應(yīng)

明確底所對應(yīng)的頂點(diǎn)，是準(zhǔn)確作高的先決條件。教師有必要向?qū)W生講明，底所對應(yīng)的頂點(diǎn)即除了與底邊相連的兩個頂點(diǎn)外的另一個頂點(diǎn)。

課上可組織這樣的游戲（出示四個方位、形狀都不一的三角形，頂點(diǎn)處分別標(biāo)上字母）：比比誰的反應(yīng)快。教師說表示頂點(diǎn)的字母，學(xué)生搶答與這個頂點(diǎn)相對的邊；如果教師指著三角形的一條邊，學(xué)生搶答與這條邊相對的頂點(diǎn)的字母。在輕松的游戲中使學(xué)生明確對應(yīng)的底和頂點(diǎn)，為正確作高埋下伏筆。

三、規(guī)范、借鑒中保證作高的準(zhǔn)確性

1.選擇好示范的時機(jī)

從學(xué)生的錯誤看，筆者認(rèn)為，斜邊上作高比在水平邊上作高更有示范的必要性。因此，教師要選擇好示范的時機(jī)，將在斜邊上作高示范在“刀刃”上。

2.提煉作高的步驟

教師示范作高的同時，不要忘記引導(dǎo)學(xué)生提煉出作高的步驟：①重合邊；②重合點(diǎn)；③畫線，標(biāo)記。有了步驟作支撐，學(xué)生會不斷地將之內(nèi)化為一種規(guī)范，從而作出準(zhǔn)確的高，并養(yǎng)成良好的作圖習(xí)慣。

3.借鑒“尺板作高法”

四年級學(xué)生借用工具作圖的動手協(xié)作、準(zhǔn)確把握等能力尚處于初級階段，對于一部分中下學(xué)生來說，要掌握三角形正確作高的技能，必須通過很多次的協(xié)同操練。為提高教學(xué)效率，對于這部分學(xué)生，需另尋他法。

筆者借鑒了上虞市實(shí)驗小學(xué)教改項目的研究成果，向?qū)W生介紹了“尺板作高法”，收到了較好的效果。所謂“尺板作高法”，即用一塊三角板再輔以直尺協(xié)同作高。如下圖，尺對底，三角板的直角邊對點(diǎn)，直尺當(dāng)“軌道”，三角板當(dāng)作“小火車”，一條直角邊緊扣住“軌道”移動，另一條直角邊“開”到頂點(diǎn)停下，作高。“尺板作高法”比起“一板作高法”（一塊三角板作高）看似工具多了，復(fù)雜了，而實(shí)踐證明，這樣教學(xué)教師教得輕松，學(xué)生學(xué)得也輕松。