把握數學本質 破解學習困難

在進行錯題分析時，筆者不禁思考：為什么學生這么難掌握乘法分配律？原因到底出在哪里？學生在學習這一內容時會遇到哪些困難？這些困難又該如何解決？乘法分配律該如何進行教學才是有效的呢？

二、原因分析

筆者通過對教材、教師和學生三個層面的調查與分析，發現了產生這些問題的一些主要原因。

1.教材層面

筆者首先翻閱了人教版四年級下冊的教材，發現教材對于這部分內容在編排上具有相對集中的特點，知識趣味性不強，練習量又遠遠不夠，不利于學生在短時間內理解和掌握，所以學生在第一次學習乘法分配律時不是很扎實。先入為主的錯誤學法，再加上小數、分數的存在，所以后面在學習小數乘法的簡便運算和分數乘法的簡便運算時，乘法分配律就成了學生的“老大難”問題。

2.教師層面

（1）重外形，缺內在。

大部分教師在教學乘法分配律時，將側重點放在觀察算式的外在形式上，淡化了內在算理的闡釋，導致學生只會機械地記憶規律，不能理解規律的內涵本質。因此，學生運用乘法分配律時往往將括號外的數只乘括號內的一個數，出現如（32+48）×5=32×5+48、48×2+48=48×2+1、32×5+48×5=32+48×5等類型的錯誤。

（2）重灌輸，缺建構。

大部分教師在教學乘法分配律時，往往受功利驅使，根本不顧學生已有的知識經驗和知識的生長點，而是另起爐灶，強迫學生建“空中樓閣”——數學模型，即“硬逼”學生根據幾個等式發現規律性的內容，概括出乘法分配律，時間稍長，這種暫時性的記憶必然消失。

（3）重練習，輕體驗。

學生缺乏對知識的深層體驗，即使運用題海戰術，也很難達到熟能生巧的目的。

3.學生層面

（1）心理方面。

中、高年級學生的自尊心強，他們對于一些行為或心理問題會進行有目的的掩飾，當數學學習不好、回答問題或作業出錯時，就會不懂裝懂，回避困難。

（2）認知方面。

第一，感性積累少。對于加法、乘法的交換律和結合律，學生在正式學習之前就經常運用，積累了大量的感性經驗，但學生在學習乘法分配律之前很少有這方面的感性積累與直接經驗。盡管學生在學習筆算乘法時也曾用到過乘法分配律，但那時還處于無意識的狀態。第二，內在算理混淆。乘法分配律的形式變化比較大，因為學生缺乏對乘法分配律內在算理的理解，所以乘法分配律一變式，學生就摸不著頭腦了。如35×99+35、4.6×2.3+0.54×23、×55等，這些都是乘法分配律中常見的不完整結構的算式，學生由于不能深刻理解乘法分配律的算理，往往會無從下手。第三，自主體驗缺失。課堂上學生只是從形式上感知了規律，未從實質上加以領悟。

三、教學對策

知惑而后解惑，方能對癥下藥。基于前面的原因分析，筆者認為，最終的源頭還在于對數學本質的認識。所以，筆者提出了三個層次的教學策略來破解學生學習乘法分配律時的困難。

1.系統把握，注重前期滲透

前面筆者已經提到學習乘法分配律不能建空中樓閣，應該注重學生已有的知識經驗，找到知識的生長點，經過同化和順應，構建新的認知結構。那么，學生已有的知識經驗、知識的生長點是什么呢？怎樣構建新的認知結構呢？筆者認為學生已有的知識經驗是“幾個幾加幾個幾等于幾個幾，幾個幾減幾個幾等于幾個幾”，因為在低年級學習乘法的意義后，后繼教材中都有所孕伏、滲透。所以，我們在教學乘法分配律前，需要認真地研讀教材的真正用意，系統地把握好教材，為學生的后繼學習打好基礎。

（1）充分理解乘法算式的意義。

在人教版第三冊“7的乘法口訣”第79頁練習題中有這樣的題目：

在教學這一題時，教師不要只為計算而計算，需要最大限度地發揮練習題的多重功能。如“7×6+7”可以先讓學生計算出結果，接著教師可提問：“除了這種方法，我們還可以怎樣算呢？”有些學生可能會根據算式的意義“6個7連加后，再加一個7，就等于7個7，所以可以用7×7=49”來計算，這其實就是學習乘法分配律簡便計算的基礎。如果在計算這道題時，教師能讓每個學生對乘法意義都理解到位，那到了四年級學習乘法分配律時，學生的困難就會大大減少。

（2）在具體情境中理解拆分。

人教版第六冊“筆算乘法”第63頁有這樣一題：

在學習“兩位數乘兩位數筆算乘法”時，教師應引導學生關注把12拆分成“10+2”，明白24×12就是求2個24與10個24的和。學生有了把“一個數拆分成兩個數相加的和”的經驗積累，到了學習乘法分配律時就不會感覺那么困難了。

2.立足本質，促進意義建構

在簡算教學中，教師結合教學內容，聯系現實生活創設情境，能很好地讓學生從數學活動中去體驗，從數學與生活原型中尋求支點，有利于解決數學內容高度抽象性和小學生思維具體形象性之間的矛盾。這里的關鍵是創設怎樣的情境和怎樣利用這個情境。

（1）突出現實背景，為自主建構運算定律提供支點。

學生對計算方法的選定，更多的是依賴于生活實踐中積累的真實想法與最自然化的理解。如：“天氣變冷了，李阿姨到批發市場去批發衣服。看中一件上衣56元，一條褲子44元，如果她想批8套這樣的衣服，一共要多少元？你可以用哪些方法解答？”面對這樣的問題，學生出現56×8+44×8和（56+44）×8兩種解決方法，然后教師組織學生對這兩種方法進行分析比較。學生除了得出兩種算法有相同的結果外，更重要的是還驚喜地發現當上衣、褲子的單價正好可以湊成整十、整百時，把它們先合起來再乘會更簡便，從而得到了一種優化的解題方案。因此，教學中，教師需要創設一些情境來幫助學生真正從模仿走向理解。

（2）注重意義感悟，為自主建構運算定律打下基礎。

如上述案例中，在學生得出56×8+44×8=（56+44）×8后，教師可趁熱打鐵地追問學生：“如果不計算，你能用以前學過的知識來解釋這兩種解法為什么相等嗎？”接著以數形結合的思想，引導學生根據乘法意義來理解兩種解法相等的算理。如：“學校擴建草坪（如右圖），求擴建后的草坪面積。”在數形圖的幫助下，學生明白8個56加8個44等于8個100（即56+44）的道理。在后繼的練習中，教師有必要反復多樣地呈現這樣的情境，然后引導學生看著算式去思考，不斷思考算式的本意。

（3）逐步抽象概括，為自主建構運算定律搭建模型。

如在上述教學的基礎上，教師又安排了橫向比較抽象、逐步符號抽象和新舊對比抽象的三次抽象活動。橫向比較抽象（把例題中的“8套”改成“20套”，列成等式成立嗎？為什么）脫離了具體數的抽象，從中引導學生初步總結出乘法分配律；逐步符號抽象（將“20套”改成“c套”，能列成等式嗎？為什么？這里的c能表示哪些數？把“56元”改成“a元”，把“44元”改成“b元”，等式怎么變）脫離了具體情境的抽象，從中引導學生進一步感悟乘法分配律的特征，并得到乘法分配律的字母表達式；新舊對比抽象（“a+b”在這里表示一套衣服的價錢，除此之外，還能表示哪些數量？溝通舊知“速度和”“長寬和”等與新知間的聯系）脫離了具體數和具體情境的抽象，從中引導學生在溝通中完善關于運算定律的認知結構，并進一步加強對乘法分配律特征的認識。乘法分配律模型的建構，在以上三次抽象的過程中自然生成了。

特別要強調的是，教師在引導學發現、總結運算定律時，不能只重視結論的得出，而忽略探究的過程。教師要給學生留出自主探索的時空，讓學生運用已有經驗，在合作與交流中，把對乘法分配律的認識由感性逐步發展到理性，合理地建構知識。學生只有經過自己的觀察、驗證后，才會對乘法分配律有實實在在的體驗和理解。關于學生對乘法分配律的口頭表述，教師不要提過高的要求，學生只要能抓住要領，基本講清楚就可以了。

3.后期延伸，提高簡算意識

學習乘法分配律的最終落腳點不在于對內涵本質的理解，在于運用乘法分配律進行簡便運算，而簡便計算教學的落腳點又在于使學生形成自覺計算的意識和能力。

（1）理解為本，強化對比性。

運用乘法分配律進行簡便計算要重在“悟”，不能“灌”。面對靈活多樣的變式題，教師不能讓學生去生搬硬套公式，需要引導學生尋找它的意義本源，尋找這些特例與運算定律之間的內在聯系，然后構建新的認知結構。例如，簡算32×101與32×99時，可以引導學生進行對比：32×101表示101個32是多少，可以先算100個32是3200，再加上1個32，合起來就是3232；32×99表示99個32是多少，可以先算100個32是3200，再減去1個32，得到3168。這樣既進行了算式意義上的區分，又在內涵上溝通了原式與乘法分配律間的內在聯系。