小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生運(yùn)算能力差異的調(diào)查與分析

運(yùn)算能力是指根據(jù)一定的數(shù)學(xué)概念、法則和定理，結(jié)合運(yùn)算技能和思維能力使某些運(yùn)算順利完成的個(gè)性特征。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)運(yùn)算能力的研究較多，比較有代表性的觀點(diǎn)是“小學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與小學(xué)生的算理知識(shí)、算法技能以及思維品質(zhì)的個(gè)性特征有關(guān)”。較多相關(guān)研究主要從運(yùn)算能力的某個(gè)方面入手，本文試圖通過訪談與測(cè)試相結(jié)合的方式，分析比較小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生在算理、算法、思維品質(zhì)方面的差異；同時(shí)以美國(guó)教育心理學(xué)家加涅的學(xué)習(xí)分類理論為依據(jù)，在借鑒新西蘭小學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)展研究項(xiàng)目（NDP）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生在運(yùn)算能力結(jié)構(gòu)方面的差異，希望能為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供一些參考。

一、研究方法

1.被試對(duì)象的選擇

被試對(duì)象從廣西南寧市非示范性小學(xué)四年級(jí)的三個(gè)平行班級(jí)學(xué)生進(jìn)行選擇。根據(jù)2012年1月數(shù)學(xué)期考成績(jī)，并結(jié)合數(shù)學(xué)科任教師意見，確定選取30名學(xué)優(yōu)生、30名學(xué)困生進(jìn)行訪談及測(cè)試。

2.調(diào)查工具

本研究依據(jù)《〈全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〉（修改稿）》及現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材，自編運(yùn)算能力測(cè)試題一套。測(cè)試題分為口算及筆算兩部分，施測(cè)時(shí)口算部分命名為《小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力測(cè)試卷（口算部分）》，內(nèi)容包括百以內(nèi)的加減，表內(nèi)乘除，一位數(shù)乘除兩位數(shù)的口算題，兩位數(shù)乘除三位數(shù)的估算題。共20個(gè)小題，總分20分，限時(shí)10分鐘。筆算部分命名為《小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力測(cè)試卷（筆算部分）》，內(nèi)容包括：列豎式計(jì)算三位數(shù)乘（除）以兩位數(shù)、三位數(shù)的加減，四則同級(jí)運(yùn)算及混合運(yùn)算題；包含兩位數(shù)以內(nèi)四則運(yùn)算的填空題和找規(guī)律填數(shù)題。共四大題，總分80分，限時(shí)30分鐘。測(cè)試數(shù)據(jù)使用SPSS17.0進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。經(jīng)前測(cè)修訂并實(shí)施測(cè)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)得出試卷的難度系數(shù)為0.709，信度系數(shù)0.89；試題平均區(qū)分度為0.415，即試卷難度適中，信度、區(qū)分度較高。

二、結(jié)果分析

1.算理知識(shí)的比較

學(xué)生的算理知識(shí)掌握情況按數(shù)的意識(shí)、概念原理、位值關(guān)系、基本事實(shí)記憶四個(gè)維度進(jìn)行分析。結(jié)合測(cè)試及訪談?wù){(diào)查，按照不同類別的平均分進(jìn)行差異比較，結(jié)果如表1所示：

由表1知，在算理知識(shí)方面，學(xué)優(yōu)生顯著優(yōu)于學(xué)困生。在數(shù)的意識(shí)、概念原理、位值關(guān)系方面學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生的差異很大，達(dá)到統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的顯著性程度，在基本事實(shí)記憶方面有一定差異，但差異未達(dá)到統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的顯著水平。

2. 算法技能的比較

算法技能差異以區(qū)分辨別、選擇應(yīng)用、規(guī)則和高級(jí)規(guī)則四個(gè)亞類對(duì)學(xué)生進(jìn)行差異分析。我們采用統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件SPSS17.0進(jìn)行兩個(gè)獨(dú)立樣本的T檢驗(yàn)，結(jié)果如表2所示：

由表2知，在算法技能方面學(xué)優(yōu)生顯著優(yōu)于學(xué)困生。學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生在區(qū)分辨別、選擇應(yīng)用、高級(jí)規(guī)則運(yùn)算方面差異達(dá)到統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的極其顯著的水平，在規(guī)則運(yùn)算方面差異達(dá)到統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的顯著水平。

3.思維品質(zhì)的比較

在小學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算中，突出的思維品質(zhì)是敏捷性、靈活性等方面。本研究主要做了學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生思維敏捷性的差異性檢驗(yàn)。先計(jì)算出規(guī)定時(shí)間內(nèi)學(xué)生運(yùn)算的平均分，再進(jìn)行兩個(gè)獨(dú)立樣本均值差異的顯著性檢驗(yàn)（T檢驗(yàn)），結(jié)果如表3所示：

4.典型試題分析

為了更清晰地了解學(xué)生在運(yùn)算中出現(xiàn)的問題，我們選擇部分典型試題進(jìn)一步分析。

【例1】 口算題：107+3×0。

本題學(xué)優(yōu)生組正確率為100%，學(xué)困生組正確率僅為15%。設(shè)計(jì)訪談問題為：這道題為什么這么做？部分計(jì)算錯(cuò)誤的學(xué)生說：“因?yàn)?乘任何數(shù)為0，所以答案為0。”說明這部分學(xué)生并沒有很好地理解“0乘任何數(shù)為0”的概念原理，不明確這一原理應(yīng)用的前提條件。可見學(xué)困生在算理知識(shí)方面認(rèn)知不清晰。另外，學(xué)生先算了加法再算乘法，分析其錯(cuò)誤的原因也與四則運(yùn)算順序混亂有關(guān)。

【例2】 計(jì)算題：46+130÷10-10=46+130÷0。

本題有學(xué)生在計(jì)算過程中出現(xiàn)了“0”為被除數(shù)，得到130÷0=0的錯(cuò)誤結(jié)果。學(xué)困生組出現(xiàn)此類錯(cuò)誤的達(dá)到64.3%。受訪學(xué)生講述“好像有任何數(shù)除以0得0這個(gè)定理吧”，由此可見學(xué)生對(duì)一些基本算理識(shí)記不清。另外，部分受訪學(xué)生可以正確講述四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序規(guī)則，說明學(xué)生是知道這一算理知識(shí)的，但是當(dāng)中仍有不少學(xué)生說“看到10-10就想到可以得0，算題就可以簡(jiǎn)化”，可見學(xué)困生在遇到高級(jí)規(guī)則類型運(yùn)算時(shí)，難以正確地選擇和應(yīng)用恰當(dāng)?shù)乃惴ā?/p>

【例3】 口算題：（1）（61-34）÷3；（2）56+56+56。

在對(duì)學(xué)生思維敏捷性的考查方面，題目設(shè)置了具有聯(lián)系的兩道題： 27÷3=9和（61-34）÷3=27÷3=9。多數(shù)學(xué)困生未能注意到這兩題間的聯(lián)系，沒能快速利用“27÷3=9”的結(jié)果得出“（61-34）÷3”的答案。在口算題“56+56+56”的計(jì)算中，多數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤的學(xué)生表示仍然是從左至右依次計(jì)算，而學(xué)優(yōu)生組大部分都能轉(zhuǎn)化為”56×3“進(jìn)行運(yùn)算。從測(cè)試情況看，學(xué)困生不僅計(jì)算速度慢，并且正確率不高。分析認(rèn)為學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生在思維敏捷性、靈活性等思維品質(zhì)方面差異較大。

三、討論

算理屬于知識(shí)層面，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)，主要說明“為什么這么算”的問題。學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生在算理知識(shí)方面有差異，主要體現(xiàn)在數(shù)的意識(shí)、概念原理、位值關(guān)系、基本事實(shí)記憶四個(gè)方面。例如學(xué)生在計(jì)算中常出現(xiàn)沒使用0進(jìn)行補(bǔ)位或占位，計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)漏0和多個(gè)0等錯(cuò)誤，說明學(xué)生沒有真正理解“0”在不同情境中所代表的數(shù)量關(guān)系和含義。可見學(xué)困生頭腦中沒有建立起良好的數(shù)感，數(shù)的意識(shí)有所欠缺。有研究表示原因可能與元認(rèn)知能力低下、缺乏自我核查能力有關(guān)。其次，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算相關(guān)概念原理的內(nèi)涵和外延認(rèn)識(shí)不清晰，概念認(rèn)識(shí)僅僅浮于表面，一旦改變運(yùn)算情境，容易造成認(rèn)知沖突，即在認(rèn)知過程中當(dāng)原有的概念或認(rèn)知與現(xiàn)實(shí)情境不相符時(shí)在心理上產(chǎn)生了矛盾沖突，此時(shí)出現(xiàn)了概念運(yùn)用混亂等問題。另外，學(xué)困生對(duì)位值關(guān)系的理解掌握欠佳，缺乏計(jì)算步驟的組織排序能力；同時(shí)對(duì)一些基本公式、表內(nèi)乘除法、20以內(nèi)的加減法等基礎(chǔ)知識(shí)記憶不牢固也影響了運(yùn)算的順利進(jìn)行。

算法屬于技能層面，主要回答“怎么算”的問題。從調(diào)查情況看，學(xué)優(yōu)生相較于學(xué)困生能更好地進(jìn)行區(qū)分辨別、選擇應(yīng)用，并能更好地掌握規(guī)則運(yùn)算與高級(jí)規(guī)則運(yùn)算。本研究將二位數(shù)以內(nèi)（含二位數(shù)）一步運(yùn)算劃分為規(guī)則運(yùn)算類型，三位數(shù)以上（含三位數(shù)）二步以上（含二步）同級(jí)或混合運(yùn)算劃分為高級(jí)規(guī)則運(yùn)算類型。測(cè)試結(jié)果顯示學(xué)困生在高級(jí)規(guī)則運(yùn)算的運(yùn)算順序，例如多次進(jìn)位、退位、借位計(jì)算時(shí)出錯(cuò)較多。分析認(rèn)為，高級(jí)規(guī)則運(yùn)算需要更多的認(rèn)知策略參與計(jì)算加工過程。加涅認(rèn)為認(rèn)知策略是一種自我控制過程，是選擇和調(diào)整注意、記憶和思維等的內(nèi)部過程。學(xué)困生注意力的穩(wěn)定程度和分配能力水平較低，并且容易受到工作記憶維持時(shí)間較短的影響，多次進(jìn)位、退位的數(shù)值難以在學(xué)生頭腦中長(zhǎng)時(shí)間保持，此時(shí)思維過程受阻礙，容易造成計(jì)算錯(cuò)誤。此外，學(xué)困生容易受到知識(shí)的負(fù)遷移影響，當(dāng)學(xué)生看到熟悉的數(shù)字和運(yùn)算時(shí)，容易忽視運(yùn)算對(duì)象的整體特征，沒有區(qū)分辨別就隨意運(yùn)用已知的算法計(jì)算。而學(xué)優(yōu)生知識(shí)結(jié)構(gòu)較為完善，能夠在各種情境中對(duì)算題進(jìn)行整體分析，因而無論是規(guī)則還是高級(jí)規(guī)則，他們都能夠選擇并應(yīng)用恰當(dāng)?shù)姆椒ê筒呗赃M(jìn)行運(yùn)算。

運(yùn)算的過程也是思維的過程，思維屬于能力層面，是運(yùn)算能力的核心部分。小學(xué)階段運(yùn)算能力的要求是“算得正確、迅速；計(jì)算方法合理、靈活”。在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，思維敏捷性主要是指學(xué)生快速并準(zhǔn)確運(yùn)算的能力，因此思維敏捷性這一思維品質(zhì)在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算中顯得尤為重要。學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生計(jì)算策略的使用有所不同，學(xué)困生常使用數(shù)手指、口頭數(shù)數(shù)的策略，減慢了運(yùn)算速度；學(xué)優(yōu)生熟悉算理、算法，能夠直接使用提取策略進(jìn)行運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算的敏捷快速。在考察小學(xué)生思維的靈活性方面，測(cè)試題目提出“能簡(jiǎn)便運(yùn)算的要簡(jiǎn)便運(yùn)算”，然而學(xué)困生算理知識(shí)貧乏，算法技能不熟練，難以選擇優(yōu)化的運(yùn)算途徑，計(jì)算靈活性更無從談起。學(xué)優(yōu)生具備了較好的思維敏捷性、靈活性等思維品質(zhì)特征，他們更善于觀察事物間的聯(lián)系，能夠快速尋找正確或較佳途徑解決計(jì)算問題。

四、結(jié)論和建議

1.結(jié)論

學(xué)優(yōu)生的算理知識(shí)、算法技能、思維品質(zhì)顯著優(yōu)于學(xué)困生。

在算理知識(shí)方面，學(xué)優(yōu)生和學(xué)困生主要在數(shù)的意識(shí)、概念原理、位值關(guān)系、基本事實(shí)記憶方面表現(xiàn)出不同的差異，其中在數(shù)的意識(shí)、概念原理、位值關(guān)系方面差異性達(dá)到了統(tǒng)計(jì)學(xué)里的顯著水平。

在算法技能方面，學(xué)優(yōu)生和學(xué)困生在區(qū)分辨別、選擇應(yīng)用、規(guī)則和高級(jí)規(guī)則方面表現(xiàn)出了顯著差異。

在思維品質(zhì)方面，學(xué)優(yōu)生的思維敏捷性顯著優(yōu)于學(xué)困生。

2.建議

對(duì)學(xué)生來說，探索的過程要比探索所得的結(jié)果更為重要。在探索的過程中思維的靈活性、流暢性隨之發(fā)展，學(xué)生覺得學(xué)習(xí)是一種樂趣、是一種滿足，繼而引發(fā)學(xué)習(xí)的興趣和求知欲。教學(xué)中應(yīng)把巧設(shè)生活情境、引導(dǎo)學(xué)生探究新知與算理教學(xué)結(jié)合起來。恰到好處的探索教學(xué)不僅可以讓學(xué)生感悟到數(shù)與運(yùn)算的價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義，引發(fā)數(shù)學(xué)的思考，同時(shí)也有利于加深學(xué)生對(duì)相關(guān)概念原理的理解。

在算法技能方面，應(yīng)注意進(jìn)行數(shù)和運(yùn)算的對(duì)比辨析訓(xùn)練，訓(xùn)練要由淺入深。如位數(shù)增加的運(yùn)算訓(xùn)練、同級(jí)運(yùn)算與混合運(yùn)算的比較訓(xùn)練等。同時(shí)，針對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤較多的算題進(jìn)行正誤辨析，加強(qiáng)學(xué)生的區(qū)分辨別和策略應(yīng)用能力，訓(xùn)練提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性。

要進(jìn)一步提高運(yùn)算能力，重點(diǎn)在于培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維能力。小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的思維已經(jīng)開始由具體形象思維過渡到抽象思維，這一階段的思維能力培養(yǎng)對(duì)其今后的數(shù)學(xué)能力發(fā)展有著重要影響。因而教學(xué)中應(yīng)注重積極發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合理選擇簡(jiǎn)捷運(yùn)算途徑的意識(shí)和習(xí)慣，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)一道題進(jìn)行多角度、多方位的探索，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的提高。

（責(zé)編 金 鈴）