內(nèi)圓外正四邊形同軸線內(nèi)TEM波的場結(jié)構(gòu)及其特性阻抗*

王福謙

(長治學(xué)院電子信息與物理系，山西長治046011)

為了傳輸微波功率，人們提出并實(shí)現(xiàn)了各種結(jié)構(gòu)形式的傳輸線(即特種截面同軸傳輸線)，例如，由圓柱體和正N邊形組成的同軸傳輸線，它可以與普通同軸線實(shí)現(xiàn)寬帶匹配，用它作定向耦合器比普通同軸線更便于工程設(shè)計(jì)。由于圓柱和正N邊形不屬于同一正交坐標(biāo)系，所以嚴(yán)格求解比較困難。目前文獻(xiàn)［1-3］中多報(bào)道的是特種截面?zhèn)鬏斁€特性阻抗的計(jì)算，而對(duì)其內(nèi)部TEM波的場結(jié)構(gòu)研究還未見涉及。鑒于特種截面?zhèn)鬏斁€TEM波場結(jié)構(gòu)在工程上的重要性，本文擬利用數(shù)值保角變換法研究內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線內(nèi)TEM波的分布規(guī)律，繪制出其橫截面上的場結(jié)構(gòu)圖，并給出特性阻抗的計(jì)算公式。

1 內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線橫截面的變換

圖1為內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面，其幾何結(jié)構(gòu)尺寸如圖中所示。在d/b不大時(shí)，可通過變換函數(shù)式(1)［4］，將z平面上的內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面，變換為w平面上的兩同心‘準(zhǔn)圓’，圖2中實(shí)線部分。

圖1 變換前的內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面

圖2 變換后的內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的橫截面

變換后w平面上內(nèi)‘準(zhǔn)圓’的半徑為

由圖1中的幾何尺寸，可得正四邊形的內(nèi)切圓和外接圓的幾何平均半徑為

故變換后w平面上兩同心‘準(zhǔn)圓’中外‘準(zhǔn)圓’的半徑(與圖2中圓周為灰色線的圓對(duì)應(yīng))為

經(jīng)上述數(shù)值保角變換后，z平面上的半徑為d/2的圓和內(nèi)切圓半徑為b/2的正四邊形，就映射為w平面上半徑為r1和平均半徑為r2兩同心‘準(zhǔn)圓’(見圖2)。由于在w平面上傳輸線內(nèi)導(dǎo)體的橫截面的形狀近似為兩同心圓，其內(nèi)部電磁場在該截面上的分布近似呈中心對(duì)稱性，故在w平面上可近似地按圓同軸傳輸線的情形來討論TEM波的分布規(guī)律，再根據(jù)變換關(guān)系最終得到內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線中TEM波的近似解。

2 TEM波的電場和磁場的分布

內(nèi)圓外正四邊形傳輸線中的TEM波的求解，可由靜態(tài)場在相同邊界條件下的解得到其電場在此傳輸線橫截面上的分布，乘以波動(dòng)因子e-jβz得到電場的解，再由麥克斯韋方程得到其磁場的解［5］。

設(shè)內(nèi)圓外正四邊形傳輸線內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電壓為V0e-jβz，由于保角變換并不能改變內(nèi)、外兩導(dǎo)體之間的電壓，故對(duì)靜態(tài)場而言，變換后的近似同軸傳輸線(內(nèi)、外半徑近似為r1和r2)內(nèi)、外兩導(dǎo)體間的電壓仍為V0。

對(duì)同軸傳輸線，其中的電場分布是徑向的［6］，大小與半徑成反比。即

式中er為同軸傳輸線橫截面上的徑向單位矢，A為與電場幅值有關(guān)的常數(shù)。

其中

因此，內(nèi)圓外正四邊形同軸線中的TEM波的電場強(qiáng)度為其中|w|為w平面上場點(diǎn)的矢徑大小。

式(4)中的雅可比橢圓函數(shù)用傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)為［7］2)。對(duì)應(yīng)于將

其中上述表達(dá)式及數(shù)據(jù)代入式(4)，且z=x+iy，有

其中

β為沿傳播方向ez上的相位常數(shù)，對(duì)于TEM模，波數(shù)為工作頻率)，ex、ey為圓內(nèi)外正四邊形同軸傳輸線橫截面上沿橫、縱軸方向的單位矢。

TEM波的電場與磁場由麥克斯韋方程組相互聯(lián)系，滿足如下規(guī)律［5］

由式(6)、式(8)，得

式(6)、式(9)為內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線中為TEM的波近似表達(dá)式。利用式(6)、式(9)還可求得該傳輸線的傳輸功率［8］。

圖3為利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB所繪制出的內(nèi)圓外正四邊形傳輸線橫截面上的TEM波的場結(jié)構(gòu)圖。從該圖可以看出，傳輸線內(nèi)導(dǎo)體表面附近以外的電場在此傳輸線橫截面上的分布呈現(xiàn)出中心對(duì)稱，作出的圖與預(yù)期結(jié)果(電場線與磁感線垂直)基本相符，將雅可比橢圓函數(shù)展開式中所取的項(xiàng)數(shù)再多些，邊界處的場分布符合得會(huì)更好些。其中d=2 cm、b=4 cm。

圖3 內(nèi)圓外正四邊形傳輸線橫截面上TEM波的場結(jié)構(gòu)圖圖

3 特性阻抗

傳輸線的特性阻抗Z0與單位長度電容C0的關(guān)系為［9］

式中ε和μ為傳輸線內(nèi)填充介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。

經(jīng)變換式(1)、式(2)和式(3)，內(nèi)圓外正四邊形同軸線的橫截面已映射為半徑分別為r1和r2兩近似同心圓，由于映射前后傳輸線單位長度的電容量保持不變，這樣就可由內(nèi)、外半徑分別為r1和r2同軸傳輸線的電容值，方便地求出此傳輸線的特性阻抗的近似值。需要說明的是，由于電荷的角效應(yīng)，外導(dǎo)體內(nèi)棱角處電荷密度小，而每邊中點(diǎn)處的電荷密度大。對(duì)變換后的圖2而言，內(nèi)圓柱導(dǎo)體與無電荷角效應(yīng)的外切圓弧之間的電容，要比其與內(nèi)切圓弧之間的電容要小。所以，對(duì)于用內(nèi)切圓和外切圓

將r1、r2的數(shù)值代入上式，得內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線單位長度的電容量為的邊界尺寸取幾何平均來“逼近”變換后的多邊形外導(dǎo)體邊界，由于交替出現(xiàn)了電容增大和電容減小的情況，故對(duì)計(jì)算總平均電容來說，電荷角效應(yīng)的影響很小。因此，用本文下面將給出的方法計(jì)算出的電容值，可作為內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線電容的近似值，其精確度較高。

圓同軸傳輸線單位長C0度的電容為

則內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的特性阻抗為

當(dāng)傳輸線內(nèi)為真空或空氣時(shí)，上式中的電磁參量分別取 ε0和 μ0。

式(13)即為內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線的特性阻抗的近似計(jì)算公式。

4 結(jié)束語

本文采用數(shù)值保角變換法對(duì)內(nèi)圓外正四邊形同軸傳輸線進(jìn)行了研究，給出了該傳輸線內(nèi)TEM波的近似解析解，這種方法物理意義明確、計(jì)算簡單，所得結(jié)論可用于計(jì)算該傳輸線的傳輸功率、計(jì)算其衰減常數(shù)及設(shè)計(jì)有關(guān)的有源器件等。再者，由于新的敏感材料的出現(xiàn)和生物醫(yī)學(xué)工程的發(fā)展，也需要研究各種傳輸線所產(chǎn)生的電磁場，所以，本文所得結(jié)論具有一定的和理論價(jià)值和實(shí)際意義。

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