速度可調空空導彈魯棒末制導律

史 鯤，梁曉庚

（西北工業大學 自動化學院，西安710072）

傳統空空導彈末制導律多為比例導引律或者擴展的比例導引律，這種導引律結構簡單、便于工程實現，但缺點是對于目標的大范圍機動和初始條件的變化，其魯棒性較差。

線性和非線性H∞魯棒控制理論是處理包含不確定性和擾動系統控制問題的一種行之有效的方法[1]，該方法不僅已經應用于飛行器自動駕駛儀的設計[2]，許多學者也將其應用在導彈末制導律的設計中。如文獻[3－4]通過求解哈密爾頓－雅克比偏微分不等式（HJPDI），得到了非線性H∞魯棒制導律，但由于求解偏微分不等式十分困難，因此難以在實際工程中使用。郭建國等[5]提出了一種全局非線性H∞魯棒末制導律，該方法利用李雅普諾夫穩定性理論嚴格證明了制導系統的全局漸近穩定性，無需求解復雜的HJPDI，通過數字仿真驗證了該制導律具有較強的魯棒性和較高的制導精度。但由于傳統空空導彈以固體火箭發動機作為動力裝置，導彈速度不可調節，因此并未對彈目相對運動速度進行控制。

當前，隨著燃氣流量調節技術的發展[6]，變流量沖壓發動機憑借其優越的性能，逐漸成為導彈的動力裝置。例如歐洲的“流星”先進空空導彈，采用了可變流量的整體式固體火箭沖壓發動機作為其動力裝置[7]，通過對燃氣流量的調節，不僅可以擴大沖壓發動機的有效工作范圍，還可以調節推力的大小，從而改變導彈的徑向加速度，實現真正的六自由度控制。

本文以速度可調空空導彈為背景，基于末制導律設計中的準平行接近原理，結合非線性H∞魯棒控制方法，將目標機動看作外部擾動，設計了一種即具有較強魯棒性，又能夠充分發揮沖壓發動機的推力調節能力，實現導彈快速攻擊目的的非線性魯棒末制導律。最后通過數字仿真與結果分析，驗證了該制導律的性能和優勢。

1 魯棒末制導問題的數學描述

將導彈和目標看作質點，考查如圖1所示的彈目相對運動示意圖。圖中，M和T分別表示導彈和目標。坐標系OX0Y0Z0為慣性坐標系，原點O與導彈重合。坐標系OXYZ為末制導視線坐標系，其中，OX軸與彈目視線重合，指向目標方向為正，OY軸處于鉛垂平面內，向上為正，OZ軸按右手法則確定。兩坐標系之間的轉換關系由q和ψ2個角度表示，分別為彈目視線的俯仰角和方位角，即慣性坐標系經過兩次旋轉，就可與視線坐標系重合。

圖1 彈目相對運動幾何關系圖

令r為彈目相對距離，ami和ati（i＝x，y，z）分別為導彈和目標的加速度在視線坐標系上的分量，利用矢量的求導法則，可以得到三維彈目相對運動方程組[8]：

令

則式（1）所示的彈目相對運動學方程可改寫為

將式（2）中的uj（j＝1，2，3）視為控制量，ωj（j＝1，2，3）視為外部擾動，則H∞魯棒末制導律設計問題就可以表述如下。

對于給定的系數γ，系統在導彈控制量u＝（u1u2u3）T的作用下，在任意初始位置，對于有界外部擾動ω＝（ω1ω2ω3）T，都有

成立。式中：z為加權輸出指標向量；系數γ表示對目標機動的敏感程度，一般選為γ≥1。

2 三維魯棒制導律設計

考慮彈目相對運動方程式（2），將魯棒制導律設計為如下形式：

式中：kj，vj（j＝1，2，3）待定。

根據制導律設計中的準平行接近原理，設計的魯棒制導律應使彈目視線角速度盡量趨近于0，即→0，→0。又由于空空導彈采用可調推力的整體式固體火箭沖壓發動機作為其動力裝置，制導律還應該保證彈目相對速度在整個末制導攔截過程中至少不要衰減，從而縮短攔截時間。為此，令系統式（2）的加權輸出指標向量為

式中：＋k項是為了保證足夠大的彈目相對速度，k是一個大于0的常數，其值在后文中確定。選擇v1，v2和v3項作為系統的輸出量，目的是希望導彈所需要的機動能量最小。

根據李雅普諾夫理論，引入正定李雅普諾夫函數：

式中：｜q｜＜π/2。對V進行求導，得：

如果≤0，則閉環系統全局漸近穩定。再定義函數：

式中：v＝（v1v2v3）T。由最優控制理論，對于不同的目標機動，解方程：

式中：

再考慮所需要機動的能量最小，解方程：

代入H1中，可得：

顯然，當滿足如下條件：時，有H1（，，，v，t）≤0。則 由 式（9），又 有γ≥1，可得H（，，，v，ω＊，t）≤0。也就是在式（10）的 條件下，當γ≥1時，有：

由于

代入式（11）可得：

根據李雅普諾夫第二法可知，閉環系統是全局漸近穩定的。特別當系統擾動ω（t）＝0，即目標不機動時，有：

對式（11）兩邊積分得：

式中：V0為系統初始時刻的李雅普諾夫函數。由于制導律的設計采用了準平行接近原理，使得在整個末制導過程中，彈目視線俯仰角速度和方位角速度都非常小（2≈0，2≈0），則可以忽略式（8）中的后兩項，那么如果0＋k＝0，就可以認為V0近似等于0；又由于彈目接近速度的變化在量級上比和大得多，則可以得出V－V0≥0。通過以上分析可知，如果令

就可以得到：

可得出如下結論：當如式（4）～式（6）所示的制導律滿足式（10）時，該制導律具有H∞魯棒性。由式（10）所示的條件，可以取

首先確定k′1。將k1代入式（10）中第一式，可得（＋k）2k′1≤0，該式是要保證制導律對目標機動atx具有魯棒性，因此選擇：

再確定k′2和k′3。將k2代入式（10）中第二式，得2k′2≤0。由于在導彈飛向目標的過程中，＜0，因此k′2的取值應不小于0。當ω（t）＝0，將k2和v2＝/2代入式（1），可得根據準平行接近理論，應保證趨近于0，由此，可得k′2的取值范圍為

同樣地，可求出k′3的取值范圍為

k′2和k′3不僅保證了制導律對目標機動aty和atz的魯棒性，還決定了實現角速度趨近于0的速度。但其取值并非絕對值越大越好，還應該結合導彈飛行中實際過載的能力，合理地選擇k′2和k′3的取值。同樣，k′1的取值也應考慮導彈過載和推力的限制。

至此，可以給出由式（4）～式（6）、式（10）、式（15）～式（18）所示的速度可調空空導彈非線性H∞魯棒末制導律。

對于參數k的選擇，式（13）可以解釋為希望導彈通過改變自身的速度，在整個末制導過程中保持末制導初始時刻的彈目相對速度而不衰減，從而以較短的時間擊中目標。然而，該選擇將導致一個嚴重的問題，即當目標本身的機動使得彈目相對速度的絕對值｜｜增大時，制導律將使導彈在視線方向上減速，反而增加了導彈的攔截時間。為此，對制導律的第一項u1做如下修正，即當｜｜－｜0｜≥0，也就是彈目相對速度大于或等于初始相對速度時，令u1＝0；當｜｜－｜0｜＜0時，u1等于按照前述制導律解算所得值。這樣一來，可以保證導彈的攔截時間：

3 末制導律仿真及分析

考慮縱向平面內的攔截問題，設定導彈和目標的仿真初始條件如下。

導彈的位置為慣性坐標系下Xm0＝0；Ym0＝5km；導彈的初始速度vm0＝1 200 m/s，彈道傾角θm0＝0；目標的位置為慣性坐標系下Xt0＝10km，Yt0＝10km；目標的初始速度vt0＝300m/s，彈道傾角θt0＝π；目標在彈道坐標系（O2X2Y2Z2）下的切向加速度和法向加速度分別為atx2＝ －20m/s2和aty2＝－80m/s2，也就是說，目標不僅具有改變速度方向的機動，還具有改變速度大小的機動。

制導律中參數的選擇為k′1＝－0.1，k′2＝1，k′3＝－1。

為了將本文設計的末制導律（TGL1）與不控制彈目相對速度的末制導律（TGL2）（即式（4）中u1＝0）相比較，在相同的初始條件下，先后對2種制導律進行了仿真。仿真對比結果如圖2～圖5所示。

圖2 彈目相對運動軌跡對比圖

圖3 命中點放大圖

圖4 視線角速度對比圖

圖5 彈目相對速度對比圖

圖2為2種制導律仿真所得的彈目相對運動軌跡對比圖。從圖中可以看出，與不控制彈目相對速度的末制導律相比，本文設計的末制導律在彈道上更為平滑一些。從圖3所示的命中點放大圖可以看到，盡管2種末制導律都能以較高的精度（TGL1的脫靶量為0.199m，TGL2的脫靶量為0.465m）命中目標（從圖4中可以看出，2種末制導律都能將視線角速度控制在0（°）·s－1附近），但本文設計的末制導律在攔截時間上卻具有明顯的優勢，二者相差將近2s。這一點也可從圖5所示的彈目相對速度對比圖中得到說明。在不控制彈目相對速度的制導律的作用下，彈目相對速度的絕對值衰減較大，而本文設計的末制導律能使彈目相對速度幾乎保持在一個常值，體現了其優勢。

4 結束語

本文針對采用可變流量固體火箭沖壓發動機作為動力系統的速度可調空空導彈，基于非線性H∞魯棒控制思想，通過選擇合適的李雅普諾夫函數，不僅保證了制導系統大范圍漸近穩定，還推導出了能夠控制彈目相對速度的魯棒末制導律。數字仿真表明，該制導律對于目標大范圍機動具有較強的魯棒性，制導精度較高，明顯縮短了導彈攔截時間，能夠充分發揮先進動力系統的特點和優勢，具有一定的前瞻性和工程應用參考價值。如何將該制導律與沖壓發動機推力調節控制、氣動舵控制相結合，是今后研究的重點。

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