基于熱量分布的布朗尼餅烤盤最佳形狀探索

王 睿

大連交通大學， 遼寧大連 116000

0 引言

制作布朗尼餅的兩個重要工具是：烤箱和烤盤。而影響布朗尼餅口感的因素有很多，比如：烤箱內的熱量分布是否均勻，烤盤的形狀等等。我們了解到烤箱的作用機理：大部分的電烤箱有內置風扇，因此在預熱之后烤箱內的熱量是均勻分布的。針對目前市場銷售較為廣泛的三種常見的烤盤：方形烤盤，圓形烤盤，邊緣型烤盤。考慮到人們對于烘焙的布朗尼餅口感評價的直接因素便是在烘焙過程中在預熱過后的布朗尼受熱是否均勻。因此探討圓形烤盤熱量分布便成為了問題的核心。在布朗尼餅的烘烤過程中，通常需要對烤爐進行預熱，當爐內溫度達到額定值時，將平底鍋放入爐中進行烘烤，因此在整個烘烤過程中可以假定爐內溫度是保持不變的。可只考慮熱傳導現象，因為即使熱量通過爐內空氣自然對流進行傳播，其相比于熱傳導也是可以忽略的。由于平底鍋的厚度可忽略并且在初始狀態下爐內的溫度已經達到了額定值，無論平底鍋的形狀如何，熱量都是由平底鍋的外邊緣向內部傳遞，所以一般學者將問題簡化為了穩定狀態的二維熱傳導問題。該過程通常可以利用下面的二維熱傳導方程[4]來描述：

由于上述方程求解較為復雜且無法求出解析解，所以現階段國內外的很多學者對布朗尼盤的最佳形狀進行了探索，并提出運用有限元，偏微分方程等方法進行數值求解，并通過ANSYS 和COMSOL 進行仿真，但是到目前為止，由于烤盤的邊界溫度條件尚未研究出統一結果，而且在仿真過程中ANSYS 和COMSOL 等軟件在使用neumann 邊界條件還是dirichlet 邊界條件或者混合邊界條件仍然存在一定的爭議，因此我們希望能夠尋找到一個更加簡單的模型求解出烤盤的熱量分布。

1 熱量分布建模的建立

1.1 基本模型

為了能夠得到更加清晰的能量分布描述，可對布朗尼餅烘烤的過程進行模擬，以便對平底鍋的外部形狀和烘烤狀態進行實時控制，我們考慮對熱傳導過程進行分析，即通過參考普朗克提出的能量量子化思想：將能量看作能量子，能量子會從能量多的地方流向能量少的地方。同時因為有預熱處理，可將在內部空間中溫度的均勻分布（溫度是熱能分布的直觀體現），等效為能量子的均勻分布。

當放入平底鍋時，假設此時烤箱內平底鍋所占用空間的能量子總和為零。根據量子化思想，由于這部分空間的能量子密度低于非平底鍋占用空間的能量子密度，能量子將會從其他空間流入平底鍋所在空間，這個過程便可等效為以平底鍋邊界作為熱源，向其中心進行熱傳導，即能量子向中心匯聚。由于平底鍋的邊緣形狀需要多個參數才能進行細致地刻畫，處理起來較復雜。這里采用另外一種簡化的處理方法，即將平底鍋和鍋內的布朗尼餅看成一個封閉的系統，該系統是能量保守系統，考慮到平底鍋形狀的對稱性，則將從平底鍋外邊緣向內發射能量子的過程看作是從平底鍋內部的中心點向外發射能量子的逆過程。通過查閱文獻[10][11]可知，能量子沿著邊緣到中心的矢徑服從正態分布，其一維點熱源熱量分布為：

其中：

E（x，t）為在時刻t，x 點處的熱能；

a 為初始時刻點熱源與熱勢能零點的初始溫度差；

t 為時間，當t 趨于無窮時，E（x，t）趨近于一條與x軸重合的直線。

鑒于此，我們將其擴展到二維區域，可得到二維點熱源熱量分布為：

其中：r^2=x^2+y^2。

為了更直觀地體現熱量分布，我們根據上述二維點熱源熱量分布函數繪制了熱量分布圖：

圖1 二維點熱源熱量分布圖

通過上述公式利用Matlab 模擬出圓形烤盤的能量分布如圖所示，由圖，我們將能量劃分為7 個能區，由高到低分別用顏色紅，橙，黃，綠，靛，藍，紫表示。

圖2 t=10 時能量分布圖

圖3 t=25 是能量分布圖

從能量分布圖上可以看出，圓形烤盤的邊界始終為同一能區。圓形烤盤的能區數逐漸減少，說明隨著烘烤時間的增長烤盤內部的熱量會逐漸趨近均勻分布。沒有紅，橙色能區說明不會出現受熱過度而烤糊的情況。

1.2 模型改進

上述能量分布圖是在邊界無窮大的理想情況下根據熱量分布函數公式繪制出的，而實際問題中，由于受到烤盤邊界的影響，發射出去的能量子不會始終以一種方式傳播，因此需要修正之前的模型。這里我們將外邊界視為無窮遠點，因此圖形的尺度發生了變化。從而對公式（3）中r 進行修正，將由二范數定義的距離修改為由橢球范數定義的距離，二者在拓撲意義下是等價的。

上式中矩陣A 與外邊界直接相關，比如對于圓形區域，A可取為：

根據修正后的模型利用Matlab 繪制出新的能區分布圖：

圖4 修正后的能區分布圖

將圖4 與圖2、圖3 比較，不難發現：兩個模型所分析出的圓形烤盤能量分布大致相同，驗證了模型的準確性和穩定性。

2 模型的校檢

通過查閱的資料，我們將模型與COMSOL[7]和ANSYS[8]軟件仿真得出的圖形與圖4 進行了比較，如下圖。

由圖，我們發現我們的模型與用COMSOL 軟件和ANSYS 仿真得出的圖形沒有差異，而且我們的模型避免了對有限元等專業知識的運用，并且避開了現在cosmol 軟件及ansys 軟件分析中遇到的邊界選擇問題和導熱過程中導熱函數選擇的難題。因此更具備通用性，對于那些嘗試進行布朗尼烘烤的人員而言也更加簡單通用。

圖5 COMSOL 軟件的仿真能量分布圖

圖6 ANSYS 軟件的仿真能量分布圖

3 結論

通過對我們的模型進行分析，我們發現使用布朗尼餅烤盤有均勻的熱量分布，并且與其他軟件仿真得出的結論一致，說明模型構建合理可信；同時模型避開了復雜的熱量邊界條件及目前科學界仍有爭議的導熱函數的選擇，仍得出了圓形烤盤具有較好的熱量分布結論，并通過仿真使得人們能夠更加直觀的得出圓形烤盤具有較好的熱量分布，而這也符合了實際的布朗尼烤盤的形狀。

[1]鄭志敏，李紅平.電烤箱設計規范.廣東新寶電器股份有限公司研發中心， 2009，5.

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[3]鐘志惠.西點生產技術大全.化學工業出版社，2012.8.

[4]楊世銘，陶文銓.傳熱學，4版，高等教育出版社，2006，8.

[5]Dhandapani， S.，Navaneethakrishnan，K. and Srinivasan，P. P.2006， Heat transfer and heati ng rate of food stuffs in commercial. Sadhana. India，Department of Mechanical Engineering， Kongu Engineeri ng College ： Vol. 32，Part 5， October 2007，pp. 535-544.

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[7]http：//wenku.baidu.com/view/7b159cc3524de518964b7df4.html.8.31，2013.終極布朗尼烤烤盤.

[8]Song E，Li Shiguo： Technique and application of thermal field analysis for electro-thermal products based on ANSYS. Machinery Design and Manufacture.(2005). Number10，117-119.

[9]曾謹言. 量子力學，4版，科學出版社，2007，1.

[10]李福善，空翠翠.曲阜師范大學學報.2006，7，32(3).

[11]谷超豪，李大潛.數學物理方程[M].2版，北京.高等教育出版社，2002.