圓孔對直齒圓柱齒輪固有頻率影響的研究

宋佼佼

晉中職業技術學院，山西晉中 030600

隨著工業的發展，齒輪機構朝著高速、重載和低重量的方向發展。由于其轉速加大，產生了減輕重量和負載的問題。振動問題歷來就是人們極為關注的問題。高速旋轉齒輪其振動情況則更為復雜，其研究工作更顯重要。高速旋轉齒輪在機械中有較多的應用，如挖掘機、重型球磨機、重型給水泵、旋轉式鉆探裝置、破碎機等機械中都要用到高速旋轉的齒輪。在這些機械中，為了達到強度要求，齒輪一般采用合金鋼。由于合金鋼具有高疲勞強度和較高韌性，適應于這些高速旋轉的情況。但合金鋼成本較高，應通過減輕齒輪重量的方法來節省材料。減重的方式有挖孔、挖層等方法。

為減少齒輪的重量常用打孔的方法。要滿足動平衡，應對稱打孔，但孔的數量、孔徑的大小、位置該如何確定，這是工程中關注的問題。

齒輪振動對安全生產造成很大的危害，強烈振動會使齒輪和軸連接的部位發生松動和破裂，嚴重時會因振動疲勞，在使用中突然斷裂，釀成重大事故。

目前，孔的大小和位置對齒輪固有頻率的影響尚無系統的研究。本文著重研究孔徑大小和孔的位置對齒輪固有頻率的影響，為工程應用提供挖孔的科學依據。

1 堆垛機建模

本文利用SolidWorks 對齒輪進行實體建模。所繪制齒輪的原始數據為模數（m）：3；齒數（n）：57；壓力角（α ）：20o；厚度（l）：40mm；軸孔半徑（r）：15mm；，計算的其余參數如表1 所示，同時利用Solid Works 軟件建立齒輪幾何模型。

表1 齒輪的幾何尺寸

2 齒輪的有限元分析

本節是將Solid Works 中做的幾何模型導入Marc 中，對其進行了幾何修復，做出有限元模型并進行模態分析。分析的結果得到孔徑大小改變時有孔頻率與無孔頻率的比值如表2所示， 孔位置變化時有孔頻率與無孔頻率的比值如表3 所示。采用OR 軟件繪制的齒輪的頻率隨孔徑大小的變化曲線如圖1所示，齒輪的頻率隨孔的位置變化曲線如圖2 所示。

圖1 齒輪的頻率隨孔徑大小的變化曲線

圖2 齒輪的頻率隨孔的位置變化曲線

孔直徑與分度圓直徑比 一階比二階比三階比四階比0.0438596 1.000479 1.007116 1.008215 1.006889 0.0584795 1.003775 1.009772 1.011560 1.008722 0.07309941 1.004357 1.009671 1.011275 1.006599 0.08771929 0.993909 0.999092 1.000721 0.994312 0.10233918 0.989593 0.998510 1.000195 0.990522

表2 孔徑大小改變時有孔頻率與無孔頻率的比值

表3 孔位置變化時有孔頻率與無孔頻率的比值

3 結論

通過MSC.Marc 計算可得到以下結論：

1）由圖2 和表2 中看出隨著圓孔直徑的逐漸增大，直齒圓柱齒輪的固有頻率總體在減小，并且前4 階頻率的變化趨勢基本相同。

當圓孔直徑從7.5mm 增加到12.5mm 時四條頻率曲線均有稍微上升趨勢，但不明顯。當圓孔直徑達到15mm 時齒輪固有頻率與無孔時相同。隨后持續減小，頻率減小幅度（即圖中的曲線斜率表示）一直比較平緩；

2）由圖3 和表3 看出隨著圓孔不斷向輪齒移動，齒輪四階固有頻率均在不斷增大，并且沒有出現大的波動趨勢。在圓孔圓心距離軸心位置小于52.5mm 時齒輪的固有頻率小于無孔時的固有頻率。在圓孔圓心距離軸心位置52.5mm 時齒輪的固有頻率與無孔時相同，在45mm 到52.5mm 期間，第2 階和第3階頻率經歷了上升、平緩、下降的過程，最終其變化趨勢趨于第1 階和第4 階一樣的水平；

3）通過以上分析，在文中所做的齒輪中（厚度與分度圓直徑比為1/4），在挖不同大小的孔時，由于其頻率一直呈下降趨勢，所以當其工作的頻率遠低于齒輪的第一階固有頻率時，挖孔時可不考慮共振對齒輪的破壞，直接按照靜力分析的結果進行設計即可。當其工作頻率接近或大于第一階固有頻率時要考慮振動問題，要做動力分析。

在不同位置進行挖孔時，由于四階固有頻率呈上升趨勢，但上升幅度不大，在對齒輪進行挖孔減重時，當其工作頻率遠低于齒輪第一階頻率時可不考慮共振對齒輪的破壞，當其頻率接近或大于第一階固有頻率時要考慮振動問題。

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