不同參數(shù)下封閉矩形聲腔的結(jié)構(gòu)-聲耦合特性分析

王 園 張建潤(rùn) 顧 偉 黎文瓊

(東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,南京 211189)

工程中許多結(jié)構(gòu)如車輛駕駛室、車廂和船艙等,可以近似看成由彈性板圍成的聲腔結(jié)構(gòu)．對(duì)這類聲腔結(jié)構(gòu)耦合機(jī)理的研究,在噪聲與振動(dòng)主動(dòng)控制方面有著十分重要的現(xiàn)實(shí)意義和工程應(yīng)用價(jià)值．對(duì)于由彈性板-聲腔組成的系統(tǒng)的振動(dòng)與聲場(chǎng)特性,文獻(xiàn)[1-4]提出了彈性板-聲腔組成的耦合系統(tǒng)的求解方法．Pan等[5]利用模態(tài)耦合分析法研究了簡(jiǎn)支板-矩形聲腔組成的耦合系統(tǒng)的自由振動(dòng)特性,重點(diǎn)分析了簡(jiǎn)支板的模態(tài)密度(對(duì)應(yīng)板厚度)、阻尼對(duì)耦合系統(tǒng)的影響,但沒有考慮聲腔的深度和壁面聲阻抗對(duì)板-聲腔耦合系統(tǒng)的影響．Kim等[6]提出了分析簡(jiǎn)支板與聲腔耦合特性的阻抗-導(dǎo)納法．靳國(guó)永等[7]在Kim等的研究基礎(chǔ)上,將板-聲腔耦合系統(tǒng)類比成反饋與前饋控制系統(tǒng),對(duì)簡(jiǎn)支板與聲腔的耦合特性進(jìn)行了研究,并且詳細(xì)分析了板厚和聲腔深度對(duì)第一階板控模態(tài)共振頻率的影響,但沒有對(duì)其他板控模態(tài)和腔控模態(tài)的影響進(jìn)行分析．基于彈性板和聲腔的耦合特性,國(guó)內(nèi)外學(xué)者[8-11]對(duì)彈性板封閉聲腔內(nèi)的聲場(chǎng)主動(dòng)控制進(jìn)行了廣泛的研究．綜上所述,當(dāng)聲腔深度不變,而彈性板的模態(tài)密度和阻尼變化時(shí),板和聲腔的耦合特性已得到深入研究;但當(dāng)聲腔參數(shù)如聲腔深度改變時(shí),板-聲腔的耦合特性會(huì)發(fā)生顯著的變化．而目前尚沒有文獻(xiàn)就聲腔參數(shù)變化對(duì)板-聲腔系統(tǒng)耦合特性的影響進(jìn)行深入研究．

本文在Pan等[5]對(duì)簡(jiǎn)支板-聲腔耦合特性研究的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步分析了聲腔深度改變對(duì)板-聲腔系統(tǒng)耦合特性的影響．首先，基于耦合前板和剛性壁面聲腔模態(tài)參數(shù),利用模態(tài)耦合法對(duì)板-聲腔組成的耦合系統(tǒng)的自由振動(dòng)特性進(jìn)行求解,得到反映耦合系統(tǒng)固有屬性的模態(tài)特征;接著分析了聲腔深度對(duì)板-聲腔耦合系統(tǒng)模態(tài)特征的影響,包括系統(tǒng)模態(tài)共振頻率、模態(tài)衰減時(shí)間,并詳細(xì)研究了板模態(tài)與聲腔模態(tài)隨聲腔深度改變時(shí)的耦合過程．

1 分析模型

彈性板-聲腔耦合系統(tǒng)模型如圖1所示,封閉矩形聲腔的尺寸為L(zhǎng)x,Ly,Lz,位于z=Lz處的彈性板的尺寸為L(zhǎng)x,Ly,邊界形式為簡(jiǎn)支;平面波Pin作用在彈性板上,方位角和仰角分別為θ,α．聲腔內(nèi)聲壓的波動(dòng)方程為

2p-=0

(1)

式中,p,c0分別為聲腔內(nèi)的聲壓和聲速．聲腔內(nèi)部聲場(chǎng)在聲腔壁面處的邊界條件為

(2)

式中,ρ0為聲腔內(nèi)聲場(chǎng)的介質(zhì)密度；n為聲腔壁面法向;Za為聲腔壁面z≠Lz處聲阻抗;w(x,y,t)為彈性板法向位移;ω為角頻率．

圖1 彈性板-聲腔耦合系統(tǒng)模型

對(duì)于聲腔上的彈性薄均質(zhì)板,在受聲腔內(nèi)外聲場(chǎng)激勵(lì)時(shí),彈性板彎曲振動(dòng)方程為

(3)

式中,定義力的方向指向聲腔外為正;ρ,E,μ,h分別為彈性板的體密度、彈性模量、泊松比和厚度;fp為聲腔外作用在彈性板上的總聲壓,這里指作用在彈性板上的平面聲波Pin和其反射聲波之和,并令入射平面波和反射波的聲壓相等,忽略板向聲腔外輻射聲對(duì)其振動(dòng)的影響．

利用簡(jiǎn)正模態(tài)振型函數(shù)的正交性,剛性壁面聲腔內(nèi)點(diǎn)r處聲壓p(r,ω)、無阻尼彈性板σ點(diǎn)處振動(dòng)速度v(σ,ω)=jωw(x,y,t)和施加在彈性板上平面波性質(zhì)的外力fp(σ,ω),分別可表示為

(4)

(5)

(6)

式中,pq,ve,Fe分別為聲腔內(nèi)聲場(chǎng)、板振動(dòng)速度和外力的模態(tài)幅值;φq,se分別為剛性壁面聲腔聲場(chǎng)分布和無阻尼板振動(dòng)的振型函數(shù)．Pan等[5]把φN,sM作為分析帶有阻尼的彈性板、具有聲阻抗的聲腔壁面的板-聲腔耦合系統(tǒng)的基函數(shù),本文分析也采用此方法，即

(7)

(8)

式中,(l,m,n)為N階聲腔模態(tài)的模態(tài)序數(shù);(u,v)為M階板模態(tài)的模態(tài)序數(shù)．考慮式(2)的聲腔壁面邊界條件,利用格林函數(shù),式(1)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(9)

式中,Af為z=Lz處彈性板表面;Al為z≠Lz處聲腔壁面;β為壁面Al處的聲導(dǎo)納率,β=ρ0c0/Za;Ga為聲腔格林函數(shù)，即

(10)

(11)

式中,Gp為板的格林函數(shù)．

(12)

(λI-A)X=Y

(13)

式(13)展開可寫成

(14)

式中,I為單位矩陣;λ=-jk;A11和A12分別為(N+M)×(N+M)階零矩陣和單位矩陣．

(15)

(16)

(17)

A22=

(18)

2 彈性板-聲腔耦合特性分析

2.1 模態(tài)耦合系數(shù)

模態(tài)耦合系數(shù)BN,M是板和聲腔的模態(tài)匹配程度,決定板模態(tài)和聲腔模態(tài)間是否耦合．由式(17)可知,耦合系數(shù)不為零,板模態(tài)(u,v)和聲腔模態(tài)(l,m,n)必須滿足條件:u+l和v+m均為奇數(shù).

2.2 傳遞因子

模態(tài)耦合系數(shù)決定板模態(tài)和聲腔模態(tài)之間是否耦合,而傳遞因子決定它們耦合的程度[5],其中第N階聲腔模態(tài)與第M階板模態(tài)的傳遞因子FN,M為

(19)

其中

(20)

由式(19)和(20)可知,當(dāng)模態(tài)耦合系數(shù)BN,M≠0時(shí),傳遞因子FN,M≠0,此時(shí)第N階聲腔模態(tài)與第M階板模態(tài)之間的能量傳遞由以下因素決定:ωaN-ωpM,Lz等．傳遞因子FN,M趨于0,第N階聲腔模態(tài)與第M階板模態(tài)之間能量傳遞也趨于0;而當(dāng)FN,M?1,此時(shí)板與聲腔的模態(tài)耦合比較重要,有大的能量傳遞出現(xiàn)．

2.3 耦合系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)衰減時(shí)間

板-聲腔耦合系統(tǒng)模態(tài)存在腔控模態(tài)和板控模態(tài)2種.對(duì)于腔控模態(tài),耦合系統(tǒng)的大部分能量?jī)?chǔ)存在聲腔聲場(chǎng)中,板控模態(tài)[5]與之相反．

得到聲腔內(nèi)聲場(chǎng)和板振動(dòng)的模態(tài)坐標(biāo)后,聲腔內(nèi)聲勢(shì)能EaN和板振動(dòng)能量EpM為

(21)

式中,ΛaN和ΛpM分別為N×N維和M×M維對(duì)角矩陣,對(duì)應(yīng)的對(duì)角線上的元素分別為ΛN和ΛM.

3 理論計(jì)算與分析

根據(jù)圖1的板-聲腔耦合系統(tǒng)模型,設(shè)頂面是7 mm厚的鋁板,密度為2 770 kg/m3,楊氏模量為71 GPa,泊松比為0.33．聲腔內(nèi)空氣密度為1.21 kg/m3,聲速為344 m/s．

3.1 聲腔深度對(duì)板-聲腔耦合特性的影響

矩形聲腔聲場(chǎng)模態(tài)的共振頻率為

(23)

由式(23)可知,聲腔模態(tài)序數(shù)中n≠0的共振頻率fl,m,n隨著聲腔深度Lz而改變．再由式(19)可知,當(dāng)聲腔模態(tài)和板模態(tài)間耦合系數(shù)不為零時(shí),聲腔和板的模態(tài)間傳遞因子分為2種情況:① 當(dāng)聲腔模態(tài)序數(shù)n≠0時(shí),傳遞因子由對(duì)應(yīng)耦合前共振頻率差決定,差值越小,耦合越強(qiáng);② 當(dāng)聲腔模態(tài)序數(shù)n=0時(shí),其共振頻率不隨聲腔深度變化,此時(shí)傳遞因子由聲腔深度來決定,其隨聲腔深度增大而減小．

圖2(a)為板模態(tài)(1,1)和聲腔模態(tài)隨聲腔深度變化的傳遞因子,只有聲腔模態(tài)(0,0,0)和板模態(tài)(1,1)在分析的聲腔深度范圍有大的傳遞因子,但值小于1,并且隨著聲腔深度的增加,傳遞因子逐漸減小;由于此時(shí)聲腔模態(tài)序數(shù)n=0,傳遞因子由聲腔深度決定．圖2(b)中,只有聲腔模態(tài)(0,0,1)和板模態(tài)(3,1)在聲腔深度0.99 m處傳遞因子約為1,其他聲腔模態(tài)和板模態(tài)(3,1)的傳遞因子都遠(yuǎn)小于1．板模態(tài)(1,1)與聲腔模態(tài)(0,0,0)之間的傳遞因子由聲腔深度來決定,而板模態(tài)(3,1)和聲腔模態(tài)(0,0,1)之間的傳遞因子則由對(duì)應(yīng)耦合前共振頻率差決定．

圖2 板模態(tài)和聲腔模態(tài)隨聲腔深度變化的傳遞因子(TaN=15 s,TpM=0.5 s)

由圖3可知,前5階板控模態(tài)的共振頻率隨聲腔深度的增加,逐漸趨向于耦合前的板共振頻率．這是由于此聲腔深度范圍內(nèi)與板模態(tài)起主要耦合作用的聲腔模態(tài)序數(shù)n=0,傳遞因子大小由聲腔深度決定,對(duì)應(yīng)圖2(a)中傳遞因子隨聲腔深度的增加逐漸變小(板模態(tài)(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)與此相似),并且在所分析的聲腔深度范圍內(nèi)都小于1,即板模態(tài)和聲腔模態(tài)間耦合逐漸變?nèi)?并且無強(qiáng)耦合．而隨著聲腔深度的變化,板控模態(tài)(2,3)、(3,1)、(1,4)的共振頻率出現(xiàn)向高頻躍變現(xiàn)象,其中板控模態(tài)(3,1)的共振頻率躍變出現(xiàn)在0.99 m的聲腔深度處,對(duì)應(yīng)圖2(b)中傳遞因子約為1的聲腔深度,即在此深度,板和聲腔的模態(tài)耦合前共振頻率接近相等．與板控模態(tài)(3,1)一樣,在板控模態(tài)(2,3)、(1,4)的共振頻率出現(xiàn)躍變的聲腔深度處,傳遞因子約為1．

圖3 聲腔深度對(duì)板控模態(tài)共振頻率的影響(TaN=15 s,TpM=0.5 s)

對(duì)應(yīng)圖3中板控模態(tài)的共振頻率變化情況,圖4中前5階板控模態(tài)衰減時(shí)間TL隨聲腔深度的增加逐漸趨于恒定值;而板控模態(tài)(2,3)、(3,1)、(1,4)的衰減時(shí)間則出現(xiàn)了峰值,這是由于在出現(xiàn)峰值處耦合最強(qiáng),并且有大的能量傳遞．

圖4 聲腔深度對(duì)板控模態(tài)衰減時(shí)間TL的影響(TaN=15 s,TpM=0.5 s)

3.2 彈性板模態(tài)與聲腔模態(tài)耦合機(jī)理分析

由圖2(b)知,當(dāng)聲腔深度在0.956～1.03 m之間時(shí),板模態(tài)(3,1)和聲腔模態(tài)(0,0,1)的傳遞因子出現(xiàn)約為1的峰值,其余傳遞因子值遠(yuǎn)小于1,滿足強(qiáng)耦合分析條件．分析時(shí)令作用在板表面處平面波Pin的幅值Pin0為2 Pa,仰角α和方位角θ均為0°,激勵(lì)頻率分別為腔控模態(tài)和板控模態(tài)的共振頻率．

當(dāng)板模態(tài)(3,1)和聲腔模態(tài)(0,0,1)的傳遞因子約為1時(shí),圖5(a)中腔控模態(tài)(0,0,1)與板控模態(tài)(3,1)的板振動(dòng)能量與聲腔內(nèi)聲勢(shì)能之比接近相等;距離能量比相等處越遠(yuǎn),能量比相差越大．圖5(b)顯示隨著聲腔深度增加,與圖5(a)相同,板控模態(tài)(3,1)的衰減時(shí)間先增加到峰值點(diǎn)再減小,而腔控模態(tài)(0,0,1)則相反;在耦合最強(qiáng)的聲腔深度處,腔控模態(tài)(0,0,1)和板控模態(tài)(3,1)的衰減時(shí)間趨于相等．

圖5(c)中,隨著聲腔深度增加,腔控模態(tài)(0,0,1)和板控模態(tài)(3,1)的共振頻率變化有3個(gè)特點(diǎn):① 共振頻率隨聲腔深度變化的曲線相交于一點(diǎn),在相交點(diǎn)處耦合最強(qiáng);并且離耦合最強(qiáng)點(diǎn)越遠(yuǎn),其偏離耦合前的固有頻率越小.② 腔控模態(tài)(0,0,1)的共振頻率由高于耦合前的共振頻率變成低于耦合前的,出現(xiàn)了躍變現(xiàn)象,而板控模態(tài)(3,1)的共振頻率則相反.③ 腔控模態(tài)(0,0,1)的共振頻率變成了板控模態(tài)(3,1)共振頻率的延續(xù),而板控模態(tài)(3,1)的共振頻率是腔控模態(tài)(0,0,1)共振頻率的延續(xù)．

當(dāng)聲腔深度為0.990 4 m時(shí),耦合系統(tǒng)中板和聲腔2部分的響應(yīng)如圖6和圖7所示,板的振型和耦合前(3,1)模態(tài)振型一樣，聲腔模態(tài)(0,0,1)的模態(tài)幅值遠(yuǎn)大于其他階聲腔模態(tài)．驗(yàn)證了分析的耦合系統(tǒng)分別是腔控模態(tài)(0,0,1)和板控模態(tài)(3,1)．

圖5 聲腔深度對(duì)板與聲腔耦合的影響(TaN=15 s,TpM=0.5 s)

圖6 板振動(dòng)速度分布(TaN=15 s,TpM=0.5 s)

圖7 聲腔聲場(chǎng)模態(tài)幅值(TaN=15 s,TpM=0.5 s)

4 結(jié)論

1) 模態(tài)耦合系數(shù)決定板模態(tài)和聲腔模態(tài)是否耦合．當(dāng)模態(tài)耦合系數(shù)不為零時(shí),模態(tài)之間有可能耦合;反之,則一定不耦合．而傳遞因子決定板和聲腔的模態(tài)耦合程度,傳遞因子越大耦合越強(qiáng),板和聲腔的模態(tài)之間能量傳遞也越大．

2) 聲腔深度Lz對(duì)傳遞因子的影響分為2種:① 當(dāng)聲腔模態(tài)序數(shù)n=0時(shí),聲腔深度直接決定傳遞因子大小;② 當(dāng)聲腔模態(tài)序數(shù)n≠0時(shí),傳遞因子由對(duì)應(yīng)耦合前共振頻率差決定．

3) 調(diào)整聲腔深度使聲腔和板的模態(tài)間傳遞因子越大,則它們之間的耦合越強(qiáng),耦合后的系統(tǒng)共振頻率、模態(tài)衰減時(shí)間較耦合前偏離越大．

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