氟化梯度折射率塑料光纖帶寬特性計(jì)算

苗 圃 吳樂南

(東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,南京 210096)

塑料光纖(POF)由于其數(shù)值孔徑大、纖芯粗、柔韌性好、價(jià)格低廉、易于與光器件鏈接等優(yōu)點(diǎn)而越來越多地用于高速寬帶接入網(wǎng)中．研究和測試表明[1-3],氟化聚合物梯度折射率塑料光纖(PF-GIPOF)在近紅外區(qū)域具有較小的衰減和微弱的模式色散且能夠使用石英玻璃光纖(GOF)系統(tǒng)常用的光電器件而成為接入網(wǎng)中最優(yōu)的傳輸介質(zhì)選擇．影響帶寬的主要因素是色散[2-4],因此建立準(zhǔn)確的色散模型,選擇最優(yōu)參量,可有效地提高光纖的帶寬性能和傳輸能力．

國內(nèi)外眾多學(xué)者對光纖的色散模型進(jìn)行了研究．Kurt等[5-6]考慮了部分參數(shù)作用下的傳輸特性而忽略了其他參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響,該類模型具有一定的應(yīng)用局限．Garito等[7]考慮到了模式耦合但忽略了模式損耗因素,僅在光源滿注入(OFL)條件下成立,給帶寬的預(yù)測帶來了限制.Gasulla等[8]推導(dǎo)出的多模光纖色散模型能夠很好地描述其傳輸特性,但實(shí)現(xiàn)困難,形式復(fù)雜,適用于理論研究卻不利于仿真計(jì)算．Yabre[9]分析了模式時(shí)延、耦合因子和衰減系數(shù)等因素,在限模注入(RML)和OFL條件下推導(dǎo)出多模光纖色散模型,隨后Ge等[10]在此基礎(chǔ)上使用模式選擇激勵(lì)法提高傳輸帶寬,但實(shí)驗(yàn)中細(xì)分的模式激勵(lì)卻不易準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)．本文在文獻(xiàn)[8-14]色散計(jì)算和模式耦合及損耗定量估計(jì)的基礎(chǔ)上,綜合考慮了折射率指數(shù)、材料色散、衰減系數(shù)、光注入條件和光源特性等因素,分析了全色散模型,借助數(shù)值計(jì)算研究了帶寬特性,旨在選擇最優(yōu)的光纖參量進(jìn)而提升傳輸帶寬．

1 基帶功率傳輸函數(shù)分析與推導(dǎo)

假設(shè)a為纖芯半徑,n1(λ)和n2(λ)分別為光纖軸心和包層處的折射率,λ為激勵(lì)光源的自由空間波長,α為纖芯折射率分布指數(shù),r為距光纖軸心的距離,則PF-GIPOF的折射率滿足平方律分布:

(1)

光纖中存在許多滿足Maxwell方程解的模式,每個(gè)傳導(dǎo)模式的傳輸速度和傳播常數(shù)各有差異,但近鄰傳導(dǎo)模之間的傳播常數(shù)和速度卻近似相等,可將這些近鄰傳導(dǎo)模組合為模群.通過WKB法可計(jì)算出單位纖長的模群延遲為[9]

圖1 PF-GIPOF的折射率分布與工作波長關(guān)系

(2)

令光纖長度為z,Ω為基帶角頻率,P(λ,λ0)為時(shí)間非相干光源的光譜分布,Ceff(m,λ)和L(m,λ,z)分別為光源對m模群的激勵(lì)系數(shù)和傳輸損耗,G(m,λ,z,Ω)為不同光入射條件下的模式耦合效應(yīng)．假設(shè)式(1)所定義的PF-GIPOF是線性系統(tǒng),當(dāng)a較大且激勵(lì)光源頻譜線寬均方根W滿足[10]

(3)

時(shí)，所激勵(lì)出的模式之間排列就會(huì)異常緊密,可認(rèn)為m是連續(xù)值,那么m和λ對功率貢獻(xiàn)的和值計(jì)算便可使用積分來代替.則在復(fù)頻域內(nèi)其基帶功率傳輸函數(shù)可寫為

G(m,λ,z,Ω)L(m,λ,z)e-jΩτ(m,λ)zdλdm

(4)

假設(shè)光源能量主要集中在中心波長λ0處,則Ceff(m,λ),L(m,λ,z)和G(m,λ,z,Ω)可由它們在λ0處的值來代替,以簡化模型的分析計(jì)算．

用泰勒級數(shù)對式(2)左半部分展開，可得

(5)

為簡化計(jì)算,式(5)中第2項(xiàng)和第3項(xiàng)系數(shù)可分別由它們的平均值D0(λ0)和S0(λ0)來代替,取前3項(xiàng)代入式(4)中,拆分化簡后可得

HGIPOF(λ0,z,Ω)=Hch(λ0,z,Ω)Hmd(λ0,z,Ω)

(6)

其中,色度色散效應(yīng)傳輸函數(shù)為

(7)

模式色散效應(yīng)傳輸函數(shù)為

G(m,λ0,z,Ω)L(m,λ0,z)e-jΩτ(m,λ0)zdm

(8)

由式(6)～(8)可看出,PF-GIPOF的基帶功率傳輸函數(shù)可由2個(gè)獨(dú)立的函數(shù)乘積組成,且色度色散與時(shí)延相關(guān),而光源激勵(lì)、模式時(shí)延、差分模式損耗和模式耦合卻決定了模式色散．

2 色度色散效應(yīng)計(jì)算

假設(shè)光源功率譜具有高斯線譜分布特征，即

(9)

將式(1)、(2)和(9)代入式(7)中,計(jì)算得

(10)

3 模式色散效應(yīng)計(jì)算

將式(8)對直流分量Hmd(λ0,z,0)進(jìn)行歸一化:

(11)

式中,R(m,λ0,z,Ω)=Ceff(m,λ0)G(m,λ0,z,Ω)·L(m,λ0,z)e-jΩτ(m,λ0)z為m模群在復(fù)頻域內(nèi)的能量分布．

3.1 差分模式損耗的擬合

差分模式損耗(DMA)是指傳導(dǎo)模由于路徑不同造成各模式間損耗系數(shù)不同的現(xiàn)象．由于PF-GIPOF的制造材料、設(shè)備工藝及應(yīng)用場合不同,因此DMA至今沒有統(tǒng)一確定的計(jì)算公式．模式損耗L(m,λ0,z)=e-αT(m,λ0)z,大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果表明αT(m,λ0)滿足修正的貝塞爾函數(shù)[9],可表示為

(12)

式中,α0(λ)為本征損耗;Iρ為ρ階修正的第一類貝塞爾函數(shù);η為權(quán)重因子．根據(jù)測試數(shù)據(jù)找出合適的擬合因子ρ和η,便可得出L(m,λ0,z)的解析表達(dá)式．

3.2 模式激勵(lì)系數(shù)

Ceff表示光耦合進(jìn)入纖芯后不同傳導(dǎo)模的功率比例,其值與光入射條件有關(guān)．在OFL條件下,光斑直徑與纖芯直徑相當(dāng),光錐角大于光纖的數(shù)值孔徑,傳導(dǎo)模被均勻地激勵(lì),光波能量均勻分配,此時(shí)Ceff=1．而在目前中短距離高速數(shù)據(jù)傳輸試驗(yàn)中,所用光源大多選擇受激輻射發(fā)光的半導(dǎo)體激光器或垂直腔面發(fā)射激光器,其發(fā)散角小、光束細(xì)且功率譜密度具有高斯線譜分布特征,注入到光纖截面的激光束直徑小于纖芯直徑,那么此時(shí)僅有部分傳導(dǎo)模被激勵(lì)承載光波能量,且各模式能量大小根據(jù)激光束半徑、注入到纖芯截面處的坐標(biāo)和入射角數(shù)值孔徑的不同而各有差異．在RML條件下,Ceff便可由激勵(lì)模式和入射激光電場強(qiáng)度的交迭積分計(jì)算得到．

假設(shè)激光束中心和光纖截面軸心對齊,與其幾何形狀耦合匹配,在光纖截面則呈現(xiàn)出半徑為w圓對稱的近場光分布．設(shè)(x,y)為纖芯截面平面坐標(biāo),則該點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為

(13)

令Hu為u次厄米特多項(xiàng)式,受激模式的厄米特-高斯場可近似表示為[10]

(14)

式中,w0為歸一化激光束半徑．則Ein(x,y)和ψu(yù)v(x,y)對纖芯截面的積分為

au,v=?AEin(x,y)ψu(yù)v(x,y)dxdy

(15)

那么m模群的功率激勵(lì)系數(shù)均值為

(16)

可求得被激勵(lì)的模群數(shù)為

MGB(λ)=M(α,λ)·

(17)

在一定的波長下,激光束所激勵(lì)的初始模群個(gè)數(shù)與w有關(guān),受激模群越少,其能量差異就越小,各模群所承載的光功率越易趨于平衡,模群到達(dá)接收端的時(shí)間就越趨于一致,導(dǎo)致輸出信號(hào)的脈沖展寬量就變小．因此,合理選擇激光束半徑,可以有效減小模式色散,提高傳輸帶寬．

3.3 模式耦合函數(shù)

傳導(dǎo)模沿光纖傳播時(shí),各模式之間非獨(dú)立,能量會(huì)隨機(jī)地在相鄰模式間轉(zhuǎn)移,引起能量重新分配．通過以上分析,Ceff,L和τ都可得到完整的解析表達(dá),但由于模式之間能量轉(zhuǎn)換的復(fù)雜性,卻很難得出G的解析表達(dá)．在基于傳導(dǎo)模式為連續(xù)變量且能量耦合只發(fā)生在相鄰模式間的假設(shè)條件下[11],可通過能流方程來測量模式耦合系數(shù)．基于此,同樣地可通過求解傳導(dǎo)模的功率流方程來表示R(m,λ0,z,Ω)．綜合考慮式(11)中各個(gè)函數(shù),參照Gloge能流方程,可推出傳導(dǎo)模的功率流方程為

(18)

式中，d(m,λ0)為歸一化到M2(λ0)的模式耦合系數(shù)．對于此類偏微分方程,使用Crank-Nicholson的格式有限差分法便可以求出R(m,λ0,z,Ω)的數(shù)值解,相應(yīng)地Hmd(λ0,z,Ω)也可計(jì)算求解．

4 計(jì)算結(jié)果與分析

通過以上分析可知,PF-GIPOF的長度、折射率指數(shù)、工作波長、激勵(lì)光源等參量影響著色度色散和模式色散,在不同條件下通過式(7)、(8)計(jì)算其頻率響應(yīng)進(jìn)而可得到其帶寬特性．由于模式耦合對帶寬影響甚微,在以下計(jì)算中取G=1．

4.1 傳輸參量計(jì)算與仿真

假設(shè)參數(shù)z=200 m,α=2,λ0=1 300 nm,芯/包直徑為120/490 μm,使用W=5 nm,w=20 μm的光譜高斯分布光源,通過式(1)可得n1=1.348,n2=1.336,Δ=0.009 5，數(shù)值孔徑NA=0.186 1．在1 300,850和650 nm工作波長下,保持其他參量不變,計(jì)算單位長度模群時(shí)延,結(jié)果如圖2所示．由圖可見，650 nm的高階模群時(shí)延量要小于低階模群,而1 300 nm的情況與其相反,850 nm的模群間時(shí)延的差異最小．

圖2 不同工作波長下單位長度的模群時(shí)延對比

改變w,可得到被激勵(lì)的模群數(shù)與w在不同工作波長下的仿真對比,如圖3所示．該類曲線呈開口向上的拋物線狀,不同波長的光源所激勵(lì)的模群總數(shù)也有所不同,可求得在w=11.76 μm處的激勵(lì)模群最少．因此合理選擇w,使激勵(lì)模群總量越少,其能量分配就越易趨向平衡狀態(tài),模群傳播常量差異就愈小,色散效應(yīng)也就越弱,進(jìn)而傳輸帶寬可得到相應(yīng)提高．

圖3 不同光源激勵(lì)的模群數(shù)目對比

4.2 不同條件下的頻率響應(yīng)計(jì)算與分析

令w=11.76 μm,z=100 m,采用文獻(xiàn)[11-13]中的實(shí)驗(yàn)方法,取ρ=11,η=12.2對式(12)數(shù)值擬合[14],保持光纖其他參量不變,在考慮DMA和忽略DMA情況下,系統(tǒng)頻率響應(yīng)計(jì)算對比如圖4所示.可以看出由于DMA的作用,-3 dB帶寬從1.56 GHz提升到5.12 GHz．由于高階模群衰減大于低階模群,在傳輸一定距離后,高階模群會(huì)因劇烈衰減而消失,在輸出端的最大相對延遲不再位于m/M=0和m/M=1之間,而是在m/M=0和某個(gè)小于1的模群之間．因此,高階模的消失在一定程度上減小了模式間的最大時(shí)延,導(dǎo)致脈沖展寬減小,模間色散減弱．這從另一方面說明了DMA對傳導(dǎo)模具有“濾波”作用,其帶寬的提高是色散和損耗的折中結(jié)果．取不同纖長的頻率響應(yīng),在忽略DMA、考慮DMA、使用Gasulla[8]模型和Tolga[5]模型情況下,計(jì)算出的-3 dB帶寬分別為B1,B2,B3和B4,結(jié)果如圖5所示．可看出,B2和B3接近,但B3形式復(fù)雜不利于仿真計(jì)算,B4從脈沖時(shí)延角度統(tǒng)計(jì)帶寬,參數(shù)考慮不全面,結(jié)果與B1近似．

圖4 考慮DMA和忽略DMA情況下的頻率響應(yīng)對比

圖5 -3 dB帶寬與光纖長度的關(guān)系對比

DMA可提高傳輸帶寬,但為了研究其他參數(shù)對帶寬的影響,就必須忽略DMA以免與其他參數(shù)的作用發(fā)生混淆．由于α影響著纖芯折射率的分布情況,α不同,傳導(dǎo)模的路徑也就不同．保持材料參數(shù)和光源參數(shù)不變,α分別取1.8,2.0,2.1,2.16和2.3,得到的頻率響應(yīng)對比如圖6所示．α增大,帶寬相應(yīng)提高,但α同時(shí)又影響著材料色散和模式耦合,并非愈大愈好．當(dāng)α逐漸增大以致折射率分布結(jié)構(gòu)愈趨近于SIPOF時(shí),模式傳播路徑被延長,模式耦合便對傳輸特性起主導(dǎo)作用,帶寬反而急劇下降．因此選擇合理的α可使模式間路程差最小,耦合效應(yīng)最低,帶寬最大．計(jì)算后可知,α=2.16時(shí)對應(yīng)的最優(yōu)-3 dB帶寬為3.92 GHz．

同樣地,α仍取2.0,忽略DMA,其他參數(shù)同上，λ分別取650,1 300和1 550 nm時(shí),頻率響應(yīng)對比如圖7所示.經(jīng)計(jì)算可知盡管在1 550 nm處存在較小的材料色散,但由于DMA效應(yīng)要比1 300 nm處的小,在材料色散和DMA對帶寬的影響中,DMA仍占據(jù)主導(dǎo)作用,因此-3 dB帶寬就小于1 300 nm處的帶寬．所以,波長對帶寬的影響其本質(zhì)是不同激勵(lì)條件下的材料色散和DMA共同競爭的結(jié)果．通過圖4～圖7的頻率響應(yīng)對比可知,帶寬特性是眾多傳輸參量共同作用的結(jié)果,改變單一參量并不能使傳輸性能最優(yōu)．綜合考慮各個(gè)因素對傳輸特性的影響,合理選擇傳輸參量,才能最大程度地提升帶寬性能．

圖6 不同折射率指數(shù)下的頻率響應(yīng)對比

圖7 不同工作波長下的頻率響應(yīng)對比

5 結(jié)語

PF-GIPOF良好的物理特性和寬帶特性使其成為短距通信的最佳傳輸介質(zhì)．本文在任意折射率圓對稱光纖傳輸參量計(jì)算的基礎(chǔ)上,理論分析了傳輸特性,推導(dǎo)出基帶功率傳輸函數(shù),得到綜合折射率指數(shù)、材料色散、光注入條件等因素的色散計(jì)算模型,仿真得到模群時(shí)延和模式損耗的分布特性,取不同參數(shù)計(jì)算頻率響應(yīng)和-3 dB帶寬．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:DMA在一定程度上可提高傳輸帶寬,合理選擇激勵(lì)光源和光纖傳輸參量可有效提高系統(tǒng)的通信性能．該色散模型可用于任意條件下PF-GIPOF傳輸參量和帶寬的估算及仿真,為推動(dòng)POF在數(shù)據(jù)通信等領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了理論分析和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ),具有一定的實(shí)用價(jià)值．

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