基于有限元分析的石墨烯彈性性能和振動特性

唐文來 彭倚天 倪中華

(東南大學江蘇省微納生物醫療器械設計與制造重點實驗室, 南京 211189)

由Novoselov等[1]首先發現石墨烯(又稱為二維石墨片),而石墨烯是其他石墨材料的基本單元[2]．實驗研究表明，石墨烯的楊氏模量高達1TPa[3],并且具有極高的振動頻率[4]．優異的彈性性能和振動特性,使得石墨烯在納米復合材料、納米振蕩器、納米傳感器和納米機電系統中有著廣闊的應用前景[5-6]．

目前,對石墨烯彈性性能和振動特性的研究方法主要有實驗測試、原子模擬和連續介質模擬．Lee等[3]利用原子力顯微鏡納米壓痕法研究了石墨烯的力學性能,得到石墨烯的楊氏模量為(1.0±0.1)TPa,理想強度為(130±10)GPa．Bunch等[4]構建了石墨烯機電諧振器,檢測到諧振器的共振頻率達到MHz量級．由于在納米尺度下進行有效的實驗非常困難,研究者嘗試通過量子力學和分子動力學等原子模擬方法研究石墨烯．Liu等[7]采用從頭計算方法，得到石墨烯的楊氏模量和泊松比分別為1.05TPa和0.186．Gupta等[8]通過分子力學模擬研究了石墨烯的彈性性能和自由振動頻率,發現石墨烯的振動頻率在THz量級．這些原子模擬方法能夠得到較準確的結果,但由于巨大的計算量使其應用受到限制．連續介質模擬方法具有計算效率高、理論簡單等特點,在石墨烯研究方面得到了廣泛的應用．基于Li等[9]提出的分子結構力學方法,Sakhaee-Pour研究了不同手性石墨烯的彈性性能[10],并分析了手性、尺寸和邊界條件對石墨烯振動特性的影響[11]．Shakouri等[12]提出基于REBO勢的石墨烯連續介質模型,研究了石墨烯的振動和屈曲行為,發現手性對振動和屈曲行為的影響很小．以上的連續介質方法是通過建立分子力學局部原子勢和結構力學單元應變能相等價的關系,確定代替石墨烯微觀結構的等效單元參數,方法的準確性很大程度上取決于原子勢函數的選取．Shakouri等[12]分別采用AMBER勢和REBO勢研究了石墨烯的振動特性,發現不同勢函數得到的結果并不相同．

本文基于改進的分子結構力學方法[13],采用矩形截面梁單元代替碳-碳共價鍵,將石墨烯的微觀原子結構等效成空間框架結構,建立石墨烯的連續介質模型．通過分析石墨層的典型受載情況確定等效單元參數,避免了原子勢函數的選取問題．借助有限元軟件,實現石墨烯的參數化建模,分別對模型進行線性靜力和模態分析,計算得到石墨烯的彈性常量、固有頻率和振型,并系統地討論了手性、尺寸和邊界條件對石墨烯的彈性性能和振動特性的影響．

1 理論與建模

在石墨烯的微觀結構中,單層碳原子通過碳-碳鍵相互結合圍成正六邊形蜂窩結構[2],如圖1(a)所示．根據邊緣結構的不同,石墨烯分為扶手椅型和鋸齒型2種．石墨烯的正六邊形單胞如圖1(b)所示,可以看出碳-碳鍵的作用形式有鍵的伸長(Uρ)、面內鍵角變化(Uθ)、離面鍵角變化(Uω)和二面角扭轉(Uτ)．

圖1 碳-碳鍵到梁單元的等效[13]

小變形情況下,碳-碳鍵4種作用形式對應的勢能可用諧和函數來描述,這與梁單元的變形能具有相同的形式,因此可用梁單元代替碳-碳鍵．采用Li等[13]提出的改進分子結構力學,利用圖1(c)所示的矩形截面梁單元等效碳-碳鍵，將無限大的石墨烯看作石墨層.通過分析石墨層的典型受載情況(單軸拉伸和純彎曲)可以得到等效梁單元的參數為

(1)

式中,L為長度;A為截面面積;Iy和Iz為截面慣性矩;J為截面極慣性矩;E,G分別為彈性模量和切變模量．等效梁的幾何參數和力學參數值都是虛擬的,并不是石墨烯自身的參數,但只要這些參數組合起來滿足式(1),就可以實現對碳-碳鍵的等效．

研究石墨烯的振動特性,還需要考慮碳原子質量的作用．石墨烯結構中,碳原子的質量(mc=1.9943×10-23g)主要集中在原子核上,而原子核的直徑非常小(rc=2.7×10-6nm),可以忽略轉動慣量的影響,采用集中質量單元來代替碳原子．

利用有限元軟件ANSYS的參數化設計語言,在石墨烯結構中碳原子的位置生成節點,在節點上創建集中質量單元(MASS21)代替碳原子,再利用梁單元(BEAM4)連接相鄰節點,即可建立石墨烯的框架結構連續介質模型．對模型進行結構線性靜力和模態分析,線性靜力分析時定義默認的求解選項,模態分析中采用分塊蘭索斯法,定義模態擴展數為5,其他選項設置為缺省值．

2 結果與討論

2.1 石墨烯的彈性性能

楊氏模量、剪切模量等彈性常量是屬于連續介質框架下的力學概念.石墨烯是由單層碳原子構成,因此須假設其厚度后才能計算出等效的彈性常量．石墨是由石墨烯層層堆疊而成的[2],因此采用石墨的層間距離(0.34nm)作為石墨烯的厚度．

石墨烯由長度a和寬度b來表征,對石墨烯模型進行結構線性靜力學分析,單軸拉伸和純剪切力學分析如圖2所示.根據載荷與變形量之間的關系,可得到石墨烯的楊氏模量、泊松比和剪切模量．

圖2 石墨烯的靜力學分析示意圖

石墨烯的單軸拉伸模擬如圖2(a)所示,將最底層的節點固定,在最上端的節點上施加位移Δa．拉伸完成后,計算所有固定節點在長度方向上的總反力F,同時得到石墨烯在寬度方向上的變形量Δb,通過下式得到石墨烯的楊氏模量Eg和泊松比μg:

(2)

(3)

式中,σ,ε為拉伸應力和應變;t為石墨烯厚度．

石墨烯的純剪切模擬如圖2(b)所示,將底層節點固定,在最上端和左右兩端施加相同的等效切應力τ．根據模型的變形量,通過下式計算石墨烯的剪切模量Gg:

(4)

2.1.1 石墨烯的楊氏模量和泊松比

在模擬單軸拉伸時,為了減小兩端施加載荷帶來的局部影響,取長度a=4b．對2種手性石墨烯進行單軸拉伸模擬,得到楊氏模量和泊松比隨寬度的變化曲線如圖3(a)和(b)所示．圖3(a)中包含將梁單元進行10倍細化網格后得到的結果,比較發現不同網格密度的最大誤差在1%左右,因此可以采用單個梁單元來模擬共價鍵．圖3(a)表明,扶手椅型石墨烯的楊氏模量值大于鋸齒型,說明楊氏模量與手性相關;隨著寬度的增加,扶手椅型石墨烯的楊氏模量急劇減小,而鋸齒型則迅速增大,當寬度足夠大時(大于10nm),2種手性石墨烯的楊氏模量逐漸穩定,趨于1.03TPa．由圖3(b)可知,扶手椅型石墨烯的泊松比小于鋸齒型,說明泊松比同樣與手性相關;隨著寬度的增加,2種手性石墨烯的泊松比都呈下降趨勢,當寬度足夠大時(大于10nm),2種手性石墨烯的泊松比接近0.175．

圖3 彈性常量隨尺寸的變化曲線

2.1.2 石墨烯的剪切模量

取a=b,對2種手性石墨烯進行純剪切模擬,圖3(c)給出了剪切模量隨邊長的變化曲線．從圖中可以看出,扶手椅型石墨烯的剪切模量略高于鋸齒型,表明手性對剪切模量的影響較小;剪切模量隨著邊長的增加而逐漸變大,邊長較小時上升較快,當邊長足夠大時(大于10nm)剪切模量趨于440GPa．

由以上分析發現,石墨烯的彈性性能與手性和尺寸都相關．扶手椅型石墨烯具有較大的楊氏模量、剪切模量和較小的泊松比,說明扶手椅型石墨烯的彈性性能優于鋸齒型．彈性常量隨尺寸有著不同的變化規律,當尺寸足夠大(大于10nm)時,石墨烯表現出各向同性,其楊氏模量、剪切模量和泊松比的值分別趨于1.03TPa,440GPa和0.175,這與其他研究者得到的結論一致[3,7,14]．

2.2 石墨烯的振動特性

通過對模型的模態分析,能夠得到石墨烯的固有頻率和對應振型．石墨烯框架結構模型的無阻尼自由振動方程為

Mü+Ku=0

(5)

取a=b,考慮圖4的3種邊界條件,研究石墨烯的振動特性．分析邊長為10nm的正方形石墨烯,得到振動基頻如表1所示.表中包含了采用文獻[11-12]方法所得到的振動基頻．可以看出,本文的結果與Shakouri等[12]得到的結果基本一致,而文獻[12]是通過采用密度泛函方法證明其結果的準確性．

圖4 石墨烯的邊界條件示意圖

表1 不同方法得到的振動基頻 GHz

分析邊長為20nm的2種手性石墨烯在2端固定時的振動,得到前5階固有頻率如圖5(a)所示．圖中可以看出,2種手性石墨烯的固有頻率基本一致,表明手性對固有頻率的影響很小．

圖5(b)描述了在2端固定情況下,不同邊長扶手椅型石墨烯的前5階固有頻率．由圖可知,邊長為5nm的石墨烯具有的固有頻率遠大于其他石墨烯,固有頻率隨著邊長的增大而減小,且當邊長較大時,固有頻率逐漸穩定,說明尺寸對固有頻率的影響很大．

邊長為20nm的扶手椅型石墨烯在3種不同邊界條件下的固有頻率如圖5(c)所示．圖中可以看出,1端固定、2端固定和4端固定條件下的固有頻率依次增加,表明對石墨烯的邊界約束越多，得到的固有頻率就越大．

圖5 不同條件下的固有頻率

通過模態擴展可以得到石墨烯固有頻率對應的振型,圖6(a)比較了邊長為20nm的扶手椅型石墨烯,在3種邊界條件下的前3階振型．可見,不同邊界條件下的振型是完全不同的,對于1端固定和2端固定的石墨烯而言,最大的振幅發生在自由邊界處,而4端固定石墨烯的最大振幅則發生在石墨烯內部,這些現象與已有的研究吻合[12,15]．邊長為20nm的2種手性石墨烯在2端固定時的振型如圖6(b)所示.圖6(c)展示了邊長分別為20,30nm的扶手椅型石墨烯在2端固定時的振型．圖6(b)和(c)表明,不同手性和不同尺寸下的石墨烯具有的振型相似,表明手性和尺寸對石墨烯振型的影響并不顯著．

圖6 不同條件下的振型

3 結論

1) 石墨烯的彈性性能與手性和尺寸都相關．扶手椅型石墨烯的彈性性能優于鋸齒型,具有較大的楊氏模量、剪切模量和較小的泊松比．石墨烯的彈性常量隨尺寸的變化規律不同,但當尺寸足夠大時(大于10nm),其楊氏模量、剪切模量和泊松比的值分別趨于1.03TPa,440GPa和0.175,表現出各向同性．

2) 手性對石墨烯振動的固有頻率和振型影響很小;石墨烯的固有頻率與尺寸和邊界條件相關,尺寸越小、邊界的約束越多得到的固有頻率就越大;尺寸對石墨烯振型的影響不顯著,而在不同邊界條件下的振型則完全不同．

3) 由于納米尺度的實驗非常復雜,沒有對模擬結果進行實驗驗證,而是通過和已有的研究進行比較來說明結果的正確性．

)

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