Riemann函數ζ(s)一個簡捷的初等表達式

(江蘇省南通市觀河中學，南通 226014)

0 引 言

這個函數在解析數論中的地位十分重要,當s為正偶數時有Euler經典公式[1]:

的整數 .

s為不小于2的整數.

1 幾個引理

證明見文獻[3].

證明設f(x)=sin-2x-x-2,則f′(x)=-2sin-3xcosx+2x-3，

令

∴f′(x)>0,即f(x)是單調遞增的函數，

2 主要定理

定理Riemann Zeta 函數可表示為：

s為不小于2的整數.

所以根據兩邊夾的法則,有

3 兩點說明

① 利用本結論及de·Mover公式、Newton等冪和公式,可推導出:當s為正偶數時,ζ(s)的準確值[4].

可使定理證明更簡單些.

參考文獻:

[1] T·M·阿普斯托.解析數論引論[M].趙宏量,唐太明譯.哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社，2011.

[3] 匡繼昌.常用不等式[M].4版.濟南：山東科學技術出版社,2010.