二層信用支付下非瞬間變質的供應鏈庫存模型

郝家芹 陳攀峰 姚云飛

（1 宿州學院數學與統計學院，安徽 宿州 234000）（2 阜陽師范學院數學與計算科學學院，安徽 阜陽 236032）

1 引言

經典的供應鏈庫存模型大多數假設零售商在收到訂購的物品時支付全部貨款，但現實銷售過程中供應商為了提高市場銷售額，常允許零售商延期一段時間支付貨款，延期時間稱為信用期。同樣，零售商為了刺激消費，也常提供給其顧客一定的信用期。本文將零售商在享有供應商提供信用期的同時也提供給其顧客信用期的銷售策略定義為二層信用支付策略。2003年，Huang首次將二層信用支付策略引入EOQ模型[1]。此后，Liao和Chang等研究了二層信用支付下變質物品的最優訂貨問題[2]-[3]；Mahata分析了二層信用支付下部分延期付款且考慮易變質物品的經濟生產批量的庫存問題[4]；閔杰等在二層信用支付的前提下研究了線性時變需求的供應鏈庫存問題[5]；潘義前等構建了需求是時間指數函數的二層信用支付的變質物品的庫存模型[6]。這些文獻均未考慮貨幣時間價值對庫存系統的影響。

然而，庫存存在資金投入和公司資產有限下的投資競爭問題并且貨幣在不同的時間常常具有不同的價值。因此，在庫存控制策略中考慮時間對貨幣價值的影響是十分必要的。Chang等用貼現現金流的方法研究了信用期依賴訂購量的變質物品的庫存控制問題，其文中假設若顧客的訂購量超過預先設定的訂購量，供應商提供給其兩種購買方案，即延長信用期和價格折扣[7]；Chung等利用貨幣折現的方法分析了信用支付下變質物品的最優訂購問題[8]；Chung等采用貼現現金流的方法討論了零售商的信用期依賴訂購量的庫存問題，其文中假設若顧客的訂購量小于預先設定的訂購量，顧客需立即支付貨款，否則供應商提供給其信用期[9]；Liao等在考慮貨幣時間價值的前提下建立了二層信用支付下的變質物品的EOQ模型[10]。

上述關于變質物品的文獻均假設物品進入庫存系統立即發生變質，但在現實經濟生產中物品有一定保質期，保質期過后才會發生變質，例蔬菜、水果等。為了使庫存模型更貼近現實，本文研究了二層信用支付下的庫存問題，假設供應鏈中流通的物品具有一定的保質期并且考慮時間對貨幣價值的影響，討論了模型最優解的存在性和唯一性。最后用數值例子對模型的理論結果進行了驗證，對主要參數做了靈敏度分析。

1 模型的符號說明與假設

（1）A、c、p、h分別表示每次的訂購費、單位物品的購買成本、單位售價以及單位物品單位時間的存儲費（不含利息支出）；r、D、Q分別為連續的折現率、單位時間的需求量以及每次訂購量；T為一個訂貨周期（決策變量）；PV∞（T）表示整個計劃期內零售商的相關成本的貼現值；

（2）瞬間供貨，不允許缺貨；提前期為零；計劃期長度無限；多次訂貨且每次訂貨周期的時間長度相等；

（3）物品的保質期為 Tθ，當 0＜T≤Tθ時不發生變質；當 T ＞ Tθ時以常數 θ（0＜θ＜1）的速率發生變質，物品一旦變質立即離開庫存系統且殘值為零；

（4）供應商提供給其信用期M：在信用期內，零售商無需向供應商支付任何費用，其銷售收入可以獲得以Ie為年收益利率的利息；在信用期的最后時刻支付所有購買成本；之后，若庫存有剩余，零售商開始支付庫存成本產生的以Ip為年支付利率的利息；

（5）零售商提供給顧客信用期N：顧客在時刻N前訂購物品，需在N時刻付清貨款，N時刻之后購買的物品需立即支付貨款，并假設：0≤N≤M；

（6）I（t）為 t∈（0，T]內 t時刻的庫存水平；當 T ＞ Tθ時，I（t）記為（0，Tθ]內 t時刻的庫存水平；I2（t）記為（Tθ，T]內 t時刻的庫存水平；

（7）為簡化模型，假設 rce-rm+h-pIe（e-rN-e-rM）≥0.

2 模型的建立

由假設知，在每個供貨周期開始時有Q個單位的物品進入庫存系統。當0≤T≤Tθ時，庫存物品由于需求而減少，在T時刻下降為零。因此，t時刻的庫存水平I（t）的變化可以表示為

解上述微分方程，得 I（t）=D（T-t）， 0≤t≤T 且 T ＜ Tθ.

此情形下，每次的訂購量Q為Q=I（0）=DT.

當T＞Tθ時，庫存水平的變化分為兩個階段：在（0，T]內，庫存水平由于需求而減少，此時庫存水平I1（t）可以表示為 I1′（t）=-D， 0≤t≤Tθ， I1（0）=Q.

解上述微分方程，得

在（Tθ，T]內庫存物品由于需求和變質使得庫存水平下降，并且在T時刻庫存水平下降為零。因此，在（Tθ，T]內 t時刻庫存水平 I2（t）的變化可以表示為 I2′（t）=-D-θI2（t），Tθ≤ t≤ T， I2（t） =0.

解上述微分方程，得

由于在 t=Tθ時刻，庫存物品是連續變化的，因此有 I1（Tθ）=I2（Tθ），所以

將（3）式帶入（1）式得 I1（t）的解析式：I1（T）=D（Tθ-t）+D[eθ（T-Tθ）-1]/θ，0≤t≤Tθ.

整個無限計劃期內，零售商的相關成本的貼現值由以下幾個部分組成。

（1）訂購費的貼現值 V0=A/（1-e-rT）；

（2）庫存維持費的貼現值

當 0＜T≤Tθ時

當T＞Tθ時，

（3）購買成本的貼現值

（4）零售商的利息支出的貼現值VIP

當 Tθ≤M≤T時，

（5）零售商的利息收入的貼現值

整個無限計劃內，零售商的相關成本的貼現值PV∞（T）為

本文的目標函數分以下三種情形：0＜Tθ≤N；N＜Tθ≤M；M≤Tθ.

當 0＜Tθ≤N 時，PV∞（T）為

其中

由 PV1（Tθ）=PV2（Tθ）、PV2（N）=PV3（N）和 PV3（M）=PV4（M）知，PV∞（T）在（0，+∞）內是連續函數。

當 N≤Tθ≤M 時，PV∞（T）為

由 PV1（N）=PV5（N）、PV5（Tθ）=PV3（Tθ）和 PV3（M）=PV4（M）知，PV∞（T）在（0，+∞）內是連續函數。

當 M≤Tθ時，PV∞（T）為

由 PV1（N）=PV5（N）、PV5（M）=PV6（M）和 PV6（Tθ）=PV7（Tθ）知，PV∞（T）在（0，+∞）內是連續函數。

3 理論結果

引理 1 設 F（x）=f（x）e-rx/（1-e-rx）2，其中 f（x）為區間[a，b]上連續增函數，x*為 F（x）在區間[a，b]上的最小值點。

（1）若 f（a）≥0，則 F（x）在[a，b]內是增函數；（2）若 f（a）＜ 0＜ f（b），則 F（x）在[a，x0]內是減函數，在（x0，b]內是增函數，其中 x0為 f（x）=0 在（a，b）內的唯一解；（3）若 f（b）≤0，則 F（x）在[a，b]內是減函數。

定理 1 當 0 ＜ Tθ≤N 時，設 T*為 PV∞（T）在（0，+∞）內的最小值點，則

（1）當 f2（Tθ）≥0、 f3（N）≥0、f4（M）≥0 時，其中為 f1（T）=0 在（0，Tθ）內的唯一解；

（2）當 f2（Tθ）＜0、 f3（N）≥0、 f4（M）≥0 時，其中在（Tθ，N）內的唯一解；

（3）當 f2（Tθ）＜0、 f3（N）＜0、 f4（M）≥0 時，，其中為 f3（T）=0 在（N，M）內的唯一解；

（4）當 f2（Tθ）＜0、 f3（N）＜0、 f4（M）＜0 時，，其中為 f4（T）=0 在內（M，+∞）的唯一解。

證明：PVi（T）（i=1，2，3，4）關于 T 的一階導數，得

其中

并且 f1（0） =-rA 且

由 PV1（Tθ）=PV2（Tθ），PV2（N）=PV3（N）和 PV3（M）=PV4（M）得

下面 fi（T）（i=1，2，3，4）關于 T 求一階導數，得

定理 1（1）的證明：

由假設（6）可知 fi′（T）≥0（i=1，2，3，4），再由引理 1 可得：

（1）當 T≤Tθ時，若 f1（Tθ）≤0，則 PV1（T）在（0，Tθ]在內是減函數；否則，PV1（T）在內是減函數，在內是增函數，其中在（0，Tθ]內的唯一解；

（2）當 Tθ≤T≤N 時，（a）若 f2（Tθ）≥0，則 PV2（T）在[Tθ，N]內是增函數；（b）若 f2（Tθ）＜ 0 ＜ f2（N），則PV2（T）在內是減函數，在內是增函數，其中內的唯一解；（c）若f2（N）≤0，則 PV2（T）在[Tθ，N]內是減函數；

（3）當 N≤T≤M 時，（a）若 f3（N）≥0，則 PV3（T）在[N ，M]內是增函數；（b）若 f3（N）＜ 0 ＜ f3（M），則PV3（T）在內是減函數，在內是增函數，其中為 f3（T）=0 在（N ，M）內的唯一解；（c）若f3（M）≤0，則 PV3（T）在[N ，M]內是減函數；

（4）當 M≤T 時，若 f4（M）≥0，則 PV4（T）在[M ，+∞]內是增函數；否則，PV4（T）在內是減函數，在內是增函數，其中在（M，+∞）內的唯一解。

再由 PV1（Tθ）=PV2（Tθ）、PV2（N）=PV3（N）、PV3（M）=PV4（M）、 f1（Tθ）=f2（Tθ）、 f2（N）=f3（N）以及 f3（M）=f4（M）可得：當 f2（Tθ）≥0、 f3（N）≥0、f4（M）≥0 時，PV（T）在區間內是減函數，在區間內為增函數，故而

定理 1（2）、（3）、（4）同理可得證。

定理 2 當 N≤Tθ≤M 時，設 T*為 PV∞（T）在（0，+∞）內的最小值點，則

（1）當 f5（N）≥0、 f3（Tθ）≥0、 f4（M）≥0 時，，其中在（0，N）內的唯一解；

（2）當 f5（N）＜0、 f3（Tθ）≥0、 f4（M）≥0 時，其中在（N，Tθ）內的唯一解；

證明：PV5（T）關于 T 的一階導數，得

其中

由 PV1（N）=PV5（N）、PV5（Tθ）=PV3（Tθ）和 PV3（M）=PV4（M）得下面f5（T）關于T求一階導數，得

與定理1的證明過程類似，定理2可得證。

定理 3 當 M ＜ Tθ時，設 T*為 PV∞（T）在（0，+∞）內的最小值點，則

（1）當 f5（N）≥0、 f6（M）≥0、 f7（Tθ）≥0 時，

（2）當 f5（N）＜0、 f6（M）≥0、 f7（Tθ）≥0 時，，其中在（N，M）內的唯一解；

（3）當 f5（N）＜0、 f6（M）＜0、 f7（Tθ）≥0 時，，其中為 f6（T）=0 在（M，Tθ）內的唯一解；

（4）當 f5（N）＜0、 f6（M）＜0、 f7（Tθ）＜0 時，，其中為 f7（T）=0 在（Tθ，+∞）內的唯一解。

證明：PVi（T）（i=6，7）關于 T 的一階導數，得

其中

由 PV1（N）=PV5（N）、 PV5（M）=PV6（M）和 PV6（Tθ）=PV7（Tθ）得

下面 fi（T）（i=6，7）關于 T 求一階導數，得與定理1的證明過程類似，定理3可得證。

4 數值例子

用下面的數值例子說明本模型的可行性。

令 A=350；c=15；p=17；Ip=0.15；Ie=0.1；h=0.5；θ=0.08；D=1000；M=0.5；N=0.3；r=0.08；Tθ=0.2.

例 當 Tθ=0.4 時，（1）若 A=10，則 f1（N）=5.1029、 f5（Tθ）=14.4354、 f3（M）=30.8098，由定理 2（1）知：；（2）若 A=100，則 f1（N）=-2.0971 f5（Tθ）=7.2354、f3（M）=23.6098，由定理 2（2）知：（3）若 A=350，則，由定理 2（3）知，（4）若 A=1000，則 f1（N）=-74.0971、 f5（Tθ）=-64.7646、 f3（M）=-48.3902，由定理 2（4）知：

下面分析當Tθ=0.4時M、N的變化對零售商的最優訂貨周期及其相關成本的最小值的影響。

M N PV∞（T*） T*0.40 186640 0.4759 0.5 0.30 191040 0.4798 0.35 191750 0.4920 0.40 192540 0.5049 0.6 0.30 187510 0.4812 0.35 188210 0.4934 0.40 189000 0.5070 0.7 0.30 184000 0.4825 0.35 184700 0.4947 0.40 185490 0.5084

由上表可知：

（1）當其他參數保持不變時，最優解和最優值均隨著信用期N的增大而增大；

（2）當其他參數保持不變時，最優解隨著M的增大而增大，而最優值隨著M的增大而減小。

下圖是折現率對零售商的最優訂貨周期和最優值的影響。

圖1 折現率的變化最優解的影響

圖2 折現率的變化對最優值的影響

由上圖可以看出，最優解和最優值均隨著折現率的增大而減小。

5 結束語

本文研究了非瞬間變質物品且考慮貨幣時間價值的二層信用支付的供應鏈庫存問題，使得本模型更加貼近實際。通過理論分析得出的結果可以為供應鏈中零售商制定訂貨策略提供依據。本模型忽略了顧客需求的變化、缺貨以及供應鏈企業競爭等因素，我們可在本模型的基礎上對這些因素進行進一步的研究。

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