非雙倍測度上的θ-型Caldero′n-Zygmund算子

王海蓮 王良龍 郝江鋒

（1 安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

（2 巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

1 引言及主要結(jié)果

在過去的一段時(shí)間里，非雙倍測度上的奇異積分算子的有界性被廣泛地研究，參考文獻(xiàn)[1-7].設(shè)μ是Rd上的非雙倍Radon測度，對所有的x∈Rd，r＞0和某些固定的0＜n≤d，滿足

其中C是與x和r無關(guān)的正數(shù).對于x∈supp μ和 r＞0，若存在正常數(shù)C使得μ（B（x，2r））≤C μ（B（x，r）），則稱 μ 滿足雙倍條件。

令θ是一個(gè)定義在R+=（0，∞）上的非負(fù)不減函數(shù)，滿足

關(guān)于上述核和測度μ的θ-型Calder ο′n-Zygmund算子被定義為

這個(gè)積分可能對許多函數(shù)都不收斂，從而考慮截?cái)嗪瘮?shù)Tε（ε＞0），其定義為

若 Tε關(guān)于 ε＞0 在 LP（ μ）上一致有界，則稱 T 在 LP（ μ）上有界.

Tolsa在[1]中建立了非雙倍測度上的Calder ο′n-Zygmund理論。后來，胡國恩、孟巖和楊大春等在[2-4]中研究了非雙倍測度上的奇異積分的極大算子和多線性交換子。受這些文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文研究了θ-型 Calder ο′n-Zygmund 算子若滿足 L2（ μ）有界性，則是從 L∞（ μ）到 RBMO（μ）上有界算子。在給出主要結(jié)果之前，先回顧一些定義。

設(shè)Rd中的方體Q是一個(gè)閉方體，其邊平行于坐標(biāo)軸且邊長記為l（Q）。令a和βd是滿足a＞1和βd＞an的正常數(shù)。若 μ（aQ）≤β μ（Q），則稱 Q 是（a，β）雙倍方體，其中 aQ 表示以 Q 的中心為中心，邊長為al（Q）的方體。對于兩個(gè)方體Q?R，令

其中NQ，R表示滿足 l（2kQ）≥l（R）的最小正整數(shù) k.

定義1[1]設(shè)b是μ-局部可積函數(shù)，稱b∈RBMO（μ）.如果存在一個(gè)常數(shù)C＞0使得

且對于任何兩個(gè)雙倍方體Q?R，有

滿足（7）和（8）的最小常數(shù) C 稱為 b 的 RBMO（μ）范數(shù)，記為‖b‖*.

Tolsa在[1]中說明了RBMO（μ）的定義與 ρ，α＞1和 βd＞αn的選取無關(guān)。本文我們選取 ρ＝ α ＝2和βd＞2d+1.若 Tε關(guān)于 ε 從 L∞（ μ）到 RBMO（μ）上一致有界，則稱 T 從 L∞（ μ）到 RBMO（μ）上有界。

定理 1 若 θ-型 Calder′on-Zygmund 算子 T 是 L2（ μ）有界的，則它是從 L∞（ μ）到 RBMO（μ）上的有界算子。

注 全文中的C是一個(gè)與主要參數(shù)無關(guān)的正常數(shù)，但是它在不同的地方有可能取的值不同。用p′表示p的共軛指數(shù)，即滿足

2 定理的證明

為了證明定理1，我們利用[1]中RBMO（μ）的等價(jià)定義。

引理 1 設(shè)f∈Lloc（μ），下面兩個(gè)命題是等價(jià)的：

（b）存在一個(gè)常數(shù)C＞0使得對每個(gè)方體Q，

且對于任何兩個(gè)雙倍方體Q?R，

定理 1 的證明 首先證明若 f∈L∞（ μ）∩LP0（ μ），P0∈[1，∞），則

對于任何方體Q，

由 Ho¨lder不等式和 T 的 L2（ μ）有界性，得到

通過條件（4），對任何 x，y∈Q，有

這里我們使用了下面的不等式：

因此

接下來證明（10）成立，即證明若Q?R，則有

因?yàn)镹Q，R表示滿足 2kQ?R 的最小正整數(shù)k.令QR=2NQ，R+1Q，對于 x∈Q和 y∈R，有

因?yàn)?/p>

所以現(xiàn)在對x在Q上取平均，對y在R上取平均，由T的L∞（μ）有界性，得到

另一方面，因?yàn)閘（QR）≈l（R）得到

從而

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