二維玻色-愛因斯坦凝聚中孤立波的調制不穩定性*

張恒 段文山

(西北師范大學物理與電子工程學院,蘭州 730070)

(2012年8月27日收到;2012年9月4日收到修改稿)

1 引言

自從1995年玻色-愛因斯坦凝聚在堿金屬原子中實現以來,人們在實驗和理論方面對它做了大量的研究[1?13].這些研究工作又一次燃起了人們對這一物態的研究興趣[14,15],其中一個令人極其感興趣的問題是玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)的動力學行為[16?18]研究.在零溫極限情況下,所有原子都發生凝聚,這使得體系很自然地可以用平均場下的Gross-Pitaevskii(GP)[19]方程來描述.并且在該理論下還發現了BEC系統所滿足的Korteweg-de Vries(KdV)方程和暗孤子[20?24].眾所周知,在很多物理研究領域內都發現了孤子,比如塵埃等離子體[25,26]、激光等離子體[27]、BEC系統[28?31]、二維系統[32]等.

自從在BEC系統中發現孤子以來,調制不穩定性是孤子研究[33]中的一個有趣的問題.可以確定的是對于單組分BEC系統的穩定性可用標記原子之間相互作用的方法來惟一確定.由于原子的相互作用[34,35],在原子數目的最大臨界值以內凝聚是穩定的.因為有外部原子源的存在,當原子數目超過最大臨界值時,由于BEC內的原子相互作用半徑趨于零導致中心凝聚密度區域無窮大.因此,凝聚開始塌縮發射出原子,直到原子數目減少到臨界值以下結構達到穩定.然后凝聚物又開始堆積,一系列的塌縮也伴隨發生.

繼文獻[33]的研究工作之后,我們給出一種處理GP方程以及從二維非線性Schrodinger方程(NLSE)出發去描述BEC中孤立波的方法,并得出了色散關系的顯示式,同時,還解析研究了單組分常振幅BEC(TBEC)的調制不穩定性.

2 二維非線性Schrodinger方程的導出

假設用波函數來描述粒子數為N具有相同量子態的凝聚氣體.在低溫情況下,具有弱相互作用的玻色氣體的動力學行為可以用含時的Gross-Pitaevskii方程來描述,寫出序參量[36]

這里的U0=4πˉh2as/m是相互作用常數,as是原子間s波散射長度(具有排斥相互作用的系統as＞0),m為原子質量.假設粒子被限制在具有盤狀勢Vext=m[ω(x2+y2)+ωz2]/2的阱中,ω⊥代表x軸或y軸的橫向頻率,ωz為z方向的勢阱頻率.為了方便變量無量綱化,規定x=[/(mωz)]1/2ξ,y=[/(mωz)]1/2η,z=[/(mωz)]1/2ζ,t=(ωz)?1τ.

將這些變量帶入方程(1)中則有

由于盤狀勢ω⊥/ωz非常小,因此 (ω⊥/ωz)2可以被忽略.然后有:

假設勢阱的x軸和y軸是相互垂直的,可以把波函數寫成Ψ=f(ξ,η,τ)g(ζ),g(ζ)滿足

方程(4)就是大家熟知的一維量子諧振子本征方程,它的基態解的形式為g0=exp(?ζ2/2),對應的本征值為ν=1/2.將波函數的表達式代入方程(3),并乘以g?可以得到

將方程(4)代入方程(5),得到如下形式:

通過如下的變換

可以得到

給方程(8)左右同乘 e?ζ2/2,讓方程(4)中g=g0并代入方程(8)中,對ζ積分一次以消除方程對ζ的依賴,得到

其中

這里的μ是化學勢.

3 TBEC的調制不穩定性

這一部分將研究TBEC的調制不穩定性.將方程(9)中的振幅w分成如下的兩部分:

其中w0是孤立波的常實振幅,δw(δw?w0)是小振幅微擾,φ是非線性頻移.把方程(10)代入方程(9)中并保留零階項和一階項(線性化),得到

這里的δw?是δw的復共軛.把δw=X+i Y代入方程(12)中,并將實部和虛部分開,得到如下耦合方程:

假設振幅微擾δw=X+i Y,其中

這里的?是調制波的頻率.Kξ和Kη分別為ξ和η方向的調制波數.用方程(15)和(16)可以得到非線性色散關系

由方程(17)可以推斷,如果滿足如下條件:1)B＞0,C＞0且A＜0;2)B＜0,C＜0且A＞0,?2＞0.對于以上條件,?是實數,所以孤立波是穩定的.上文中考慮的條件對于as＞0所對應的原子間相互作用力為斥力,因此TBEC的孤立波是穩定的.相反,如果?2＜0,?是虛數,那么TBEC的孤立波是不穩定的.這樣看來是存在調制不穩定的條件.

為簡單起見,令Kη=0,那么微擾振幅只在ξ方向上.鑒于這種情況,方程(17)的色散關系可以被重新寫作?2=B2KK?2(A/B)|w0|2].因此,滿足條件1)BA＜0,2)BA＞0但K2(A/B)|w0|2時,TBEC中的孤立波是調制不穩定的.這樣看來,孤立波的穩定性依賴于A/B的符號.當波數Kξ滿足K＜2(A/B)|w0|2,如果B和A同號,TBEC中的孤立波是調制不穩定的.當原子間相互作用了為引力,as＜0,AB＞0時,如果K＜2(A/B)|w0|2,孤立波是不穩定的,然而如果K＞2(A/B)|w0|2,孤立波是穩定的.因此,對于原子間相互作用力為斥力,as＞0,AB＜0時,對于所有條件孤立波都是調制穩定的.

由條件d?/d Kξ=0,可以找到增長率的最大值.當時,與增長率最大值相應的頻率可由γmax=|A||w0|2得到.如果Kξ=0,微擾振幅只在η方向存在.那么方程(17)的色散關系可以重新寫作?2=C2K[K?2(A/C)|w0|2].對于以上條件可以類似地做穩定性分析.

4 結論

本文由GP方程出發,推導出了二維Schr¨odinger方程.研究了TBEC中孤立波的調制不穩定性.研究發現,as＞0對于任何條件孤立波都是調制穩定的.而對于條件as＜0,孤立波在K2＞2(A/B)|w0|2和K2＜2(A/B)|w0|2情況下分別為穩定和不穩定.同時,如果擾動的波數足夠大,那么波是穩定的,否則是不穩定的.

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