精確Cosserat彈性桿動力學的分析力學方法*

薛紜 翁德瑋 陳立群

1)(上海應用技術學院機械工程學院,上海 201418)

2)(上海大學,上海市應用數學和力學研究所,上海 200072)

(2012年7月11日收到;2012年8月29日收到修改稿)

1 引言

彈性桿力學具有悠久的歷史和廣泛的應用背景.20世紀70年代,彈性桿被作為脫氧核糖核酸(DNA)等生物大分子的力學模型研究其位形的拓撲性質、平衡及其穩定性,進一步推動了彈性桿力學的發展[1?4].鑒于應用背景的復雜和多樣性,彈性桿力學面臨新的問題:其一是極端細長導致小應變累積成超大位移,形成異常復雜的幾何形態;其二是全新的約束形式,如自接觸等,對組蛋白的纏繞包括了經典約束具有的單面、非定常、非完整等特征[2,5].因分析力學的建模方法在約束處理和數值計算上的優勢[6,7],文獻[8—12]建立了Kirchhoff彈性桿靜力學和動力學的分析力學理論框架,文獻[13,14]將近代分析力學中的對稱性理論引入彈性桿靜力學,得到了由對稱性導致的守恒量.

Kirchhoff彈性桿靜力學和動力學的分析力學方法已有所研究,由于忽略了彈性桿截面因變形導致隨弧坐標的平移,即拉壓和剪切變形,使得變分原理中與主矢有關的項以及關于主矢的3個動力學方程不具有分析力學的形式,并且因主矢與主矩的耦合使得主矩方程的表達也不盡如人意[8?12],給應用帶來了不便.在彎扭基礎上再計及軸向拉壓和截面剪切變形的彈性桿模型是Kirchhoff模型的改進[15,16],這被稱之為Cosserat彈性桿或精確模型,Kirchhoff彈性桿是其特例.

本文引入了關于主矢的本構方程后形成的精確Cosserat彈性桿的分析力學方法,其變分原理和動力學方程完全具有分析力學的形式,這既有助于充分利用分析力學的現有成果為彈性桿力學提供新方法,又有利于拓展分析力學的應用領域.

精確Cosserat彈性桿運動和變形的幾何關系見文獻[16,17].本文基于位形空間的虛位移概念,建立彈性桿精確模型的d’Alembert-Lagrange原理和Hamilton原理,在線性本構關系下導出完全具有分析力學形式的各種運動微分方程,且以弧坐標和時間雙自變量為特征.為利用分析力學的現有成果,如對稱性和守恒量等以及在數值仿真時實施辛算法鋪平道路.

2 彈性桿精確模型的位形描述

依據平面截面假定,以彈性桿的截面為對象,因變形導致截面隨弧坐標發生轉動和斜向平移,如圖1所示.建立慣性坐標系(O-ξηζ)和與截面固結的形心主軸坐標系(P-xyz),沿坐標軸的單位基矢量列陣分別為和ep=(e1(t)e2(,t)e3(,t))T,其中=(s,t)為變形后的弧坐標,s為未變形時的弧坐標,e3為截面的外法矢,指向弧坐標的正向.兩組基有關系ep=Q eI,Q為單位正交陣.(P-xyz)的位置和姿態用截面形心相對慣性系的矢徑r=O P的坐標陣和Euler角列陣描述,r,qE的坐標依次用 qα,(α=1,···,6)表示.截面的運動方程為

圖1 彈性桿截面的平移

對于給定的姿態 qα=qα(s,t),(α=4,5,6),截面隨弧坐標的平移存在如下關系:?r=e3?s+?w(見圖 1),r(q1,q2,q3) 和 w(q1,···,q6)分別為中心線上一點P的矢徑和位移矢量.于是得到關于中心線的微分方程

其中γ=?sw為P點的應變矢量,其主軸分量γi=γ·ei,(i=1,2,3)中的前兩個為截面的剪應變,第三個為拉壓應變,存在關系

Kirchhoff彈性桿是取γ=0[8?12].

截面的彎扭度ω和角速度?為截面姿態角對弧坐標s和時間t全偏導數的線性組合

式中波浪號表示相對主軸坐標系(P-xyz)求導,ν=?tr,ω和? 的Euler角表達將使(6)式成為恒等式.(2),(3),(6)和(7)式組成彈性桿精確模型的運動學方程.

值得指出的是,應變矢γ和彎扭度ω都是反映中心線彎曲的特征量.

3 彈性桿截面的虛位移

對于變形后的彈性桿,截面隨弧坐標繞形心轉動的同時還存在平移.定義如下彈性桿截面的虛位移[8].

定義(截面的虛位移) 約束所允許的、與弧坐標s和時間t變化無關的、假想的截面無限小位移定義為彈性桿截面的虛位移,它可分解為隨形心的虛平移和相對形心的虛角位移,分別記為δr和δΦ,它對應于如下的變分定義

其中與虛位移δr和δΦ對應的廣義坐標變分依次記為δpqα,(α=1,2,3)和δrqα,(α=4,5,6).對僅為廣義坐標qα,(α=1,2,3)的函數的變分,有δ=δp,同理,對僅為廣義坐標qα,(α=4,5,6)的函數的變分,有δ=δr.

定義微分和變分δ,δp服從交換關系

和運算的普遍性.

由(2)和(5)式知,截面的虛位移存在如下關系:

并有

與Kirchhoff模型類似,可以證明存在以下運動學關系[13]

或

以及

或

其中波浪號表示相對主軸坐標系求導或變分.這些關系也可以用Euler角驗證.

若彈性桿被限制在慣性空間(O-ξηζ)中的固定光滑曲面上,約束方程為

在約束的基本假設下[8,9,11,12],(14)式可以化作對截面位形的約束方程

式中 (ξ,η,?)為截面的形心坐標,b(s,μ(s,t))為截面與約束曲面接觸點相對截面形心的矢徑,bξ,bη,bζ是其投影.(15)式的變分可化為

(16)式可簡寫為

式中Aα為(16)式中坐標變分前的系數.方程(16)等價于理想約束條件

其中fC為曲面對桿的分布約束力集度.

4 彈性桿精確模型動力學的微分變分原理

考察原長為?s的微段桿(圖1),作用于其上的內力主矢F,主矩M,慣性力以及約束力的“虛功率”與Kirchhoff模型的區別僅在于(2)式和?sˉs?=1.不計因變形產生的慣性力,并利用理想約束條件,可以得到如下的“虛功率”表達式

式中ρ為彈性桿沿中心線的線密度,J為截面的慣量并矢,在主軸坐標系下的坐標陣為J=其中Ji=ρIi/A,A為截面積,I1,I2為截面對主軸x,y的慣性矩,I3為截面對主軸z的極慣性矩,且有I3=I1+I2;f(s,t)和m(s,t)為沿中心線作用的連續分布力和分布力偶.

彈性桿精確模型動力學的 d’Alembert-Lagrange原理表述為:受有理想雙面約束的彈性桿在任意時刻的真實運動不同于運動學上的可能運動僅在于真實運動對于任意的虛位移,有

(19)和(20)式也可以直接從矢量形式的動力學方程導出.

設彈性桿服從線性本構關系,用主軸分量表示為

下面將用矢量表達的“虛功率”(19)式化作分析力學形式.

根據(8)—(13)式和分析力學的經典推導,對(α=1,2,3)可以導出如下關系:

式中撇號和點號分別表示?s和?t,Sp=為截面的平移彈性應變能和平移動能.

對(α=4,5,6)有以下關系:

以及[9]

或

可以導出

(25)和(26)式推導從略[9].(22)和(27)式的推導如下:

及

其中用到了關系

于是,(20)式化作Euler-Lagrange形式

式中,Λp=Sp?Tp,Λr=Sr?Tr,fα=f·?r/?qα,(α=1,2,3),fα=m·Ξα,(α=4,5,6).注意到有關系

(28)式可寫成

其中

為彈性桿動力學的Lagrange函數.(29)式可化作Nielsen形式

特殊地,對于除端點外不受力作用的彈性桿平衡時,動能為零,即Tp=Tr=0,由矢量形式的平衡微分方程知截面主矢F為常矢量,不失一般性,設

此守恒量不能預先嵌入上面的彈性應變能函數Sr和Sp,但可以證明存在標量函數V,使得

其中

顯然,當Ki→∞時,(34)式與Kirchhoff模型一致[1]于是,(29)式化為

其中U=Sr?V.(35)式是利用守恒量(32)式的彈性桿靜力學的d’Alembert-Lagrange原理.

5 彈性桿精確模型的動力學方程及其平衡問題的首次積分

對于除端點外不受約束的自由彈性桿,廣義坐標變分均為獨立,由原理(20),(29)和(31)式分別導出矢量形式的動力學方程

和Lagrange方程

以及Nielsen方程

(37)和(38)式統一表達了彈性桿動力學的全部方程.對于受有形如(14)式的曲面約束,導出帶乘子的Lagrange方程

從原理(35)式導出平衡微分方程

討論(40)式的首次積分:

1)若取q1=ξ,q2=η,q3=ζ,則因?Sp/?qα=0(α=1,2,3),從式(40a)導出循環積分

此積分的力學意義是主矢在慣性坐標軸的分量為常量,這和平衡的矢量方程結果一致;

2)若取Euler角為姿態坐標,與Kirchhoff模型相同的是,仍有?U/?ψ=0,即進動角仍是循環坐標,從式(40b)導出循環積分

3)因Sp,U都不顯含s,存在廣義能量積分

6 彈性桿精確模型的Hamilton原理和Hamilton正則方程

將(20)式乘d s·d t后再對s和t積分,化作積分變分原理

其中用到了d-δ交換關系(9)式和端點變分條件

當彈性桿服從線性本構關系(21),且不計主動分布力f(s,t)和m(s,t)時,(44)式可進一步化作

其中Λ已由(30)式定義.(46)式就是彈性桿精確模型動力學的Hamilton原理.直接計算變分,從原理(46)式可以導出方程(37)和(38).

定義正則變量qα,以及

從而解出

定義彈性桿的Hamilton函數

直接計算偏導數,并注意到(37)式,導出彈性桿的Hamilton正則方程

3×6 個變量 qα,psα,ptα,(α=1,···,6),(48)式共有3×6方程,方程組封閉.正則方程(48)顯示了彈性桿動力學的特殊性,其相空間是3×6維.

7 結論

基于位形空間上的虛位移定義建立的精確Cosserat彈性桿動力學的d’Alembert-Lagrange原理,可以導出Lagrange方程和Nielsen方程.建立的Hamilton原理和Hamilton正則方程保持了其經典形式.從而將存在不足的Kirchhoff彈性桿動力學的分析力學方法推廣到計及拉壓和剪切變形情形,使彈性桿的全部動力學方程都表達成分析力學的形式,完成了分析力學方法對彈性桿動力學的移植.雙自變量特征也為分析力學的進一步研究提出了新的問題.

[1]Liu Y Z 2006 Nonlinear Mechanics of Thin Elastic Rod—Theoritical Basis of Mechanical Model of DNA(Beijing:Tsinghua University Press,Springer)p1432(in Chinese)[劉延柱2006彈性細桿的非線性力學—–DNA力學模型的理論基礎(北京:清華大學出版社Springer)第1432頁]

[2]Liu Y Z 2003 Mech.Eng.25 1(in Chinese)[劉延柱2003力學與實踐25 1]

[3]Ouyang Z C 2003 Physics 32 728(in Chinese)[歐陽鐘燦2003物理32 728]

[4]Li M,Ouyang Z C 2003 Science 55 15(in Chinese)[黎明,歐陽鐘燦2003科學55 15]

[5]Malacinski G M(translated by Wei Q)2005 Essentials of Molecular Biology(4th Ed.)(Bejing:Chemical Industry Press)p59(in Chinese)[喬治M馬拉森斯基著(魏群譯)2005分子生物學精要(北京:化學工業出版社)第59頁]

[6]Westcott T P,Tobias I,Olson WK 1995 J.Phys.Chem.99 17926

[7]Pozo Coronado L M 2000 Physica D 141 248

[8]Xue Y,Liu Y Z,Chen L Q 2005 Chin.J.Theor.Appl.Mech.37 485(in Chinese)[薛紜,劉延柱,陳立群2005力學學報37 485]

[9]Xue Y,Liu Y Z 2006 Acta Phys.Sin.55 3845(in Chinese)[薛紜,劉延柱2006物理學報55 3845]

[10]Xue Y,Liu Y Z 2006 Chinese Quarterly of Mechanics 27 550(in Chinese)[薛紜,劉延柱2006力學季刊27 550]

[11]Xue Y,Wen D W 2009 Acta Phys.Sin.58 34(in Chinese)[薛紜,翁德瑋2009物理學報58 34]

[12]Xue Y,Shang H L 2009 Chin.Phys.Lett.26 074501

[13]Zhao WJ,Weng Y Q,Fu JL 2007 Chin.Phys.Lett.24 2773

[14]Wang P,Xue Y,Liu Y L 2012 Chin.Phys.B 21 070203

[15]Cao D Q,Tucker R W 2008 Int.J.Solids Struct.45 460

[16]Xue Y,Weng D W,Chen L Q 2009 Chinese Quarterly of Mechanics 30 116(in Chinese)[薛紜,翁德瑋,陳立群2009力學季刊30 116]

[17]Xue Y,Weng D W 2011 Mech.Eng.33 65(in Chinese)[薛紜,翁德瑋2011力學與實踐33 65]