具有隨機(jī)節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步研究*

劉金良

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,南京 210046)

(2012年8月18日收到;2012年9月20日收到修改稿)

1 引言

由于許多實(shí)際系統(tǒng),如internet、電力系統(tǒng)、智能交通網(wǎng)絡(luò)等都可以通過(guò)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行描述,因此,近年來(lái),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)成為研究熱點(diǎn)問(wèn)題,受到物理、通信、計(jì)算機(jī)以及生命科學(xué)等領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注[1?4].其中,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題更是備受關(guān)注.所謂復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步是指性質(zhì)相同或相近的兩個(gè)或多個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),通過(guò)系統(tǒng)間的相互作用,使得在不同初始條件下的各種演化的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)逐漸接近,最后達(dá)到全同的狀態(tài).有關(guān)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題已經(jīng)有很多研究成果.文獻(xiàn)[5]利用滑模控制法對(duì)規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的混沌同步問(wèn)題進(jìn)行了研究,針對(duì)一個(gè)混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制或驅(qū)使一個(gè)混沌系統(tǒng)同步于另一個(gè)混沌態(tài)的滑模控制法推廣到由多個(gè)混沌系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究中,同時(shí)設(shè)計(jì)了網(wǎng)絡(luò)滑模面以及控制輸入,并依據(jù)穩(wěn)定性理論分析了它們的有效性.基于網(wǎng)絡(luò)拆分思想并運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論,文獻(xiàn)[6]研究了一類具有非線性耦合的多重邊賦權(quán)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),給出了該類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步準(zhǔn)則.文獻(xiàn)[7]對(duì)一類具有不相同節(jié)點(diǎn)和非線性擾動(dòng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題進(jìn)行了研究,作者通過(guò)使用自適應(yīng)控制和脈沖控制的方法給出了具有更小保守性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步判據(jù).

與此同時(shí),在實(shí)際的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中,很多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步受到時(shí)滯的影響,如通訊網(wǎng)絡(luò)總信號(hào)的傳播通常是有時(shí)滯的,病毒在傳播中也是存在一定的時(shí)滯的.而時(shí)滯可能導(dǎo)致復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)性能下降,甚至震蕩或不穩(wěn)定,因此,為了更好地模擬實(shí)際網(wǎng)絡(luò),在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的建模過(guò)程中,應(yīng)該充分考慮到時(shí)滯所到來(lái)的影響.文獻(xiàn)[8,9]通過(guò)使用Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)一類具有耦合時(shí)滯的線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行了研究,給出了具有更小保守型的同步判據(jù).文獻(xiàn)[10]對(duì)一類具有耦合時(shí)滯的連續(xù)和離散的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的同步問(wèn)題進(jìn)行了研究,然后通過(guò)對(duì)時(shí)滯進(jìn)行劃分的思想,借助分段分析的方法得到了時(shí)滯依賴的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的充分性判據(jù),由于該方法利用了更多的時(shí)滯信息,因此得到的結(jié)論具有更小的保守性.文獻(xiàn)[11]對(duì)一類具有隨機(jī)非線性和概率時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究了其族同步問(wèn)題,然后基于隨機(jī)分析的理論得到了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯概率分布依賴的族同步判據(jù).

考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的復(fù)雜性,其動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)非線性是很難確定的,因此考慮其節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)變化就變得很有意義.已經(jīng)有不少文獻(xiàn)對(duì)節(jié)點(diǎn)互異的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[12]對(duì)星形網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了研究,結(jié)果表明隨著耦合強(qiáng)度的增大,網(wǎng)絡(luò)中相鄰結(jié)點(diǎn)的兩個(gè)系統(tǒng)之間存在相同步現(xiàn)象,而且相同步行為與定義的量化指標(biāo)之間存在較準(zhǔn)確的對(duì)應(yīng)關(guān)系.文獻(xiàn)[13]對(duì)節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)互異的離散型時(shí)空混沌系統(tǒng)構(gòu)成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的反同步問(wèn)題進(jìn)行了研究,通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù),確定了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中連接節(jié)點(diǎn)之間的耦合函數(shù)的結(jié)構(gòu)以及控制增益的取值范圍,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)存在穩(wěn)定的混沌反同步現(xiàn)象.

基于上述討論,本文研究了具有隨機(jī)節(jié)點(diǎn)分布的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題,通過(guò)引入一個(gè)服從Bernulli分布的隨機(jī)變量來(lái)表示節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)變化.通過(guò)使用Lyapunov穩(wěn)定性理論和隨機(jī)系統(tǒng)理論給出了該類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步穩(wěn)定的充分性判據(jù),其中,這些判據(jù)是以便于計(jì)算機(jī)matlab求解的線性矩陣不等式的形式給出.需要指出的是,該充分性判據(jù)不僅與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)時(shí)延有關(guān),還與節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的概率分布有關(guān).

2 網(wǎng)絡(luò)模型與預(yù)備條件

考慮由N個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的連續(xù)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò),每個(gè)節(jié)點(diǎn)是n維子系統(tǒng),其模型為

其中 xi(t)=(xi1(t),xi2(t),···,xin(t))T∈ Rn為第 i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量;A,B是已知矩陣;f1(·),f2(·)∈Rn是連續(xù)可微的向量函數(shù);Γl∈Rn×n(l=1,2)是已知的常數(shù)正定對(duì)角矩陣,表示內(nèi)部耦合矩陣;G=(gij)∈RN×N是耦合配置矩陣,表示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和節(jié)點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度,其元素gij定義為:若在節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn) j(i?=j)間有連接,則gij=gji＞0,否則gij=gji=0(i?=j).矩陣G的對(duì)角元素定義[11]為

τ(t)為時(shí)變時(shí)滯,滿足τ1≤τ(t)≤τ2,其中 0≤τ1≤τ2,這里時(shí)滯下界τ1可以為0;δ(t)服從Bernulli分布,定義如下:

假設(shè)δ(t)滿足

則

注1 與傳統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[3?5]不同的是,這里用服從Bernulli分布的隨機(jī)變量δ(t)來(lái)表示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)孤立節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)行為的隨機(jī)變化.由δ(t)的定義可知,在復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)中,非線性函數(shù)f1(·)與 f2(·)按照 δ(t)進(jìn)行隨機(jī)切換.

注2 系統(tǒng)模型(1)是具有一定代表性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型,首先該模型考慮了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)行為的隨機(jī)變化,其次模型考慮了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的時(shí)滯,而且模型中既包含非時(shí)滯耦合項(xiàng)也包含時(shí)滯耦合項(xiàng).

假設(shè)1 對(duì)任何u,v∈Rn,非線性函數(shù) f1(·)與f2(·)滿足以下扇形區(qū)域條件:

注3 由假設(shè)1可知

其中

?表示對(duì)稱矩陣所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱元素(下同).

使用矩陣的Kronecker積,系統(tǒng)(1)可以重寫為緊湊形式:

其中

給出本文主要結(jié)論之前,首先給出如下引理.

引理1[14]對(duì)給定的τ1≤τ(t)≤τ2,x(t)∈Rn,以及任意的正定矩陣R∈Rn×n,有

引理2[15]假定0≤τm≤τ(t)≤τM,1,2以及?是已知的維數(shù)匹配矩陣,則

成立,當(dāng)且僅當(dāng)下面式子成立

3 主要結(jié)論

本節(jié)給出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(9)式同步的穩(wěn)定性準(zhǔn)則.定義

則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(9)式可以重寫為

定理1 對(duì)于給定的時(shí)滯信息0≤τ1＜τ2和節(jié)點(diǎn)概率分布信息δ0∈[0,1],系統(tǒng)(1)同步漸近穩(wěn)定,若存在正定矩陣P＞0,Q1＞0,Q2＞0,R1＞0,R2＞ 0,合適維數(shù)的矩陣 Ni,Mi(i=1,2,···,6),以及適當(dāng)維數(shù)的對(duì)角矩陣Λ1和Λ2,使得下面的線性矩陣不等式對(duì)s=1,2成立:

其中

證明 構(gòu)造如下形式的Lyapunov泛函:

其中V1(xt)=xT(t)P x(t),

則V(xt)沿系統(tǒng)(14)式求如下算子運(yùn)算:

并對(duì)其取數(shù)學(xué)期望得:

由引理1可知

而

由假設(shè)1和注3,存在對(duì)角陣Λ1和Λ2使得下式成立

應(yīng)用自由權(quán)矩陣,有

注意到存在矩陣R2,使得

將(22)和(23)式代入(17)式的右邊,結(jié)合(18)—(25)式,可得

由(15)式可知,當(dāng)s=1,2,利用Schur補(bǔ)引理,可得

再由引理2,可得

利用Lyapunov穩(wěn)定性理論,系統(tǒng)(14)式同步漸近穩(wěn)定,于是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)是同步漸近穩(wěn)定的.

注4 由定理1可以看出,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)的同步漸近穩(wěn)定不僅依賴于狀態(tài)時(shí)延τ1,τ2,還依賴于節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的概率分布.

下面給出上面結(jié)果的一個(gè)特例,其證明類似定理1的證明.

當(dāng)δ(t)=1,也即不考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)的隨機(jī)節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的變化,此時(shí)系統(tǒng)(1)退化成

利用Kronecker積,系統(tǒng)(30)式可以重寫為下面緊湊形式:

定義

則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(31)式可以重寫為

類似于定理1,構(gòu)造如下Lyapunov泛函

使用自由權(quán)矩陣N和M:

可以得到如下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(30)式同步的穩(wěn)定性準(zhǔn)則.

定理2 對(duì)于給定的時(shí)滯信息0≤τ1＜τ2,系統(tǒng)(30)同步漸近穩(wěn)定,若存在正定矩陣P＞0,Q1＞0,Q2＞0,R1＞0,R2＞0,合適維數(shù)的矩陣Ni,Mi(i=1,2,···,5) 以及適當(dāng)維數(shù)的對(duì)角矩陣Λ,使得下面的線性矩陣不等式對(duì)s=1,2成立:

其中

4 數(shù)值仿真

考慮如下具有5個(gè)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),每個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)行為通過(guò)如下系統(tǒng)來(lái)描述:

其中

假設(shè)外部耦合矩陣與內(nèi)部耦合矩陣可以分別通過(guò)如下形式給出:

當(dāng)節(jié)點(diǎn)的概率分布δ0=0.7,令時(shí)滯下界τ1=0.1,通過(guò)定理1,通過(guò)使用matlab的LMI工具箱求解(15)式可得,時(shí)滯上界τ2=1.3,并且對(duì)不同的節(jié)點(diǎn)概率分布δ0,當(dāng)τ1=0.1時(shí),可以分別得到對(duì)應(yīng)的時(shí)滯上界τ2(見表1).

選擇如下初始條件:

當(dāng) τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6,可得圖 1 和圖 2 仿真曲線.其中,圖1給出了時(shí)滯τ(t)的變化規(guī)律,圖2給出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(9)式的狀態(tài)相應(yīng)曲線,其中xj(i=1,2,···,5;j=1,2)表示第 i個(gè)節(jié)點(diǎn)的第j個(gè)狀態(tài),由該曲線可以看出該復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以很快達(dá)到同步.

圖1 當(dāng)τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6時(shí),時(shí)滯τ(t)的變化曲線

表1 對(duì)于不同的δ0(τ1=0.1),系統(tǒng)所允許的最大時(shí)滯τ2

圖2 當(dāng)τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6時(shí),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)狀態(tài)曲線

上面的算例里面,我們僅選擇N=5,隨著節(jié)點(diǎn)的增多,上面結(jié)論也能很好地使得系統(tǒng)達(dá)到同步.如其他條件不變,當(dāng)N=10,外部耦合矩陣

當(dāng)初始狀態(tài)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(9)式的狀態(tài)相應(yīng)曲線如圖3所示.

圖3 當(dāng)τ1=0.1,τ2=1.2,δ0=0.6時(shí),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)狀態(tài)曲線

5 結(jié)論

本文對(duì)一類具有隨機(jī)節(jié)點(diǎn)分布的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題進(jìn)行了研究.借助Lyapunov穩(wěn)定性理論和隨機(jī)系統(tǒng)理論給出了該類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步穩(wěn)定的充分性判據(jù).其中,這些判據(jù)是以便于計(jì)算機(jī)matlab求解的線性矩陣不等式的形式給出.仿真算例表明了本文方法的有效性.

[1]Strogatz S H 2001 Nature 410 268

[2]Albert R,Barabasi A L 2002 Rev.Mod.Phys.74 47

[3]Wang J A 2012 Acta Phys.Sin.61 020509(in Chinese)[王健安2012物理學(xué)報(bào)61 020509]

[4]L¨u L,Liu S,Zhang X,Zhu J B,Shen N,Shang J Y 2012 Acta Phys.Sin.61 090504(in Chinese)[呂翎,柳爽,張新,朱佳博,沈娜,商錦玉2012物理學(xué)報(bào)61 090504]

[5]L¨u L,Li Y S,Wei L L,Yu M,Zhang M 2012 Acta Phys.Sin.61 120504(in Chinese)[呂翎,李雨珊,韋琳玲,于淼,張檬2012物理學(xué)報(bào)61 120504]

[6]Bian Q X,Yao H X 2010 Acta Phys.Sin.59 3027(in Chinese)[卞秋香,姚洪興2010物理學(xué)報(bào)59 3027]

[7]Yang X,Cao J,Lu J 2012 IEEE Trans.Circuits Sys.I 59 371

[8]Zhang Q,Zhao J 2012 Chin.Phys.21 040502

[9]Gao H,Lam J,Chen T 2006 Phys.Lett.A 360 263

[10]Yue D,Li H 2010 Neurocomputing 73 838

[11]Li H 2011 J.Phys.A:Math.Theor.44 105101

[12]Lu J,Zhang R,Xu Z Y 2010 Acta Phys.Sin.59 5949(in Chinese)[盧靜,張榮,徐振源2010物理學(xué)報(bào)59 5949]

[13]L¨u L,Liu S,Zhang X,Zhu J B,Shen N,Shang J Y 2012 Acta Phys.Sin.61 090504(in Chinese)[呂翎,柳爽,張新,朱佳博,沈娜,商錦玉2012物理學(xué)報(bào)61 090504]

[14]Gu K,Kharitonov V,Chen J 2003 Stability of Time-Delay Systems(Berlin:Springer)p315

[15]Yue D,Tian E,Zhang Y 2009 Int.J.Robust Nonlin.19 1493