柱狀胡蘿卜樣品熱風微波耦合干燥數學模型

孫 帥，崔政偉

（江南大學機械工程學院食品加工技術與裝備研究中心，江蘇無錫214122）

干燥是一個高能耗的過程，提高干燥過程的能源利用率相當重要。食品干燥有多種方法且都有其自身特點，熱風干燥以其操作方法簡單和干燥設備低廉而應用廣泛。然而，熱風干燥中熱量以熱傳導的方式由外向內進行傳遞，傳遞速度慢，干燥耗時長。隨著時代的發展，微波干燥的應用也越來越廣。微波干燥過程中，微波與水分子相互作用并在整個樣品內部產生熱量，大大縮短了干燥時間，提高了能源利用率。而單純的微波干燥存在加熱不均勻現象，尤其是當微波頻率較低時，不均勻現象越明顯。為了克服熱風干燥耗時長和微波干燥不均勻的缺點，將熱風干燥和微波干燥耦合不失為一種有效的解決方法。對此新型干燥方法的評估可以通過建立樣品在此干燥方法下傳熱傳質的數學模型來實現。模型中考慮樣品的物理性質、電熱性質及溫度和含水量變化對微波能吸收的影響。目前為止，微波加熱方面的研究已較多，如Campanone和Zaritzki[1]，Feng等[2]，Lin等[3]，Roman等[4]，Sanga等[5]，Yang和Gunasekaran[6]的研究成果。上述研究一般利用實驗或數學模擬的方法對單純微波干燥樣品進行研究，并得到樣品內部的溫度分布情況。對熱風微波耦合干燥過程中樣品內部的傳熱傳質現象進行分析的相關報道依舊較少。文章研究了熱風微波耦合干燥條件下胡蘿卜的干燥特性并建立數學模型來預測干燥過程中樣品內部的溫度分布和含水量變化。選取長徑比較大的柱狀胡蘿卜作為實驗樣品，將實驗值和模型的預測值進行比對，以此來對模型進行驗證。

1 材料與方法

1.1 材料與設備

胡蘿卜 購于無錫華潤萬家超市，其初始的濕基平均含水量為89%。

熱風微波耦合干燥裝置 實驗室自行設計制造；XMD-16型熱電偶溫度測量儀 上海自動化儀表六廠；WRNM-104型手持式熱電偶 上海恒陽儀表有限公司；ST-18型手持紅外測溫儀 美國雷泰Raytek公司；FA1104型電子天平 上海第二天平廠；DW-40L92型冰箱 青島海爾集團公司；螺旋測微器 巢湖市立誠精密量儀有限責任公司。

1.2 實驗方法

1.2.1 樣品制備 將胡蘿卜洗凈、去皮，用鋼模將胡蘿卜制成兩種柱形尺寸的干燥樣品：12mm×60mm、8mm×45mm（長徑比大于等于5∶1），用螺旋測微器對制備的樣品直徑進行測量，選取誤差在5%以內，用電子天平對樣品進行稱重，對12mm×60mm的樣品質量控制在7.5g左右，將樣品放于冰箱內冷藏備用，冰箱的冷藏溫度設置為4℃。

1.2.2 實驗干燥工藝流程 原料預處理→熱風溫度設定→熱風速度設定→微波功率設定→熱風微波耦合干燥→成品。

1.2.3 實驗設計及條件 參照過往實驗可知，熱風速度對耦合干燥影響較小，因此本實驗中將熱風速度設定為一常數，為1.0m/s，熱風溫度選取40、50、60℃三種水平，由于微波的實際輸出功率與說明書標定的功率有一定出入，其實際輸出功率可由Schiffmann[7]提出的方法進行測定，當微波100%、75%、35%輸出時，尺寸為12mm×60mm樣品中的微波功率密度為2.6、2.0、0.9W/cm3。

1.3 指標測定

1.3.1 樣品含水率測定 原料初始含水率按GB 50093-2010測定。

1.3.1.1 濕基含水率測定 濕基含水率w（%）=（樣品重-干品重量）/（樣品重）×100。

1.3.1.2 干基含水率測定 干基含水率X（%）=w/（100-w）×100。

1.3.2 干燥速率的測定 干燥過程中，每隔一段時間Δt，將樣品取出放于電子天平上稱重，為了減小誤差，此過程在10s內完成。干燥速率=（Mt－Mt+Δt）/Δt。1.3.3 溫度的測定

1.3.3.1 中心溫度測定 干燥過程中，每隔一段時間，將樣品取出，利用手持式熱電偶對其中心溫度進行測量，測量時迅速將溫度傳感器插入樣品的中心位置，測量三次，取平均值。

1.3.3.2 表面溫度測定 對于樣品的表面溫度，采用熱電偶溫度測量儀和手持紅外測溫儀分別測量，取兩種測量結果的平均值。為了保證測量精度，溫度的整個測量過程不得超過30s。

1.4 數學模型

胡蘿卜在熱風干燥過程中無明顯的恒速干燥階段，其內部水分的擴散可以由單相分子擴散來表示。為了探究柱狀胡蘿卜樣品在熱風微波耦合干燥條件下的干燥性質，利用能量和質量平衡方程建立其干燥過程的數學模型，傳質過程包括由內到外的水分擴散和樣品表面水分的對流蒸發。傳熱過程包括微波能的內部產熱，熱量在樣品內部的傳導及樣品表面水分的對流換熱及蒸發熱損失。在熱風微波耦合干燥過程中，干燥樣品表面的水分含量與空氣中的含水量可達到一個動態平衡。為了預測干燥過程中樣品內部溫度和含水量的分布，建立一個數學模型，建模之前，需作如下假設：a.干燥樣品內部的初始溫度和初始含水量均勻分布；b.柱狀樣品的長徑比較大，近似為無限長圓柱，干燥過程假定為徑向的一維擴散；c.傳熱過程僅考慮熱傳導和熱對流兩種傳熱方式，忽略熱輻射；d.忽略樣品在干燥過程中體積的改變；e.微波入射方向垂直于樣品表面。

1.4.1 傳熱模型 熱風微波耦合干燥過程中，樣品內部某處的溫度變化與此處微波能轉化為熱能的多少，熱擴散和水分的蒸發有密切關系，其能量平衡方程可表示為：

1.4.2 傳質模型 方程如下式所示：

1.4.3 初始和邊界條件

1.4.3.1 初始條件 樣品的初始含水量和初始溫度均勻分布，則：當t=0時，有：T=T0，X=X0式（3）。

1.4.3.2 邊界條件 樣品表面的熱輻射忽略不計，因此表面的熱損失包括對流換熱和蒸發熱損失，表面水分的損失為其質量損失，則：在r=0處，由于對稱，有：式（4）。在r=R處，有：式（5），式（6）。公式（5）中ye為樣品表面的氣相平衡含濕量，可由樣品表面的絕對濕度進行估算：ye=Ye/（0.622+Ye）式（7），Ye=M水aw（X，T）Psat（T）/M空氣（P-aw（X，T）Ptsat（T））式（8）。aw為水分活度，為樣品中濕分的蒸汽壓與自由濕分的飽和蒸汽壓之比，在平衡狀態下與空氣的相對濕度相等。

1.4.5 模型的求解 由于柱狀樣品的長徑比較大，可近似為無限長圓柱，求解過程當作徑向的一維問題。用Crank-Nicolson有限差分法對所建數學模型進行離散，得到一個三對角矩陣，對此三對角矩陣應用隱式差分法，得到的特征方程用Matlab編寫的程序進行求解，求解過程中將初始條件和邊界條件及上述的相關參數考慮在內，設定與實驗過程中相同的干燥條件，可得樣品中沿徑向的溫度及含水量的分布及變化情況。對模型進行離散時用到的方程可表示為：

式中，i表示離散節點的位置；n表示時間間隔；Δr表示沿著樣品徑向的位置步長；Δt表示時間步長，求解過程中步長需滿足的條件：Δr≥10，Δt≥1000。

2 結果與討論

2.1 樣品中由模型預測的溫度分布及含水量的變化

圖1和圖2為尺寸12mm×60mm的柱狀胡蘿卜樣品在單熱風干燥條件下（熱風溫度：50℃、風速：1.0m/s，樣品初始溫度：25℃，質量：7.5g）的干基含水量和溫度隨干燥時間的變化圖。由圖1和圖2可知，樣品中心的含水率高，表層含水率低，與此相反，樣品的表層溫度高于中心溫度。因此，單熱風干燥過程中，胡蘿卜樣品中熱量的傳遞方向為由外向內，而水分的傳遞由內向外。由圖還可得到，樣品表層溫度的最大值為熱風溫度，表層含水量在較短時間內達到其最終值，與干燥空氣中的含水量達到平衡，此點表明樣品內部的傳質阻力決定著樣品的干燥速率。

圖1 單熱風干燥條件下樣品內含水量分布Fig.1 Moisture distribution in sample without microwave energy

圖2 單熱風干燥條件下樣品內溫度分布Fig.2 Temperature distribution in sample without microwave energy

圖3 熱風微波耦合干燥樣品內含水量分布總視圖Fig.3 Overall overviews of the moisture distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖3和圖4為尺寸12mm×60mm的柱狀胡蘿卜樣品在熱風微波耦合干燥條件下（微波功率密度：0.9W/cm3熱風溫度：40℃、風速：1.0m/s，樣品初始溫度：25℃，質量：7.5g）樣品中干基含水量和溫度關于半徑和干燥時間的三維分布圖。圖5和圖6為其二維圖。由圖5可知，樣品中水分的減少主要發生在樣品的表面，越靠近樣品中心，水分的減少速率逐漸減慢。由溫度分布圖6可知，樣品中心位置的溫度最高，而樣品表面的溫度最低。因此，樣品中傳熱和傳質的方向都是由內向外。在干燥的開始階段，溫度上升速率較快，這是因為當樣品中含水量較高時，對微波能的吸收能力較強。相對于熱風干燥，熱風微波耦合干燥時樣品中溫度上升的速率明顯加快。在此干燥階段，樣品中吸收的微波能和由微波能轉化成的熱能明顯高于由樣品表面水分蒸發而損失的能量。

圖4 熱風微波耦合干燥樣品內溫度分布總視圖Fig.4 Overall overviews of the temperature distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖5 熱風微波耦合干燥樣品內含水量分布Fig.5 The moisture distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖6 熱風微波耦合干燥樣品內溫度變化分布Fig.6 The temperature distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖7和圖8為尺寸12mm×60mm的柱狀胡蘿卜樣品在熱風微波耦合干燥條件下（微波功率密度：0.9W/cm3，熱風溫度：60℃、風速：1.0m/s，樣品初始溫度：25℃，質量：7.5g）樣品中干基含水率和溫度關于干燥時間的分布圖，圖9為圖8前400s的放大圖。由圖9可知，在干燥初期，樣品表面溫度上升速率大于中心溫度上升速率，微波和熱風分別從內外對樣品進行加熱，樣品溫度上升速率快，當樣品表面溫度達到并超過熱風溫度時，熱風對樣品的表面起冷卻作用。同時，隨著樣品含水量的減少，微波能轉化為熱能的量減少，在干燥的最后階段，當樣品中表面與空氣中的含水量達到平衡時，樣品中的溫度保持在一個相對恒定的值，這種現象表明，在此干燥階段，樣品中由微波能轉化成的熱能與表面由于熱風冷卻而損失的能量達到平衡。在樣品干燥的最后階段，雖然樣品中含水量已比較低，但是微波能依舊可以與其相互作用產生熱能。

圖7 熱風微波耦合干燥樣品內含水量分布Fig.7 The moisture distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖8 熱風微波耦合干燥樣品內溫度分布Fig.8 The temperature distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖9 熱風微波耦合干燥樣品內溫度分布Fig.9 The temperature distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖10和圖11為尺寸12mm×60mm的柱狀胡蘿卜樣品在熱風微波耦合干燥條件下（微波功率密度：2.6W/cm3熱風溫度：40℃、風速：1.0m/s，樣品初始溫度：25℃，質量：7.5g）樣品中干基含水率和溫度關于干燥時間的分布圖。由圖5～圖11可知，隨著樣品含水量的減少，微波能的作用減小很大。實際上，在高含水量樣品熱風微波耦合的干燥過程中，微波能更適合用于其初始干燥階段。還可以得到，樣品在熱風微波耦合干燥的最后，其表面的溫度一般會高于熱風的溫度。

圖10 熱風微波耦合干燥樣品內含水量分布Fig.10 The moisture distribution of sample during drying in microwave and drying air

圖11 熱風微波耦合干燥樣品內溫度分布Fig.11 The temperature distribution of sample during drying in microwave and drying air

2.2 模型的驗證

圖12 不同微波功率密度下樣品平均干基含水量預測值和實驗值的比較Fig.12 Comparison between experimental and predicted average moisture contents of samples at different microwave power densities

圖13 不同微波功率密度下樣品中心溫度預測值與實驗值的比較Fig.13 Comparison between experimental and predicted central temperatures of samples at different microwave power densities

圖14 樣品表面溫度預測值與實驗值的比較Fig.14 Comparison between experimental and predicted surface temperatures of samples at different microwave power densities

圖12列出了在四種不同微波功率密度下，尺寸為12mm×60mm的胡蘿卜樣品中，平均干基含水量的預測值和實驗值的比較。圖13和圖14為樣品中心溫度和表面溫度預測值與實驗值的比對。由此可知，樣品中含水量的變化呈現指數衰減的趨勢。由模型預測的含水量的值與實驗測得的值吻合程度較高，但在熱風微波耦合干燥后期，預測值比實驗值偏低。而對于樣品表面和中心的溫度，預測值比實驗值偏高。造成預測溫度值相對偏高的原因可能有以下幾點：a.忽略了微波在樣品中的衰減作用；b.初始微波功率密度的測算不準；c.溫度值測量時產生的誤差。需要注意的是，干燥過程的傳熱傳質并不是相互獨立的，由公式可知，傳質模型中的有效擴散系數是溫度的函數。因此，在模型的求解過程中，在每一個時間步長內計算的溫度值會用于下一個時間步長內對傳質模型的求解。這樣，在干燥過程的最后階段，對溫度值變化的過高預測導致了對含水量的過低預測。當微波功率密度為0，即單熱風干燥時，含水量的估算值相對偏高，這一點可能是由于樣品的萎縮造成，而在模型中忽略了樣品體積的改變。在熱風微波耦合干燥過程中，由于對溫度的過高預測而導致的對含水量的過低預測與由于樣品的萎縮而對含水量的過高預測在某種程度上可以大體相抵。當然，模型的預測值和實驗值的總體趨勢還是趨于一致的。

圖15為兩種尺寸不同的樣品在相同干燥條件（微波功率設定為75%輸出，熱風溫度40℃）下干基含水率的比對，由圖15可知，尺寸小的樣品的干燥速率較快。這是因為當樣品尺寸較小時，傳質阻力相對較小，內部的傳質阻力決定了干燥的速率。

圖15 不同尺寸樣品在同一干燥條件下干燥曲線的對比Fig.15 Comparison between drying curve of different size samples to the same drying conditions

3 結論

以柱狀胡蘿卜樣品為例，建立其熱風微波耦合干燥條件下傳熱傳質的數學模型，通過實驗值與模型預測值的比對對模型進行驗證，得出此模型能夠較好的預測干燥過程中樣品內部溫度的分布及含水量的變化。由多種實驗情況可知，熱風微波耦合干燥過程中，樣品表面的最終溫度一般高于熱風溫度。相對于傳統的單熱風干燥而言，熱風微波耦合干燥的干燥速率明顯加快。熱風微波耦合干燥過程中，樣品表面的含水量在較短時間內就可達到最終值，即與干燥空氣中的含水量平衡，干燥速率由樣品內部的傳質速率來控制。

[1]Campanone L A，Zaritzky N E.Mathematical analysis of microwave heating process[J].Journal of Food Engineering，2005，69：359-368.

[2]Feng H，Tang J，Cavalieri R P，et al.Heat and mass transport in microwave drying of porous materials in a spouted bed[J].American Institute of Chemical Engineering，2001，47（7）：1499-1512.

[3]Lin Y E，Anantheswaran R C，Puri V M.Finite element analysis of microwave heating of solid foods[J].Journal of Food Engineering，1995，25：85-112.

[4]Romano V R，Marra F，Tammaro U.Modelling of microwave heating of foodstuff：study on the influence of sample dimensions with a FEM approach[J].Journal of Food Engineering，2005，71：233-241.

[5]Sanga E C M，Mujumdar A S，Raghavan G S V.Simulation of convection microwave drying for a shrinking material[J].Chemical Engineering Process，2002，41：487-499.

[6]Yang H W，Gunasekaran S.Comparison of temperature distribution in model food cylinders based on Maxwell’s equations and Lambert’s law during pulsed microwave heating[J].Journal of Food Engineering，2004，64：445-453.

[7]Schiffmamn R F.Microwave And Dielectric Drying.In A.S.Mujunmdar（Eds.），Handbook of industrial drying[M].New York：Marcel Dekkeer press，1987：35-48.

[8]Cordova-Quiroz A V，Ruiz-Cabrera M A，Garcia-Alvarado M A.Analytical solution of mass transfer equation with interfacial resistance in food drying[J].Drying Technology，1996，14：1815-1826.

[9]Earle R L.Unit operations in food processing[M].Oxford：Pergamon Press，1992.

[10]Kiranoudis C T，Maroulis Z B，Tsami E，et al.Equilibrium moisture content and heat of desorption of some vegetables[J].Journal of Food Engineering，1993，20：55-74.

[11]Lozano J E，Rotstein E，Urbicain M J.Shrinkage，porosity and bulk density of foodstuffs at changing moisture contents[J].Food Science，1983，48：1497-1502.

[12]Mulet A，Berna A，Rossello C.Drying of carrots and drying models[J].Drying Technology，1989（7）：537-557.

[13]Anwar S I，Tiwari G N.Convective heat transfer coefficient of crops in forced convection drying-an experimental study[J].Energy Convection Management，2001，42：1687-1698.