基于總體最小二乘的相似變換模型及其在地圖掃描數字化中的應用

袁 豹，岳東杰，張 亮，王 露

（河海大學 測繪科學與工程系，江蘇 南京 210098）

在信息化時代的今天，對于空間數據的獲取、編輯、分析和應用的方法已有很多，其中地理信息系統（Geographic Information System，GIS）是一門發展迅速、應用廣泛的地理空間數據分析技術。在建立GIS的過程中，地圖數字化是一種重要的數據來源。地圖數字化（MapDigitizing）是指利用地圖圖形或是圖像信息的模擬量將其轉換為離散的數字量，從而應用到數據處理軟件中進行分析。數字化方式有手扶跟蹤數字化和掃描數字化兩種常用方式，而隨著技術的發展和精度要求的提高，現在大多采用掃描數字化的方法。掃描數字化有著操作速度快、自動化程度高的優點。

通過地圖掃描數字化方法獲得的最終數字成果，其精度受到原始地圖、掃描操作、矢量化過程和數據處理等方面的綜合影響。近些年，對于地圖掃描數字化的精度分析研究逐漸增多，郝向陽、錢曾波對掃描數字化的點位精度進行了分析，發展了定向點和采樣點的自動對中算法［1］；余曉紅分析了掃描數字化誤差的特點和來源，提出掃描數字化誤差不一定服從正態分布，并且更多地表現出系統性［2］；童小華、周德意討論了地形圖掃描糾正的精度問題［3］；毛澤衛針對地圖掃描數字化中的各種變形，討論了不同處理方法和精度比較［4］。在地圖掃描數字化處理過程中，有一項重要的工作是圖紙定向。圖紙定向即是利用一定數量的控制點通過建立數學轉換模型將圖像坐標轉換為實際的地理坐標，確定好定向參數后，即可實現圖內所有采樣點的轉換。較為常用的模型有相似變換模型、多項式模型和仿射變換模型等，本文著重討論相似變換模型。圖紙定向這一環節的誤差大小對后續數字化成果的質量有著重要影響。本文認為定向點的采集存在不可忽略的誤差，提出總體最小二乘（Total Least－squares，TLS）方法，同時顧及定向點采集誤差和地理坐標的測量誤差，建立基于總體最小二乘方法的相似變換模型，結合實驗分析，得到相關結論。

1 相似變換模型

相似變換定向模型可以表示為

其中：（X，Y）為地理坐標系坐標；（x，y）為地圖圖像坐標系坐標；a0，b0，a，b為定向參數。寫成矩陣形式為

根據最小二乘原理可得定向參數的估計值為

圖紙定向的精度可用定向點坐標改正數計算如下：

2 基于總體最小二乘的相似變換模型

2.1 總體最小二乘基本原理

在線性方程組AX＝L中，總體最小二乘［5］的基本思想就是同時考慮L和A的擾動?；诳傮w最小二乘的相似變換模型可歸結為

且有

其中：QL和QA分別為eL和eA的對稱非負定協因素陣，其中eA＝vec（EA），EA為系數矩陣的誤差，eL為觀測值陣的誤差，誤差矩陣［EAeL］屬于相互獨立的白噪聲誤差且這里認為誤差精度相同，則有QL＝I，QA＝I。

2.2 模型求解及精度評定

總體最小二乘的準則可以表示為

對于總體最小二乘問題的解法，主要有奇異值分解（SVD）法和迭代解法，此處采用SVD方法解算定向參數的估計值。因為系數矩陣A中第一列和第二列是固定列，不含有誤差（即不需要改正），所以此處采用混合總體最小二乘的解算方法。

令A＝［A1A2］，其中，構造C＝［AL］，并對其作QR分解得到

其中：Q為正交陣，R為上三角陣。則有

令CR＝［R（n－2）×2R（n－2）×1］，并對其進行奇異值分解得到

其中，∑為奇異值矩陣，取其中最小奇異值并表示為σn2＋1，則參數估計值為

其中n2為系數矩陣A中非固定列對應的參數個數，此處n2＝2。

增廣矩陣CR的改正數為

則R的改正矩陣為

由此可以計算出系數矩陣和觀測矩陣的改正數為

根據定向點坐標改正數，得出總體最小二乘法的精度評定方法為

3 應用及實驗分析

在平面坐標轉換中也經常采用相似變換模型，基于總體最小二乘方法的相似變換模型，理論上較為嚴密。應該在地圖掃描數字化圖紙定向的其他模型引入總體最小二乘這種嚴密的平差方法。本文依托長江水下地形圖數字化二期項目，對長江流域南京河段1∶2 000水下地形圖進行數字化處理，建立水下地形GIS數據庫，便于對水下地形數據的編輯、管理和更新。為了驗證基于總體最小二乘的相似變換模型的定向效果，本文針對Arcgis軟件中地形圖數字化的圖紙定向問題，進行了計算和分析。圖幅西南角如圖1所示。

圖1 圖幅西南角

實驗方案：分別采用4定向點、6定向點和8定向點進行定向參數的求解，其中4定向點取圖幅4個圖廓點，6定向點取圖幅4個圖廓點和左右圖廓點連線的中心點，8定向點取圖幅4個圖廓點以及圖廓點連線的4個中點。采用最小二乘和總體最小二乘兩種方法求解參數，如表1所示。

從表1可以看出，從定向參數來看，最小二乘法與總體最小二乘法有一定差別，不同定向點得到的定向參數不同。為比較最小二乘法與總體最小二乘法的定向效果，計算出模型的定向精度如表2所示。

表1 定向參數結果

從表2可以看出，基于總體最小二乘方法的相似變換模型具有較高的定向精度，定向點的個數影響定向精度，在實際地圖掃描數字化中應該采用總體最小二乘方法，選擇合適的定向點個數。

表2 最小二乘法和總體最小二乘法的定向精度比較mm

4 結 論

1）相似變換模型在地圖掃描數字化中應用較多，針對該方法在圖紙定向中應用的精度問題值得深入研究。

2）基于總體最小二乘方法的相似變換模型可以獲得較高的圖紙定向精度，優于最小二乘方法。

3）在地圖掃描數字化中，在采用其他定向轉換方法時也應該采用總體最小二乘方法。

4）關于定向點數量的選取以及定向點位置的不同對數字化精度的影響，結合掃描數字化中其它環節的誤差，綜合考慮地圖掃描數字化的精度問題需要進一步研究。

［1］郝向陽，錢曾波.地圖掃描數字化的點位精度分析［J］.測繪學報，1996，25（1）：46－52.

［2］余曉紅.地圖掃描數字化的誤差分析［J］.測繪科學，2001，26（4）：49－52.

［3］童小華，周德意.地形（籍）圖掃描糾正的精度分析［J］.同濟大學學報，2003，31（1）：77－81.

［4］毛澤衛.基于MAPGIS的地形圖變形處理方法比較［J］.測繪與空間地理信息，2009，32（6）：162－168.

［5］GOLUB G H，VAN LOAN C F.An Analysis of the Total Least Squares problem［J］.SIAMJ Numer Anal.1980，17（6）：883－893.