區域性橢球元素確定方法的比較

尹偉言，趙 鑫

（1.國家測繪局第一大地測量隊，陜西 西安 710054；2.國家測繪局測繪標準化研究所，陜西 西安 710054）

在城市獨立坐標系建立過程中有一個重要的問題就是區域性橢球元素的確定。因為在坐標歸算過程中，地面—橢球面—平面，需要一橢球作為過渡，而選擇與邊長歸算高程基準面（以下簡稱為投影面）最佳密切吻合的橢球就稱為區域性橢球，這樣可以在一定程度上減小邊長的投影長度變形。確定區域性橢球有很多方法，主要有單點法、多點法、定向定位調整法。文獻［1－3］從理論上對上述方法做了大量研究，本文主要側重于實際數據的比較與分析，并得出了一些較有意義的結論。

1 橢球變換方法

1.1 廣義大地坐標微分方程

由于橢球的定向和定位的不同，橢球參數的變化，以及兩坐標系統尺度上的差異，使得大地坐標發生了變化，常采用廣義大地坐標微分公式［4］表示為

式中：［dX0，dY0，dZ0］T為坐標原點的平移量，［da，dα］T為橢球參數變化量，［εX，εY，εZ］T為坐標軸旋轉參數，dm為新舊坐標系尺度比，系數A，B，C，D的表達式參見文獻［5］。

1.2 單點法

使區域性橢球面和測區投影面僅在單個位置基準點上相合的方法，稱為區域性橢球的單點法［6］。如圖1所示。

圖1中，P0（B0，L0，H0）是位置基準點，H是投影面的大地高，ζ為高程異常，對于整個測區一般取同一個概略值。設國家參考橢球為E0橢球，所求得的區域性橢球為Ei橢球。

圖1 投影面與區域性橢球面

單點法包括橢球膨脹法、橢球平移法和橢球變形法。具體的理論推導在文獻［6］中已詳細給出，這里僅歸納這幾種方法確定出的區域橢球元素以及大地坐標變動量公式。

1.2.1 橢球膨脹法

橢球膨脹法只改變橢球的長半徑a，不改變橢球的扁率。那么由式（1）可得

1）由基準點上國家參考橢球平均曲率半徑變動量反求橢球長半徑的變動量［1］，這樣所得到的區域性橢球稱為E1橢球。任意一點大地坐標的變動量為

從式（3）可以發現E1橢球在位置基準點處并不與投影面完全貼合。

2）以基準點上國家參考橢球面與投影面之間的垂向距離H作為長半徑變動量，這樣所得到的區域性橢球稱為E2橢球。任意一點大地坐標的變動量為

從式（4）可以看出，E2橢球在位置基準點處與投影面不是完全貼合的，而且除赤道（Bi＝0）外，所確定出的E2橢球面必低于投影面。

1.2.2 橢球平移法

橢球平移法就是僅改變E0橢球的中心位置并不改變其定向和橢球元素。這樣所確定的區域橢球稱為E3橢球。那么由式（1）可得

采用E0橢球元素，將E0橢球沿著位置基準點P0的法線方向平移H，并保持基準點在E0橢球上的大地經緯度不變，這樣使E3橢球面與投影面在基準點處重合。那么，基準點P0處的大地高變動量為－H，任意一點大地坐標的變動量為

在位置基準點處［dB0，dL0，dH0］T＝［0，0，－H］T，即E3橢球面與投影面在基準點處重合，但是其余點的大地經度發生了較大的變化。

1.2.3 橢球變形法

橢球變形法是同時改變E0橢球的長半徑和第一偏心率，這樣所確定的區域性橢球稱為E4橢球。那么由式（1）和e2＝2a－a2可得

不改變E0橢球的定位和定向，將位置基準點P0的大地高H0變為H′0，同時改變橢球的長半徑和扁率，以保證P0處兩橢球的法線方向重合以及三維直角坐標不變。任意一點大地坐標的變動量為

在位置基準點處［dB0，dL0，dH0］T＝［0，0，－H］T，E4橢球面與投影面在基準點處重合，由于橢球定位定向沒有改變，所以其它點的經緯度變動量相對小一些。

1.3 多點法

使區域性橢球面與邊長歸算投影面在整個測區或城市范圍內的多個網點上都更加相合的方法，稱為多點法［6］。所得到的橢球稱為E5橢球。

首先在E4橢球元素的基礎上，求得各點基于E4橢球的（Bi，Li，Hi）。在測區中央及周圍選取m個實施了水準測量的GPS點，其水準高程為hi（i＝1，2，…，m）。再變動E4橢球的長半徑和第一偏心率，使得橢球面和這m個點更加密切吻合，由式（8）可以得到大地高的變動量為

經過橢球元素變動后，在這m個點上橢球面與投影面之間的偏差

式中：B＝［－Wi，Nisin2Bi/2］，X＝［da，de2］T，l＝hi－Δh－Hi。

最后得到由多點法所確定出的區域橢球元素為

式中，a和e2是E4橢球元素。

通過多點法確定的區域性橢球，在測區范圍內使兩個面的偏離程度進一步減小，與投影面吻合的更好。

1.4 定向定位調整法

定向定位調整法旨在消除兩個面之間的傾斜，是通過在位置基準點處繞地平正北和正東方向的旋轉，使得橢球面的法線方向趨于垂線方向［2］。這樣所確定出來的橢球稱為E6橢球。

首先，在E4橢球元素的基礎上，求得各點基于E4橢球的（Bi，Li，Hi）。在P0點上，E4橢球面的法線方向與垂線方向并不一致，其夾角為垂線偏差μ，可分解為子午分量ζ和卯酉分量η。文獻［2］推導出了旋轉角的垂線偏差分量與大地高變動量之間的關系式，為了節約篇幅，這里不再列出具體推導過程，僅給出結果表達式。

大地高的變動量與垂線偏差分量之間的關系為

式中：。

為了求定垂線偏差，可采用類似于上節中的多點法，利用測區中央及周圍的m個實施了水準測量的GPS點，求得E4橢球面與投影面之間的偏差，以式（12）為函數模型，按最小二乘估計求垂線偏差的兩分量。

確定出垂線偏差后，利用文獻［2］中的式（12）～（14）以及E4橢球元素，可以得到在E6下的大地坐標。

利用定向定位法所確定出的橢球面，不僅考慮了位置基準點處橢球面與投影面之間的垂向偏離，還進一步顧及了兩個面之間的傾斜，這樣使得在整個測區范圍內，區域橢球面與投影面更加密切吻合［1］。

2 數據驗證

文獻［1，3］已對單點法和多點法進行了數據驗證的比較分析，所得結論是：與單點法相比，整個測區按多點法確定的區域橢球面更吻合于投影面。而在本文中，筆者將利用實測數據對多點法確定的E5橢球和定向定位調整法確定的E6橢球進行比較與分析。

本次的實驗數據來自某市B級GPS控制網成果，共135個點，均勻分布整個市，如圖2所示。

圖2 GPS點位分布圖

在測區中央選取一個基準點P0＝（31°25′38.851 20″，120°44′45.660 33″，12.862m），P0正常高為3.771m，那么P0處高程異常值為9.091m。投影面的大地高H＝－48.033m，由P0的大地坐標，通過式（11）和式（12）可以算出E4橢球元素為

在E4橢球的基礎上，按照多點法確定出E5橢球元素，根據式（14）和式（15）解算出E5橢球元素相對于E4橢球元素的增量為

在E4橢球的基礎上，按照定向定位調整法確定出E6橢球，E6橢球與E4橢球具有相同的橢球元素，區別是定向定位不同。根據式（16）解算出垂線偏差兩個分量為

確定E5和E6橢球的最終目的均為：使得在整個測區范圍內，區域橢球面與投影面更加密切吻合。表1列出其中10個點分別基于E5橢球和E6橢球下投影面與橢球面之間的距離。

表1 E5和E6橢球面與投影面之間的距離（10為基準點P0） m

圖3更加直觀形象地表示出135個GPS網點的E5和E6橢球面與投影面之間的距離。

圖3 E5和E6橢球面與投影面之間的距離

根據計算的數據和圖3可以發現：

1）E5橢球面與投影面之間的距離最大為2.088m，最小為0.019m，在位置基準點處距離為0.166m，投影面與橢球面之間的距離偏大，平均在分米級；

2）E6橢球面與投影面之間的距離最大為0.216m，最小為0m，在位置基準點處距離為0m，投影面和橢球面之間的距離普遍很小，平均在厘米級；

3）通過比較E5和E6橢球，可以得出這樣的結論：采用定向定位調整法確定的E6橢球面與投影面更加密切吻合，優于采用多點法確定的E5橢球面。

3 結 論

1）本文介紹了目前常用的3種橢球變換理論與方法，對各種方法的特點進行分析，歸納了E1－E6橢球元素及大地坐標變動量的公式，方便各類工程的使用。

2）利用某市B級GPS控制網數據對多點法確定的E5橢球和定向定位調整法確定的E6橢球進行比較與分析，從表1和圖3中可以發現E6橢球面與投影面更加密切吻合，優于E5橢球。

3）對于面積較小的測區而言，可以采用單點法確定區域橢球；但是對于大面積測區，離基準點越遠，橢球面與投影面之間的傾斜越嚴重，因此，建議采用E6橢球作為區域橢球。

［1］施一民.單點和多點法確定區域性橢球空間位置及元素［J］.同濟大學學報，2004，32（5）：648－651.

［2］施一民，周擁軍.用定向定位調整法確定區域性橢球面［J］.測繪學報，2002，31（2）：118－122.

［3］施一民，張文卿.區域性橢球元素的最佳確定［J］.測繪工程，2000，9（3）：27－29.

［4］暢開獅.建立城市獨立坐標系相關問題的探討［J］.城市勘測，2008（1）：86－90.

［5］孔祥元.控制測量學（下冊）［M］.武漢：武漢大學出版社，2010：166－178.

［6］施一民.現代大地控制測量［M］.北京：測繪出版社，2008：218－228.

［7］丁士俊，暢開獅，高順義.獨立網橢球變換與坐標轉換的研究［J］.測繪通報，2008（8）：4－6.

［8］李世安，劉經南，施闖.應用GPS建立區域獨立坐標系中橢球變換的研究［J］.武漢大學學報：信息科學版，2005，30（10）：888－891.