顧及EGM2008和殘差地形模型的GPS高程轉換方法研究

谷延超，范東明

（西南交通大學 測量工程系，四川 成都 610031）

為了克服水準測量在山區和丘陵地區實施困難的缺點，GPS大地高轉換為正常高以代替水準測量則是山區水準測量的有效方法之一［1－4］。GPS高程轉換即將以參考橢球面為基準面的GPS大地高通過某種特定的函數轉換為以似大地水準面為基本面的正常高，即精確確定高程異常。確定高程異常大致可分為數學擬合法和重力法兩大類［2－4］。數學擬合法，其本質為利用似大地水準面的連續光滑性，使用一定的數學曲面來擬合高程異常，但是數學擬合并不能夠真實地反映似大地水準面的變化。由于在重山區似大地水準面變化不平穩，數學擬合法使用效果并不理想［2］。重力法是指利用局部或者全球重力數據求解高程異常，將GPS大地高轉換為正常高。重力法充分利用了地球物理場，但由于重力數據缺乏和重力場模型精度對于工程應用而言較低，所以工程建設一般都不采用重力法直接進行GPS高程轉換。

由于地球重力場模型能以一定的分辨率精確表達地球重力場中長波信號，但小于該分辨率的重力場短波信號則遺失，使得利用地球重力場求解高山區高程異常存在信號遺失［5］。而地形數據則能夠較細致地表達地球重力場短波信號，但其對地球重力場中長波信息表達欠佳。故可結合地球重力場和地形數據精確求解高程異常。

本文首先利用SRTM數據（Shuttle Radar To－pography Mission）求得殘差地形模型（RTM）數據，獲取地球重力場短波信號，然后利用重力場模型求解地球重力場中長波信號，恢復地球重力場全波段信號，最后利用合理的數學擬合法消除系統誤差。實驗證明該方法能較好地恢復地球重力場全波段信號，在地形起伏較大的山區能提高GPS高程轉換精度，并且不受數據限制，能應用于各類工程，體現該方法的有效性、實用性和優越性。

1 EGM2008高程異常

EGM2008模型是由美國國家地理空間情報局地球重力場研發小組釋放的全球超高階地球重力場模型，EGM2008模型達到2 159階次（球諧系數可擴展至2 190，階次為2 159），因此，它能以約5′的空間分辨率計算擾動位T和重力相關量如重力異常Δg和高程異常ζ等［5－6］。

地球重力場球諧函數模型例如EGM2008由一系列完全正常化的球諧函數系數組成，根據球諧函數連續疊加可計算擾動位T，利用Bruns公式可求得地面上任意一點的高程異常［3］

式中：（r，θ，λ）為以地球質心為坐標原點、Z軸與地球自轉軸重合的坐標系中的球坐標（其中r為向徑，θ為余緯，λ為經度），γ為該點的正常重力值，Pnm（cosθ）為完全正常化勒讓德締結函數，Cnm，Snm為完全正常化擾動位系數，m為實際地球引力位減去正常引力位的系數，a＝6.378 136 46×106m為參考橢球長半軸，nmax為系列地球重力場模型展開的球諧函數最高階數，fM＝3.986 004 415×1014m3s－2為地心引力常數。

2 RTM高程異常

由于球諧函數展開截止至2 159階，EGM2008不能夠體現地球重力場中波長小于5′的高頻信息。這將在求解擾動位時產生信號遺失，同時高程異常求解時也將產生相似的信號遺失誤差［5］。

SRTM是美國航天飛機飛行中利用雷達測圖技術得到的數字地表模型（DSM），可獲取分辨率為3″（約90m）的數字高程數據HSRTM［5］。SRTM高程數據的精度已經由多位研究者加以驗證，通過與各國的國家高程坐標數據庫進行對比，精度在平坦地區可以達到4～6m，在山地差距將達到11～14m［5，7］。

地球重力場模型結合數字地形模型能夠更有效地利用地形和重力場的短波信號的強相關性，故殘差地形模型（RTM）數據可以用來重建地球重力場短波信號。

2.1 SRTM構建RTM數據

RTM數據由DTM減去一個平滑的參照網格。如果參考網格選擇與球諧函數的最大階次保持一致，RTM數據將增加球諧函數最大階次以上信號。該方法可使球諧函數高程異常的波段信號增加，同時減小信號遺失誤差。本文使用SRTM通過高通濾波求解平滑參考面，利用SRTM數據和平滑參考面構建RTM數據［5］。高通濾波求解平滑參考面。

式中：H為DTM數據矩陣，（k，l）為平滑參考面格網中心對應的DTM矩陣的坐標。參數n可通過濾波窗口的大小ω和DTM分辨率Δx計算。

為了確保建立平滑參考面和EGM2008的球諧函數展開的最高階次相同，窗口寬度ω應與球諧函數展開的空間分辨率保持一致，為2 159階次對應5′的窗口。

根據式（2）、式（3）求得平滑參考面，將SRTM數據與平滑面相減可得殘余地形模型

2.2 RTM高程異常計算

根據位理論和Bruns公式可得［1，3］

式中：Tr為殘余地面模型引起的擾動位，r為積分主體到地面點的距離，G為萬有引力常數（G＝6.673×10－11m3s－2g－1），ρ為 質 量 密 度（ρ＝2.670×103kgm－3），hr為參考面高程，h為流動點高程。利用RTM數據恢復地球重力場短波信號時，用hr＝0和h＝zRTM。

由于顧及EGM2008和RTM數據求解的高程異常與實際工程基準面存在高程基準不一致等系統偏差，因此，需要在上述基礎上利用多項式擬合系統誤差。

式中：a0，a1，a2為二元一次曲面擬合參數；（x，y）為擬合點的重心化坐標。當GPS/水準點個數多于3個時，可通過最小二乘方法求解擬合參數。

3 實例分析

本文以某隧道洞外GPS控制網為例進行方法驗證，隧道全長約7km，在隧道進出口以及斜井處布設15個GPS點，并按照三等水準測量的要求對各點進行聯測。圖1為GPS控制點分布圖，該隧道區域內，隧道穿越的山嶺最高處可達1 030m，最低處約為540m，高差可達400m。從圖1可以看出該區黃土沖溝發育，該隧道山區呈“V”形。控制點GPS7847和GPS7848位于谷底周圍，高程較低，其余各點的高程大致相等。

圖1 控制點分布示意圖

首先根據式（1）求解各GPS控制點的EGM2008高程異常，然后按照式（2）～（4）構建RTM數據，根據式（5）計算RTM高程異常。下面以控制點“1×4”為例介紹RTM高程異常。

圖2為控制點“1×4”為中心的SRTM高程數據，由圖可知：控制點位于山腳，控制點周圍高程變化比較明顯，高差約為200m；在半徑200km的范圍內西部變化較為平穩，而東部變化劇烈，高差可達1 500m，為明顯的山區地貌。

圖2 SRTM高程數據

圖3為由SRTM數據構建的控制點“1×4”RTM數據，經過去除參考面高程的RTM高程變化平緩，但地形急劇變化區域RTM變化較大，圖中可發現僅在河谷和重山區高程變化較大，高差可達到1 200m，表明RTM高程代表地球重力場小于EGM2008的最高分辨率（約為5′）的短波信號在山區不能夠忽視，需加以考慮。

圖3 RTM高程數據

圖4為控制點“1×4”的RTM高程異常中心局部圖，可得出控制點附近的地形對高程異常影響較大。RTM高程異常并不隨著距離的增大而消失，故確定合理的積分半徑也將影響RTM高程異常［2，5］。

圖4 RTM高程異常局部圖

圖5為控制點“1×4”的RTM高程異常數據與積分半徑間的關系。可發現：積分半徑達到160km時，RTM高程異常趨于穩定。試驗表明其他控制點在積分半徑達到160km時RTM高程異常也趨于穩定，故本試驗選取積分半徑R＝200km。

圖5 積分半徑與RTM高程異常

對所有控制點數據進行EGM2008高程異常和RTM高程異常求解后，做以下分析：首先在大地高的基礎上進行EGM2008高程異常改正，稱為方法1；然后繼續進行RTM高程異常改正，稱為方法2；最后采用二元一次曲面擬合消除系統誤差，本試驗固定GPS201、進2、1×4和2×4四個控制點，計算擬合參數，進而求解其他點的擬合高程異常改正數，稱為方法3。將3種方法求解的正常高與實際正常高比較，見表1，并計算各種方法的外符合精度

表1 3種方法的比較

式中：V表示檢查點求解的正常高與實測值的差值，n為GPS控制點的數目，t為固定點個數。

通過表1分析可得：

1）EGM2008在該山區的精度較高，與該區域內的真實高程異常的中誤差為±4.2cm，表明EGM2008地球重力場模型在我國適用。

2）加入RTM高程異常，在一定程度上恢復了EGM2008的遺失信號，EGM2008高程異常和RTM高程異常組合與該區域內的真實高程異常的均方根誤差為±2.6cm，較僅進行EGM2008高程異常改正提高約40%，表明RTM高程異常能夠有效地提高GPS高程轉換的精度。

3）利用二元一次曲面擬合存在的系統誤差，可以有效地提高GPS高程轉換的精度，實現基準轉換，使得求解結果與我國高程系統一致。

4 結束語

本文分析了EGM2008地球重力場的信號遺失問題，利用RTM數據恢復遺失信號；重點通過SRTM高程數據建立RTM高程數據，計算RTM高程異常恢復高程異常短波信號；利用二元一次曲面擬合系統誤差。通過實驗對比：顧及EGM2008和殘差地形模型的高程異常較僅使用EGM2008求解的高程異常的精度有較大提高，利用二元一次曲面擬合系統誤差可使GPS高程轉換達到厘米級精度。同時利用EGM2008和殘差地形模型也為局部或區域性的似大地水準面精化提供參考。該方法基于公共數據（EGM2008和SRTM），數據資源公共開放，使得其應用于各類工程實踐成為可能。

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［6］http://earth－info.nima.mil/GandG/wgs84/gravitymod/egm2008/index.html.

［7］陳俊勇，對SRTM3和GTOPO30地形數據質量的評估［J］.武漢大學學報：信息科學版，2005，30（11）：941－942.