斜齒輪柔性轉子軸承系統非線性動力學分析

宋曉光 崔 立，2 鄭建榮

1.華東理工大學，上海，200237 2.浙江天馬軸承股份有限公司，杭州，310015

0 引言

斜齒輪具有嚙合性好、傳動平穩、承載能力強等特點，在各種機械設備中都有廣泛的應用。目前對于斜齒輪非線性動力學已有學者進行了廣泛的研究［1］，王立華等［2］建立了適合斜齒輪傳動系統耦合振動的動力學模型，并求解得到了斜齒輪橫向、軸向、擺動、扭轉振動響應。李素有等［3］建立了考慮嚙合綜合誤差和時變剛度的斜齒輪副間隙非線性扭振模型，得到了斜齒輪副在外轉矩作用下受靜態傳動誤差激勵的非線性穩態強迫響應。

近年來，關于齒輪副非線性動力學的研究已開始考慮軸承轉子系統的耦合影響。崔亞輝等［4-5］、衛一多等［6］建立了考慮齒側間隙、時變嚙合剛度、靜態傳動誤差的齒輪-轉子耦合模型，得到了不平衡質量對運動分叉的影響以及齒側間隙對振幅跳躍特性的影響，但未進一步考慮軸承的耦合影響。Cai等［7-8］建立了含有非線性油膜力、非線性嚙合力的齒輪軸承轉子系統動力學模型，并采用相圖、功率譜、Poincaré映射、Lyapunov指數確定系統的運動形式。Baguet等［9］建立了齒輪滑動軸承轉子系統非線性動力學方程，采用Newmark法求解并獲得了軸承激勵和嚙合激勵。Byrtus等［10］使用模態綜合法建立了斜齒輪軸承系統動力學模型，將時變嚙合剛度、齒側間隙、非線性軸承力等因素引入系統模型中，研究了斜齒輪系統的分叉和混沌現象，但未考慮轉軸剛度對系統動態響應的影響。

本文考慮了多自由度、多非線性以及柔性轉子對系統的影響，以斜齒輪軸承柔性轉子系統為研究對象，建立了斜齒輪軸承柔性轉子系統的非線性動力學模型，用數值法對非線性動力學方程進行求解，研究轉速、轉軸剛度、不平衡力的變化對系統動態特性的影響。

1 非線性動力學模型

1.1 系統動力學模型

建立斜齒輪軸承轉子系統的動力學模型如下：

式中，M、X、C、G、K分別為斜齒輪軸承轉子系統的質量矩陣、振動位移矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣；P（t）為載荷矩陣，包括外力、齒輪嚙合力和不平衡力、非線性軸承力、重力。

式（1）中各矩陣可以采用整體法對齒輪、滾動軸承和彈性軸的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和載荷矩陣進行組裝得到。

根據有限元理論，將彈性軸劃分為若干軸段，每個軸段單元采用兩節點Euler梁單元模型，每個節點考慮6個自由度，包括橫向彎曲振動（沿y、z軸）、軸向振動（沿x軸）、扭轉振動（繞x軸）、扭擺振動（繞y、z軸）。通過Euler梁單元模型，根據有限元理論，可得到軸段節點的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和載荷矩陣。

建立考慮時變剛度、齒側間隙和不平衡質量的斜齒輪動力學方程，求解得到齒輪的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷矩陣。

考慮滾動軸承的徑向間隙建立動力學方程，得到軸承的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和載荷矩陣［11］。根據支承滾動軸承在轉子上的位置，將軸承各矩陣組裝到對應的節點上，得到齒輪軸承轉子系統的整體參數矩陣。

1.2 斜齒輪嚙合模型

齒輪在嚙合傳動過程中，輪齒的彈性變形隨時間不斷變化，因此，齒輪的嚙合剛度也是隨時間變化的。本文在考慮計算時變剛度時，采用影響函數法［12］來計算嚙合線上每點的時變剛度。

設齒側間隙為2lb，采用分段函數表示齒側間隙，其函數關系式如下：

式中，Δd為兩斜齒輪在嚙合線方向上的變形量。

輪齒間的嚙合力包括彈性力和阻尼力，時變嚙合力可表示為

式中，km（t）為時變嚙合剛度；cm為嚙合阻尼。

Δd可表示為

式中，x1、y1、z1和x2、y2、z2分別為主被動齒輪沿x、y、z方向的振動位移；βb為斜齒輪基圓上的螺旋角；rb1、rb2分別為主被動齒輪基圓半徑；θ1x、θ2x，θ1y、θ2y和θ1z、θ2z分別為繞x軸的扭轉角、繞y軸擺動的角和繞z軸擺動的角；αt、αn分別為端面壓力角和法向壓力角；em為由實際齒廓偏離理論位置引起的齒輪靜態傳動誤差。

斜齒輪在嚙合傳動過程中，其振動形態包括彎曲、扭轉，如圖1所示。

圖1 斜齒輪傳動系統模型

考慮到斜齒輪副可能存在質量偏心，將在斜齒輪嚙合傳動過程中產生離心力，可建立齒輪的動力學方程如下：

式中，ωr1、ωr2分 別 為 主 被 動 齒 輪 的 角 速 度；I1x、I2x，I1d、I2d分別為主被動齒輪繞軸向和徑向的轉動慣量；R1、R2分別為主被動齒輪節圓半徑；m1、m2分別為主被動齒輪的質量；T1、T2分別為主被動齒輪所受的轉矩；β為斜齒輪分度圓上的螺旋角；e1、e2分別為主被動齒輪上的偏心距。

整理上述齒輪動力學方程，得到齒輪質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和受力矩陣：

式中，Mg1、Mg2，Kg1、Kg2，Cg1、Cg2，Fg1、Fg2分別為主、被動齒輪的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷矩陣；Kg12、Cg12分別為兩齒輪嚙合的耦合剛度矩陣、耦合阻尼矩陣。

將得到的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷矩陣組裝到式（1）中的各矩陣中。

2 計算方法

首先求解轉子、齒輪和軸承的剛度，分別代入斜齒輪軸承轉子系統動力學方程中，并按式（1）組裝到剛度矩陣中。然后采用Runge-Kutta法對建立的非線性動力學方程組進行求解。最后通過時域圖、頻譜圖、相圖以及Poincaré截面進行分析，判斷系統的動力學行為。

3 結果分析

對某斜齒輪軸承轉子系統進行數值計算，齒輪的結構參數如表1所示，考慮了齒側間隙為80μm，主、被動輪偏心距e1、e2均為0。支承選用型號同為7205的兩個球軸承，兩齒輪軸長度相同，均為300mm。分析轉速、轉軸剛度比、不平衡力等對系統非線性響應的影響。

表1 斜齒輪結構參數

3.1 轉速對系統動態特性的影響

在其他參數不變的情況下，對不同轉速下系統的動力學特性進行分析，得到斜齒輪軸承轉子系統隨轉速變化的分叉圖（圖2）。

為分析圖2中各轉速的非線性運動行為，求解非線性方程組得到頻譜圖和Poincaré截面，分析斜齒輪轉子系統在各轉速下的運動行為。

圖3為系統在轉速n為2500r／min時的頻譜圖和Poincaré截面，圖3中軸承振動頻率fb為

圖2 系統隨轉速變化響應分叉圖

式中，α0為初始接觸角；Dm、Dw分別為軸承的中徑和球徑；nb為滾動體個數。

圖3 轉速為2500r／min時系統的動態響應

齒輪振動頻率fg為

式中，z1為主動輪的齒數。

頻譜圖中只有軸承和齒輪的整數倍頻率；Poincaré截面中只有一個點。由此可知，此時系統為一周期運動。

圖4為轉速為3600r／min時的頻譜圖和Poincaré截面。從頻譜圖可以看出，系統除了軸承和齒輪的整數倍頻率外，還有齒輪的0.5倍頻；由Poincaré截面可知，系統為兩周期運動。

圖5為轉速為3100r／min時的頻譜圖和Poincaré截面。從頻譜圖可以看出，系統除了軸承和齒輪的整數倍頻率外，還出現了邊頻帶；由Poincaré截面可知，系統在圖上為一個閉環。由此可知，系統此時處于擬周期運動。

圖6為系統在轉速為5600r／min時的頻譜圖和Poincaré截面。從頻譜圖可以看出，系統出現了連續頻譜；由Poincaré截面可知，系統在圖上反映出不規則圖形。由此可知，系統此時處于混沌運動。

圖4 轉速為3600r／min時系統的動態響應

圖5 轉速為3100r／min時系統的動態響應

圖6 轉速為5600r／min時系統的動態響應

根據各轉速下頻譜圖和Poincaré截面的分析，從圖2可以得出，當轉速為2000～2300r／min時，系統處于擬周期運動；隨后系統處于周期運動；轉速繼續增大到3100r／min時，系統再次處于擬周期運動；當轉速為3300～3400r／min時，系統處于混沌運動；隨著轉速繼續增大，系統再次處于周期運動；當轉速達到4400r／min時，系統再次處于混沌運動；當繼續增大轉速后，系統再次處于周期運動；當轉速為5000～5100r／min時，系統再次處于混沌運動；隨后系統再次處于周期運動；當轉速為5600～6100r／min時，系統再次處于混沌運動；隨后系統再次處于周期運動；當轉速達到6400r／min時，系統再次處于擬周期運動；隨后系統再次處于混沌運動；當轉速達到7200r／min時，系統再次處于周期運動。

綜上可知，斜齒輪軸承轉子系統隨轉速變化時，系統出現了多種形式的運動狀態。

3.2 轉軸剛度的影響

在保證其他參數不變的情況下，軸長增大到400mm，轉軸剛度由 2.61×107N／m 減小到1.14×107N／m，對不同轉速下系統的動力學特性進行分析，得到圖7所示的斜齒輪軸承轉子系統隨轉速變化的分叉圖。

圖7 轉軸剛度減小時系統隨轉速變化響應分叉圖

根據頻譜圖和Poincaré截面分析方法，對圖7進行分析。當轉速為2000～2300r／min時，系統處于擬周期運動；隨后系統處于周期運動；當2900r／min時，系統再次處于擬周期運動；隨著轉速的增大，系統開始處于混沌運動；當轉速為3200～5000r／min時，系統再次處于周期運動；隨后系統再次處于擬周期運動；當轉速為5400～5800r／min時，系統再次處于混沌運動；隨著轉速的增大，系統再次處于周期運動；當轉速達到6100r／min時，系統再次處于混沌運動；當轉速達到6600r／min后，系統再次處于周期運動。

綜上所述，隨著轉軸剛度比的減小，振動分叉圖上的混沌區間明顯減小，系統的振幅發生改變。

3.3 不平衡力的影響

保證其他參數不變的情況下，加入齒輪不平衡力，分別設定主、被動輪的偏心距e1、e2為20μm，對不同轉速下系統的動力學特性進行分析，得到了圖8所示的斜齒輪軸承轉子系統隨轉速變化的分叉圖。

圖8 存在不平衡力時系統響應隨轉速變化分叉圖

根據頻譜圖和Poincaré截面分析方法，對圖8進行分析。當轉速為2000～2300r／min時，系統處于擬周期運動；隨后系統處于周期運動；當轉速達到3000r／min時，系統再次處于擬周期運動；當轉速為3200～3600r／min時，系統開始處于混沌運動；隨著轉速的增大，系統再次處于周期運動；當轉速為4600～4700r／min時，系統再次處于混沌運動；隨后系統再次處于周期運動；當轉速為5100r／min時，系統再次處于混沌運動；當轉速為5200～5500r／min時，系統再次處于擬周期運動；隨著轉速的繼續增大，系統再次處于混沌運動；當轉速達到6600r／min時，系統再次處于周期運動；當轉速為7600～7700r／min時，系統再次處于混沌運動；隨后系統再次處于周期運動。

綜上所述，當增大齒輪的不平衡力后，振動分叉圖上的混沌區間明顯增大，混沌運動的區間也發生改變。

4 結論

（1）隨著轉速的增大，系統由周期運動轉變為擬周期運動，又從擬周期運動變為混沌運動，當轉速繼續上升時，混沌運動又將變為周期運動；臨界轉速附近為混沌運動。

（2）隨著轉軸剛度的減小，系統混沌區間減小，柔性轉軸對減少系統混沌運動的區間有利；混沌運動的區間也發生改變；轉軸剛度的改變還可改變振幅大小。

（3）當齒輪具有不平衡質量時，系統混沌區間增大，混沌運動的區間也發生改變。

（4）本文為斜齒輪傳動系統的參數選取提供了依據，可通過合理選擇柔性轉軸剛度、不平衡質量使得齒輪轉子系統避開混沌運動。

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