3－PRPS并聯機構的位置正解及應用研究

郭宗和 朱松松 崔榮江 楊啟志

1.山東理工大學，淄博，255049 2.山東省農業機械科學研究所，濟南，250100

3.江蘇大學，鎮江，212013

0 引言

并聯機構因其剛度大、積累誤差小、承載能力大、動力性能好等優點而得到廣泛應用［1］。1988年 Behi［2］首先提出了 3－PRPS 并聯機構，Shim等［3］分析了3－PRPS并聯機構的運動學反解、工作空間，Chuang等［4-5］對該機構進行了動力學分析及控制規劃，拓展了該機構運動學特性研究的思路，另外，王建平等［6］初步探討了該機構的位置正解，并通過仿真分析研究了機構參數q對機構運動性能的影響。但有關該并聯機構的位置正解還無詳細的研究報道。位置正解一直是一個挑戰性的問題并且受到極大的關注。

目前并聯機構的正解求解方法主要有數值法和封閉解法［7］。第一個被研究位置正解解析解形式的并聯機構是 6－3型 Stewart并聯機構。Innocenti等［8］用封閉解法分析了 6－3 型Stewart并聯機構的位置正解。賀利樂等［9］用改進的遺傳算法對一種混合驅動并聯機構的位置正解進行了研究。

本文根據3－PRPS并聯機構自身的結構特點，通過建立約束方程，分析該并聯機構位置正解的封閉解形式，并且采用向量之間的內積與外積分析了機構的位置反解，研究了該機構在車船用減振平臺方面的應用。

1 3－PRPS并聯機構的結構

3－PRPS并聯機構如圖1所示，該并聯機構由3個水平滑塊P1、P2、P3，3個豎直作用連桿L1、L2、L3，動平臺 B1B2B3，定平臺 A1A2A3等組成，其中動平臺和定平臺均為正三角形，且動平臺外接圓半徑為r，定平臺內切圓半徑為R，通過改變滑塊的位移和豎直連桿的長度改變動平臺在空間的位姿。根據3－PRPS并聯機構的特點，在定平臺的重心位置O上建立定坐標系OXYZ，在動平臺的重心位置o上建立動坐標系oxyz。

圖1 3-PRPS并聯機構簡圖

2 3－PRPS并聯機構位置正解

對于3－PRPS并聯機構的位置正解，就是已知水平滑塊的位移Si(i=1，2，3)和豎直連桿的桿長 Li，求解動平臺的位姿(XP，YP，ZP，α，β，γ)，為了方便正反解數值驗證，現將位姿轉化為Bi點在定坐標系中的坐標。Bi點坐標確定，動平臺的位姿則確定。

定義θi為豎直連桿與定平臺之間的夾角，則由Pi點坐標即可推導出 Bi點在定坐標系下的坐標:

得出關于 θ1、θ2、θ3的 3 個方程:

式中，A、B、D、E、F為機構的已知幾何參數及輸入變量的函數。

令u=tanθ1/2，v=tanθ2/2，w=tanθ3/2，利用半角公式:

將式(1)～式(3)進一步簡化為

利用Sylvester消元法，從式(5)和式(6)中消去w，得到關于u和v的4次方多項式，將該多項式寫成v的顯式為

其中，各系數kj(j=1，2，…，5)僅是關于u的不高于4次的函數，用 v乘式(7)，用 v、v2、v3分別乘式(4)共得4個附加方程，連同式(4)、式(7)共6個方程，寫成矩陣形式:

由于［v5v4v3v2v 1］T≠0，所以這個齊次方程組有非零解的充分必要條件是其系數行列式等于零，即

式(9)是關于u的16次代數方程，由此可解得u的值，聯立式(4)和式(7)，可解得v，最后聯立式(5)和式(6)可得到w。

u、v、w 求得后即可確定 θi，從而求得 B1、B2、B3點在定坐標系下的坐標，最終確定動平臺的位姿。

3 3－PRPS并聯機構位置反解

位置反解可以簡單描述為:已知動平臺的位姿(XP，YP，ZP，α，β，γ)，求解水平滑塊的位移 Si和豎直連桿的桿長Li，Si為正表示滑塊沿逆時針方向移動，反之沿順時針方向移動。

本文選擇(XYZ)RPY角坐標表示法描述姿態旋轉矩陣，即首先將動坐標系繞定坐標系的X軸旋轉γ角，再繞定坐標系的Y軸旋轉β角，最后繞定坐標系的Z軸旋轉α角，則兩坐標系之間的變換矩陣為

其中，cα =cosa，sα =sinα，其他類推。為了方便運算，用以下變量來表示矩陣中的元素，即

則有

式中，Bi為B點在定坐標系中的坐標;bi為B點在動坐標系中的坐標;P為o點在定坐標系中的坐標。

在 △A1B1A2中，P1B1垂直 A1A2，所以

同理可得:

動平臺的位姿已知時，則由以上公式可以求出3個桿長Li和3個滑塊的位移Si，即求得機構的位置反解。

4 數值驗證

選取機構參數如下:r=10mm，R=13mm，動平臺初始位姿(0，0，4mm，0，0，0)，取(S1=0，S2=0，S3=0，L1=5mm，L2=5mm，L3=5mm)作為正解的輸入。

運用MATLAB軟件編程求解，由前面正解分析可知，封閉解為一元16次方程，編程求解將會有16個解，這里由于u、v、w值不可能為復數，故舍去所有的復數解，對于上述的正解輸入，產生了8組實數解和8組復數解，只保留8組實數解。由8組實數解可進一步求得Bi點在定坐標系下的坐標，求解結果如表1～表3所示。

表1 8組實數解對應B1點坐標 mm

表2 8組實數解對應B2點坐標 mm

表3 8組實數解對應B3點坐標 mm

根據表1～表3畫出8組實數解對應的上平臺位姿，如圖2所示。

由圖2可以看出，8組位姿是呈對稱分布的，其中，圖2h正是我們所給出的機構的初始位姿，從而驗證了正解求解的正確性，另外，其他圖中所示的動平臺位姿均受到了干涉的影響，實際應用中是不可能達到的。

取上述所得的8組實數解作為并聯機構位置解的輸入，求解機構位置反解，并將求解結果與正解的輸入進行對比，求解結果如表4所示。

圖2 8組解對應的動平臺位姿

表4 8組實數解對應位置反解 mm

5 應用

由上述正解分析可知，在保證水平滑塊位移及豎直連桿桿長均為初始位姿的情況下，機構理論上只能有8個位姿，如圖2所示，但由于受干涉的影響，機構實際上只能實現一種位姿，即圖2h。

這種正解唯一性的特性可以很好地應用在減振平臺上，即動平臺在受到來自各個方向的振動時，能通過水平滑塊及豎直連桿移動副處的阻尼作用，最終保證動平臺回到初始位置，而不會因為位置正解的多解性偏離初始位置，減振平臺模型如圖3所示。

圖3 多維減振平臺實體模型

為了研究減振效果，在水平滑塊移動副處添加剛度k=4.0N/mm、阻尼c=1.0N·s/mm的阻尼彈簧，在豎直連桿移動副處添加k=4.0N/mm、c=10N·s/mm的阻尼彈簧，并且對動平臺中心施加3個脈沖力 F和脈沖力矩 M，力的幅值為100N，力矩的幅值為100N·mm，脈沖總時間為0.4s，脈沖函數為:STEP(time，0，0，0.1，100)+STEP(time，0.1，100，0.3，－100)+STEP(time，0.3，－100，0.4，0)，進行 End time=10，steps=100的動力學仿真，可以得到在脈沖激勵下，動平臺的加速度隨時間變化的曲線，如圖4所示，由曲線可以看出在同時受到脈沖力和脈沖力矩時，動平臺的加速度有明顯的衰減，因此該機構可以達到很好的減振效果。

圖4 動平臺位移加速度曲線

6 結論

(1)對3－PRPS并聯機構進行了位置正解分析，通過建立約束方程，將含6個未知數6個方程的方程組簡化為含3個未知數3個方程的方程組，減小了計算量，提高了求解速度。

(2)基于3－PRPS并聯機構自身的結構特點，通過運用向量之間的內積與外積，求解了機構的位置反解，該方法簡單快速，避免了大量復雜的運算。

(3)利用數值方法對機構的位置正反解進行了驗證，得出了正解的計算結果與反解的計算結果相吻合的結論，驗證了正反解求解的正確性。

(4)研究了該機構在車船用并聯機構減振平臺方面的應用，運動學仿真結果表明該機構具有良好的減振性能。對位置解的分析與研究，為該機構在車船用并聯機構減振平臺方面的應用奠定了堅實的理論基礎。

［1］Li Yangmin，Xu Qingsong.Design，Analysis and Applications of a Class of New 3－DOF Translational Parallel Manipulators［M］.Vienna:In.Tech.Education and Publishing，2008.

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