帶反饋項(xiàng)的n類物種競(jìng)爭(zhēng)模型的正周期解的存在性

張雪梅，劉衍勝

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東濟(jì)南250014)

1 引言

種群競(jìng)爭(zhēng)模型一直是人們比較關(guān)注的課題之一，在有關(guān)生態(tài)系統(tǒng)的競(jìng)爭(zhēng)模型中，Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型是比較重要的一個(gè)，對(duì)它的研究主要集中在確定狀態(tài)下的方程所反映出的一些性質(zhì)。1973年，Gilpin和Ayala提出了對(duì)Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型的一個(gè)修正，即Gilpin-Ayala競(jìng)爭(zhēng)模型，這類模型比Lotka-Volterra模型更具有一般性并貼合實(shí)際。近年來，隨著對(duì)數(shù)學(xué)生態(tài)系統(tǒng)的深入研究，許多文獻(xiàn)對(duì)其持久性、衰亡性和周期解或概周期解的全局吸引性進(jìn)行了探討［1－5］。另一方面，在實(shí)際的生態(tài)環(huán)境中，由于種群數(shù)量受多種因素的影響，物種密度并非連續(xù)的減少，有時(shí)有人為的數(shù)量補(bǔ)充，即具有一定的數(shù)量反饋［6－7］。利用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理，文獻(xiàn)［2］得到了帶反饋項(xiàng)和時(shí)滯的微分方程

至少一個(gè)正周期解的存在性。文獻(xiàn)［5］利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理給出了具有非自治的帶反饋項(xiàng)和時(shí)滯的Lotka-Volterra多種群競(jìng)爭(zhēng)模型正周期解存在的充分必要條件，并討論了其周期解的全局漸近穩(wěn)定性。

文獻(xiàn)［3］利用迭合度討論了含脈沖的n類物種競(jìng)爭(zhēng)模型周期解的存在性及其解的保持性和吸引性。

本文討論如下非自治的帶有反饋項(xiàng)的Gilpin-Ayala多物種競(jìng)爭(zhēng)模型

其中yi(t)代表第i類物種Yi在t時(shí)刻的密度，ri(t)代表第i類物種Yi在t時(shí)刻的自然生長率，aij(t)，bij(t)表示物種間的競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)度，αij，βij(i≠j)表示物種間的相互作用，τij(t)，δi(t)，σi(t)為依賴時(shí)刻的時(shí)滯，ui(t)表示間接反饋控制量，i，j=1，2，…，n。

本文所研究的系統(tǒng)(1.4)形式與(1.1)，(1.2)，(1.3)有很大的不同，一是種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)具體化，研究多種物種之間的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系;二是舍去脈沖影響，考慮到反饋控制問題。我們首先將系統(tǒng)(1.4)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的積分方程，并給出一些引理，將正周期解的存在問題轉(zhuǎn)化為算子不動(dòng)點(diǎn)的存在問題。其次，利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)理論討論系統(tǒng)(1.4)的正周期解的存在性。

為了方便起見，始終假設(shè)下列條件成立:

(H3)αij，βij≥ 1，i，j=1，2，…，n;

(H4)τij，σi，δi∈C1(R，R)是ω-周期函數(shù)，且1-˙τij＞0，1-˙σi＞0，1-˙δi＞0。

2 預(yù)備知識(shí)

定義2.1［5］向量函數(shù)v(t)=(v1(t)，v2(t)，…，vn(t))，t∈R(或R+)是正的，若其中所有元素vi(t)都是正的;v(t)稱為 ω-周期函數(shù)，若對(duì)任意 t∈R(或R+)，都有 vi(t)=vi(t+ ω)，i=1，2，…，n。

為了證明本文的主要結(jié)論，需要以下引理:

首先，我們將系統(tǒng)(1.4)轉(zhuǎn)化為另一種形式。假設(shè)(y(t)，u(t))是系統(tǒng)(1.4)的一個(gè)解，將(1.4)的第二個(gè)式子從t到t+ω積分，可得

其中

因此，系統(tǒng)(1.4)等價(jià)于

其中

顯然，由條件(H2)和(2.3)式，容易推得 Gi(t，s)(i=1，2，…，n)有如下性質(zhì):

(1)Gi(t，s)＞ 0(t，s)∈ R2，且 Gi(t，s)=Gi(t+ ω，s+ ω);

(2)A ≤ Gi(t，s)≤ B，?(t，s)∈ R2，其中

為了方便，下面定義算子F:P→E，(Fy)(t)=((Fy)1(t)，(Fy)2(t)，…，(Fy)n(t))，

則系統(tǒng)(1.4)可寫為

類似于文獻(xiàn)［5］，容易推得:

引理2.2 T:P→P是全連續(xù)算子。

引理2.3 系統(tǒng)(1.4)有正周期解等價(jià)于T在P{θ}中有非零不動(dòng)點(diǎn)。

3 主要結(jié)果

取 R=max{r，R1}，令 Ω2= {y(t)=(y1(t)，y2(t)，…，yn(t))∈E|yi|0＜ R，i=1，2，…，n}，則Ω2={y(t)=(y1(t)，y2(t)，…，yn(t))∈E 存在j0(1≤j0≤n)，使得yi0=R，當(dāng) i≠ j0時(shí)，yi0≤R，i=1，2，…，n}。

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