帶反饋項的n類物種競爭模型的正周期解的存在性

張雪梅，劉衍勝

(山東師范大學數學科學學院，山東濟南250014)

1 引言

種群競爭模型一直是人們比較關注的課題之一，在有關生態系統的競爭模型中，Lotka-Volterra競爭模型是比較重要的一個，對它的研究主要集中在確定狀態下的方程所反映出的一些性質。1973年，Gilpin和Ayala提出了對Lotka-Volterra競爭模型的一個修正，即Gilpin-Ayala競爭模型，這類模型比Lotka-Volterra模型更具有一般性并貼合實際。近年來，隨著對數學生態系統的深入研究，許多文獻對其持久性、衰亡性和周期解或概周期解的全局吸引性進行了探討［1－5］。另一方面，在實際的生態環境中，由于種群數量受多種因素的影響，物種密度并非連續的減少，有時有人為的數量補充，即具有一定的數量反饋［6－7］。利用Krasnoselskii不動點定理，文獻［2］得到了帶反饋項和時滯的微分方程

至少一個正周期解的存在性。文獻［5］利用錐上的不動點定理給出了具有非自治的帶反饋項和時滯的Lotka-Volterra多種群競爭模型正周期解存在的充分必要條件，并討論了其周期解的全局漸近穩定性。

文獻［3］利用迭合度討論了含脈沖的n類物種競爭模型周期解的存在性及其解的保持性和吸引性。

本文討論如下非自治的帶有反饋項的Gilpin-Ayala多物種競爭模型

其中yi(t)代表第i類物種Yi在t時刻的密度，ri(t)代表第i類物種Yi在t時刻的自然生長率，aij(t)，bij(t)表示物種間的競爭強度，αij，βij(i≠j)表示物種間的相互作用，τij(t)，δi(t)，σi(t)為依賴時刻的時滯，ui(t)表示間接反饋控制量，i，j=1，2，…，n。

本文所研究的系統(1.4)形式與(1.1)，(1.2)，(1.3)有很大的不同，一是種群競爭系統具體化，研究多種物種之間的競爭關系;二是舍去脈沖影響，考慮到反饋控制問題。我們首先將系統(1.4)轉換為相應的積分方程，并給出一些引理，將正周期解的存在問題轉化為算子不動點的存在問題。其次，利用錐上的不動點理論討論系統(1.4)的正周期解的存在性。

為了方便起見，始終假設下列條件成立:

(H3)αij，βij≥ 1，i，j=1，2，…，n;

(H4)τij，σi，δi∈C1(R，R)是ω-周期函數，且1-˙τij＞0，1-˙σi＞0，1-˙δi＞0。

2 預備知識

定義2.1［5］向量函數v(t)=(v1(t)，v2(t)，…，vn(t))，t∈R(或R+)是正的，若其中所有元素vi(t)都是正的;v(t)稱為 ω-周期函數，若對任意 t∈R(或R+)，都有 vi(t)=vi(t+ ω)，i=1，2，…，n。

為了證明本文的主要結論，需要以下引理:

首先，我們將系統(1.4)轉化為另一種形式。假設(y(t)，u(t))是系統(1.4)的一個解，將(1.4)的第二個式子從t到t+ω積分，可得

其中

因此，系統(1.4)等價于

其中

顯然，由條件(H2)和(2.3)式，容易推得 Gi(t，s)(i=1，2，…，n)有如下性質:

(1)Gi(t，s)＞ 0(t，s)∈ R2，且 Gi(t，s)=Gi(t+ ω，s+ ω);

(2)A ≤ Gi(t，s)≤ B，?(t，s)∈ R2，其中

為了方便，下面定義算子F:P→E，(Fy)(t)=((Fy)1(t)，(Fy)2(t)，…，(Fy)n(t))，

則系統(1.4)可寫為

類似于文獻［5］，容易推得:

引理2.2 T:P→P是全連續算子。

引理2.3 系統(1.4)有正周期解等價于T在P{θ}中有非零不動點。

3 主要結果

取 R=max{r，R1}，令 Ω2= {y(t)=(y1(t)，y2(t)，…，yn(t))∈E|yi|0＜ R，i=1，2，…，n}，則Ω2={y(t)=(y1(t)，y2(t)，…，yn(t))∈E 存在j0(1≤j0≤n)，使得yi0=R，當 i≠ j0時，yi0≤R，i=1，2，…，n}。

［1］GUO P L，LIU Y S.Existence of positive periodic solutions for a class of n-species competition systems with impulses［J］.International Journal of Dierential Equations，2011，2011:1 －9.

［2］LI W，WANG L.Existence and global attractivity of positive periodic solutions of functional differetial equations with feedback controls［J］.J Com Appl Math，2005，180(2):293 －309.

［3］WANG Q，DING M M，WANG Z J，et al.Existence and attractivity of a periodic solution for an N-species Gilpin-Ayala impulsive competition system［J］.Nonlinear Analysis:Real World Appl.2010，11(4):2675 －2685.

［4］YAN J R.Global positive periodic solutions of periodic n-species competition system［J］.J Math Anal Appl，2009，356(1):288 －294.

［5］YAN J R，LIU G R.Periodicity and stability for a Lotka-Volterra type competition system with feedback controls and deviating arguments［J］.Nonlinear Analysis:Theory，Methods and Applications，2011，74(9):2916 － 2928.

［6］FAN M，WANG K，WONG P J Y，et al.Periodicity and stability in periodic n-species Lotka-Volterra competition systems with feedback controls and deviating arguments［J］.Acta Math Sin，2003，19(4):801 －822.

［7］LI Y，LIU P，ZHU L.Positive periodic solutions of a class of functional differential systems with feedback controls［J］.Nonlinear Analysis:Theory，Methods and Applications，2004，57(5/6):655－666.