擬行(列)對(duì)稱矩陣的極分解及其擾動(dòng)界

袁 暉 坪

(重慶工商大學(xué) 電子商務(wù)及供應(yīng)鏈系統(tǒng)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067)

1 擬行(列)對(duì)稱矩陣的概念與性質(zhì)

定義1設(shè)A∈Cm×n,Q1,Q2,…,Qk-1均為m階置換矩陣,則

其中Ai=QiA,i=1,2,…,k-1)

稱為A的k次擬行對(duì)稱矩陣,A稱為其母矩陣. 特別地,當(dāng)Q1=Q2=…=Qk-1=Q時(shí),簡(jiǎn)記R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;Q).

定義2設(shè)A∈Cm×n,Q1,Q2,…,Qk-1均為n階置換矩陣,則C(A;Q1,…,Qk-1)=(A,A2,…,Ak-1)(其中Ai=AQi,i=1,2,…,k-1)稱為A的k次擬列對(duì)稱矩陣,A稱為其母矩陣. 特別地,當(dāng)Q1=Q2=…=Qk-1=Q時(shí),簡(jiǎn)記C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;Q).

顯然,當(dāng)Q1=Q2=…=Qk-1=I(單位矩陣)時(shí),R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;I)即為文獻(xiàn)[13]中“A的第一類k次行延拓”；C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;I)即為文獻(xiàn)[13]中“A的第一類k次列延拓”. 當(dāng)Q1=Q2=…=Qk-1=J(單位反對(duì)角矩陣)時(shí),R(A;Q1,…,Qk-1)=Rk(A;J)即為文獻(xiàn)[14]中“A的k次行周期對(duì)稱矩陣”；C(A;Q1,…,Qk-1)=Ck(A;J)即為文獻(xiàn)[14]中“A的k次列周期對(duì)稱矩陣”.

由上述定義易得下列性質(zhì)：

1) rankR(A;Q1,…,Qk-1)=rankC(A;Q1,…,Qk-1)=rankA;

3) 設(shè)X∈Cm×m,Y∈Cn×n,則

R(AY;Q1,…,Qk-1)=R(A;Q1,…,Qk-1)Y,C(XA;Q1,…,Qk-1)=XR(A;Q1,…,Qk-1).

2 擬行(列)對(duì)稱矩陣的極分解與廣義逆

引理1設(shè)Q1,Q2,…,Qk-1均為n階置換矩陣,U為n階酉矩陣,則

均為kn階酉矩陣.

證明：因?yàn)閁UH=UHU=I,QQH=QHQ=I,所以容易驗(yàn)證：P1(U)(P1(U))H=Ikn. 同理可證(P1(U))HP1(U)=Ikn,故P1(U)為kn階酉矩陣. 同理可證P2(U)為kn階酉矩陣.

引理2[15]設(shè)A∈Cm×n,則對(duì)任何酉矩陣U∈Cm×m,V∈Cn×n,有UAV的Moore-Penrose逆：

(UAV)+=VHA+UH.

證明：1) 由引理1知,P1(U)為酉矩陣. 因?yàn)?/p>

(P1(U))HR(A;Q1,…,Qk-1)=

又由引理1知,P2(U)為酉矩陣. 因?yàn)?/p>

2) 由1)、 引理2及文獻(xiàn)[15]知,

又由1)、 引理2及文獻(xiàn)[15]知,

定理2設(shè)Q1,Q2,…,Qk-1均為n階置換矩陣,正規(guī)矩陣A∈Cn×n的極分解為A=HU=UH,其中U為酉陣,H為半正定Hermite陣,則存在酉陣P1(U),P2(U)∈Ckn×kn,使得:

證明：1) 與定理1中1)的證明類似,故略.

2) 由1)、 引理2及文獻(xiàn)[15]知,

又由1)、 引理2及文獻(xiàn)[15]知,

3 擬行(列)對(duì)稱矩陣極分解的擾動(dòng)分析

引理31) 設(shè)A∈Cm×n,Bij∈Cn×s,i,j=1,2,…,k,則

2) 設(shè)Q1,Q2,…,Qk-1均為n階置換矩陣,則

證明：由矩陣Frobenius范數(shù)的定義可證.

證明：由定理2、 引理3及引理4知,

證明：與定理3的證明類似,故略.

擬對(duì)稱矩陣R(A;Q1,…,Qk-1)的極分解也有類似定理3和定理4的擾動(dòng)界.

綜上可見,本文討論了擬行(列)對(duì)稱矩陣的極分解、 廣義逆與擾動(dòng)界,給出了擬行(列)對(duì)稱矩陣與母矩陣兩者的極分解、 廣義逆與擾動(dòng)界之間的定量關(guān)系. 結(jié)果表明,用母矩陣代替擬行(列)對(duì)稱陣計(jì)算極分解、 廣義逆與擾動(dòng)界,既能極大減少計(jì)算量和儲(chǔ)存量,又不會(huì)喪失數(shù)值精度.

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