非歐空間中n維Neuberg-Pedoe不等式

楊世國,孫玉婷,卞 革

(1. 合肥師范學院 教師教育研究中心,合肥 230061;2. 安徽新華學院,合肥 230088;3. 安徽大學 數學科學學院,合肥 230039)

0 引 言

定義1[11]雙曲空間Hn(-1)中n維單形Bn的n維體積為滿足下式的非負實數V:

(1)

定義2[11]球面空間Sn(1)中n維單形An的n維體積V為滿足下式的最小非負實數:

(2)

1 主要結果

引理1對雙曲空間Hn(-1)中n維單形Bn,有

(3)

當Bn為正則單形時等號成立.

證明：引用文獻[9]中不等式:

(4)

當Bn為正則單形時等號成立.

由不等式(4)與算術幾何平均不等式即得不等式(3).

引理2對雙曲空間Hn(-1)中n維單形Bn,有

(k!Mk)1/k≥(l!Ml)1/l, 1≤k

(5)

當Bn為正則單形時等號成立.

證明：設單形Bn任意k維子單形的k維體積為Vi(k),其各側面(k-1維子單形)的k-1維體積為V(i)j(k-1)(j=1,2,…,k+1),應用引理1有

即

(6)

即

(k!Mk)1/k≤[(k-1)!Mk-1]1/(k-1).

(7)

由遞推式(7)立即可得不等式(6),易知當Bn為正則單形時式(5)中等號成立.

引理3[12]對球面空間Sn(1)中n維單形An,有

(k!Nk)1/k≤(l!Nl)1/l, 1≤k

(8)

當An為正則單形時等號成立.

在不等式(5)中取l=n,k=1,可得如下n維雙曲單形不等式：

(9)

在不等式(8)中取l=n,k=1,可得如下n維球面單形不等式：

(10)

引理4[9]對雙曲空間Hn(-1)中n維單形Bn,θ∈(0,1],有

(11)

當Bn為正則單形時等號成立.

引理5[9]對球面空間Sn(1)中n維單形An,θ∈(0,1],有

(12)

當An為正則單形時等號成立.

特別地,在引理4中取n=2,對Hn(-1)中2維單形B2(三角形),有

(13)

在引理5中取n=2,對Sn(1)中2維單形A2(三角形),有

(14)

引理6對雙曲空間Hn(-1)中n維單形Bn,θ∈(0,1],γ∈[2,n],有

(15)

當Bn為正則單形時等號成立.

證明：

其中:

Γ1={(i1,i2,i3);bi1,bi2,bi3為Bn一個2維子單形(三角形)的三邊};

Γ2={(ip,iq);bip與biq不同為An一個2維子單形(三角形)的二邊}.

設集合S的元素數為|S|,則可知

將式(16)右端第一～三項分別記為σ1,σ2,σ3,利用不等式(13)、 算術-幾何平均不等式及式(9),得

所以

即不等式(15)成立.

引理7對球面空間Sn(1)中n維單形An,θ∈(0,1],有

(20)

當Bn為正則單形時等號成立.

引理7的證明方法類似于引理6,故略.

證明: 記

則

其中

)2≥0.

(23)

利用不等式(15),有

(24)

(25)

由式(22)～(25)即知不等式(21)成立,易知當Bn為正則單形時等號成立.

利用不等式(21)與算術-幾何平均不等式,可得雙曲空間Hn(-1)中如下一種n維Neuberg-Pedoe不等式:

推論1條件如定理1所設,則有

(26)

定理2中不等式(27)的證法類似于不等式(21)的證法,故略.

利用不等式(26)與算術-幾何平均不等式,可得球面空間Sn(1)中如下一種n維Neuberg-Pedoe不等式:

推論2條件如定理2所設,則有

不等式(21)和(27)分別視為雙曲空間與球面空間中n維Chiakuei不等式.

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