齊型空間上帶非光滑核的奇異積分算子構(gòu)成的多線性交換子的Lipschitz估計(jì)

孫愛文,陳 紅,束立生

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

0 引 言

Rn上的奇異積分算子及其交換子是調(diào)和分析研究的主要內(nèi)容. 自Duong等[1]給出帶非光滑核的奇異積分算子的定義及Pérez等[2]給出多線性交換子的定義以來,關(guān)于帶非光滑核的奇異積分算子生成的多線性交換子的研究已取得許多結(jié)果[3-10]. 本文討論帶非光滑核的奇異積分算子T與函數(shù)b(b∈Lipβ)生成的多線性交換子,得到了其是從Lp(X)到Lq(X)有界的.

定義1[3]設(shè)X是一個(gè)集合,在X上賦予一個(gè)正則的Borel測(cè)度μ及一個(gè)擬距離d. 對(duì)于d,存在常數(shù)kd≥1,使得?x,y,z∈X,有d(x,y)≤kd(d(x,z)+d(z,y));若μ滿足雙倍條件,即存在常數(shù)C≥1,使得?x∈X和r>0,有μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r))<∞,其中B(x,r)表示以x為中心、r為半徑的擬球. 則稱(X,d,μ)是一個(gè)Coifman-Weiss意義下的齊型空間.

由于齊型空間上的μ滿足雙倍條件,因此有如下性質(zhì)[4]:

1) 存在常數(shù)C>0,γ≥1,齊型空間的維數(shù)n,使得μ(B(x,γr))≤Cγnμ(B(x,r));

2) 存在常數(shù)C和N(0≤N≤n),使得

μ(B(y,r))≤C(1+d(x,y)/r)Nμ(B(x,r)), ?x,y∈X,r>0.

(1)

|at(x,y)|≤ht(x,y)=(μ(B(x,t1/δ)))-1·s(d(x,y)δt-1),

其中:δ是大于零的常數(shù);s是一個(gè)正的有界遞減函數(shù),且滿足:

(2)

這里的0<ε<1. 則稱一族算子{At}t>0為“廣義恒等逼近”.

定義3[6]如果算子T在L2(X)上有界,且存在核K(x,y),使得

1) 存在“廣義恒等逼近”{Bt}t>0,使得TBt是以kt(x,y)為核的算子,T-TBt是以K(x,y)-kt(x,y)為核的算子,并且存在常數(shù)c1,ρ>0,使得該核滿足

2) 存在“廣義恒等逼近”{At}t>0,使得AtT是以Kt(x,y)為核的算子,T-AtT是以K(x,y)-Kt(x,y)為核的算子,且該核滿足

|Kt(x,y)|≤c2(μ(B(x,t1/δ)))-1,d(x,y)≤c3t1/δ,

(3)

這里α>0.

定義4[7]設(shè)(X,d,μ)是一個(gè)齊型空間,0<β<1,齊型空間上的Lipschitz空間定義為

設(shè)b=(b1,b2,…,bm),bj∈Lipβ(j=1,2,…,m)為X上固定的局部可積函數(shù),則由帶非光滑核的奇異積分算子T和b生成的多線性交換子定義為

本文出現(xiàn)的常數(shù)C>0,在不同之處表示不同的值.

1 引 理

引理1[1]1

引理2[8]對(duì)0<β<1,1≤r≤∞,令

設(shè)r

‖Mβ,r(f)‖Lq≤C‖f‖Lp.

引理3[9]對(duì)0<β<1,1≤p≤∞,有

引理4[10]假設(shè)B1?B2,f∈ Lipβ(X),則|fB1-fB2|≤C‖f‖Lipβμ(B2)β,其中B1,B2均為齊型空間上的擬球.

引理5令{At}t>0為“廣義恒等逼近”,0<β<1,b∈Lipβ(X),1≤p≤∞. 則對(duì)一切f∈Lp(X)和x∈X,有:

證明：1) 設(shè)f∈Lp(X),1≤p≤∞,對(duì)任意的x∈X,B為包含x的任意擬球,則

先估計(jì)Ⅰ. 通過式(1),可得μ(B)≤C2Nμ(B(x,rB)),對(duì)于任意的x∈B,如果x∈B,y∈2B,則有

因此,由引理3和引理4,可得

對(duì)于Ⅱ,x∈B,y∈2k+1B2kB,則d(x,y)≥2k-1rB,由齊型空間的性質(zhì),有

類似于Ⅰ的估計(jì),有Ⅱ≤C‖b‖LipβMβ,1(f)(x). 綜合Ⅰ,Ⅱ的估計(jì),1)得證.

同理,可以證2).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)0<β<1/m,1

因此

對(duì)于J1(x),應(yīng)用引理2及引理3,有

對(duì)于J2(x),固定1

對(duì)于J7(x),由式(3)及μ的雙倍條件,有

因此

綜上估計(jì),有

由引理2及T在Lp(X)上的有界性,有

[1] Duong X T,Mcintosh A. Singular Integral Operators with Non-smooth Kernel on Irregular Domains [J]. Rev Mat Iberoamericana,1999,15(2): 233-265.

[2] Pérez C,Trujillo-Gonzlez R. Sharp Weighted Estimates for Multilinear Commutators [J]. J London Math Soc,2002,65(3): 672-692.

[3] HU Guo-en,WANG Wei-hong. A Weighted Estimate for the Maximal Commutators on Space of Homogeneous Type [J]. Acta Mathematica Sinica: Chinese Series,2010,53(1): 141-152. (胡國恩,王衛(wèi)紅. 齊型空間上極大交換子的一個(gè)加權(quán)估計(jì) [J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào): 中文版,2010,53(1): 141-152.)

[4] Coifman R,Weiss G. Analyse Harmonique Non-commutative Sur Certains Espaces Homognes [M]. Lecture Notes in Math. New York: Springer,1971: 242.

[5] Duong X T,YAN Li-xin. Commutators of BMO Functions and Singular Integral Operators with Non-smooth Kernels [J]. Bull Austral Math Soc,2003,67(2): 187-200.

[6] XU Jing-shi. Multilinear Commutators of Singular Integral Operators with Non-smooth Kernels [J]. Taiwanese Journal of Mathematics,2007,11(2): 483-496.

[7] Pérez C. Endpoint Estimates for Commutators of Singular Integral Operators [J]. J Func Anal,1995,128(1): 163-185.

[8] ZHANG Qian,LIU Lan-zhe. A GoodλEstimate for Multilinear Commutator of Singular Integral on Spaces of Homogeneous Type [J]. Armenian Journal of Mathematics,2010,3(3): 105-126.

[9] Paluszynski M. Characterization of the Besov Spaces via the Commutator Operator of Coifman,Rochbeg and Weiss [J]. Indiana Univ Math J,1995,44(1): 1-17.

[10] Genebashvili I,Gogatishvili A,Kokilashvili V,et al. Weighted Theory for Integral Transforms on Space of Homogeneous Type [M]. Longman: Piman Monogr and Survey in Pure and Appl Math,1998.