規范精度維數及其收斂性

賈 亮,魏麗娜,盛中平

(東北師范大學 數學與統計學院,長春 130024)

1 分形的拼貼分解與拼貼逼近

在分形幾何中,分形維數[1]是一般圖像的重要數字特征,應用廣泛[2-9]. 對于非自相似的一般圖像,通常采用Hausdorff維數與盒維數刻畫. Hausdorff維數是基于可數覆蓋和測度而引入的,盒維數則是基于有限覆蓋和容度而引進的. 因此,盒維數在實際估算中更方便可行,也是模式識別的數學工具之一[2-8].

一般情況下,分形的拼貼分解與拼貼逼近由問題的實際背景確定.

其中：Fi稱為分形F的第i個組合體;Ei稱為分形F的第i個逼近體. 也稱分形組合體Fi的逼近體為Ei.

例如,記區間 [a,b]生成的三分Cantor集為F. 設

E1=[a,a+(b-a)/3],E2=[a+2(b-a)/3,b],F1=F∩E1,F2=F∩E2,

則F=F1∪F2為F拼貼分解,F≈E1∪E2為F拼貼逼近.

若取基準體F0=F,基準逼近體E0=E1∪E2,則基本尺度L=b-a,基容數

c=V/V0=Vol(E1∪E2)/Vol(E0)=1；

若取基準體F0=F1,基準逼近體E0=E1,則基本尺度L=(b-a)/3,基容數

c=V/V0=Vol(E1∪E2)/Vol(E0)=2.

2 規范精度維數與校正精度維數

盒維數的計算,通常利用某類盒覆蓋實現. 如利用網方體覆蓋計算盒維數是一種最常用的方法. 下面先對盒覆蓋的盒長和盒子數進行規范化處理.

1)r=δ/L(關于基本尺度的相對盒長)稱為分形F關于盒覆蓋的微精度. 此時,也稱該盒覆蓋為F的一個r-精度盒覆蓋;記基本尺度相對于盒長數為ν=L/δ,ν稱為分形F對于盒覆蓋的基線數.

2) 在以δ(≤L)為盒長的盒覆蓋下,記N為覆蓋分形F的最少盒子數,N稱為F在r-精度盒覆蓋下的微盒數；記Ni為覆蓋分形F的第i個組合體Fi的最少盒子數,Ni稱為F在r-精度盒覆蓋下的第i個微盒數;記N0為覆蓋分形基準體F0的最少盒子數,N0稱為F在r-精度盒覆蓋下的基盒數;記F相對于F0的平均微盒數N*=N/c,N*稱為分形F在r-精度盒覆蓋下的規范微盒數.

對于三分Cantor集,可用其生成步驟中產生的閉區間作為盒覆蓋. 當基準體F0=F時,取盒覆蓋的盒長δ=(b-a)/3k,則微精度r=δ/L=1/3k,基線數ν=L/δ=3k；基盒數N0=2k,微盒數N=2k；規范微盒數N*=N/c=2k. 當基準體F0=F1時,取盒長δ=(b-a)/3k,則微精度r=δ/L=1/3k-1,基線數ν=L/δ=3k-1；基盒數N0=2k-1,微盒數N=2k；規范微盒數N*=N/c=2k-1.

下面引入盒維數的兩種近似形式. 當分形F存在盒維數(設為d)時,記c0=N0/νd,c0稱為r-精度(r=1/ν)基自容數. 進而N0=c0νd. 由于基容數c可視為分形F包含基準體F0的個數,因此逼近分形F總的盒子數可以近似地視為cN0=cc0νd=cc0(L/δ)d=cc0r-d. 又在微盒數及拼貼逼近的意義下可知,總的盒子數即為微盒數N. 從而有N≈cN0=cc0νd=cc0(L/δ)d=cc0r-d,進而可得

N*=N/c≈N0=c0(L/δ)d,N*≈c0νd,N*≈c0r-d.

于是lnN*≈lnc0-dlnr,因此

d≈(lnN*-lnc0)/(-lnr)=lnN*/lnν-lnc0/lnν.

特別地,當r→0時,ν→∞,而基自容數c0是常數. 故當r非常小時或者c0趨近于1時,近似有d≈-lnN*/lnr=lnN*/lnν.

當微精度r不變時,顯然基自容數c0=N0/νd=N0/r-d是只與分形的基準體F0相關的常數,從而lnc0/lnν也是僅與分形的基準體F0相關的常數. 當做聚類分析時,要用同一個基準體(對于不同的分形),此時諸lnN*/lnν相當于該相應維數d的一個平行移動,即lnN*/lnν=d+lnc0/lnν. 因此,把維數lnN*/lnν作為聚類分析的一種特征(當微精度r不變時),而且可以進一步校正為lnN*/lnν-lnc0/lnν.

1)dr(F)?-lnN*/lnr=(lnN-lnc)/(lnL-lnδ),dr=dr(F)稱為有界集F在該r-精度盒覆蓋下的r-精度維數,也稱為規范精度維數.

3 規范精度維數的收斂性

規范精度維數和校正精度維數都是與盒覆蓋和盒覆蓋精度相關的一種數字特征,二者均可用于快速分類. 在數值上,校正精度維數更接近于盒維數,是盒維數很好的逼近.

證明：已知給定 Rn中的集合F(有界集),用邊長為δ的空間網方體盒覆蓋,設其微盒數為N. 記F0的基容數為c(常數),基本尺度為L(常數),則微精度r=δ/L,規范盒數N*=N/c. 又因為

當分形存在盒維數時,由盒維數的定義可得

證畢.

定理1表明,在規范精度維數中當δ→0時,lnc和lnL可忽略不計,進而得到盒維數的形式. 但在實際計算中,取極限是不能實現的,因此,規范盒維數中lnc和lnL的影響不可忽略.

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