漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人奇異攝動魯棒控制*

謝立敏，陳 力

（1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院 福州，350108） （2.福建農(nóng)林大學(xué)機(jī)電學(xué)院 福州，350002）

引 言

空間機(jī)器人不僅可以降低宇航員在宇宙環(huán)境中工作時(shí)遇到的危險(xiǎn)、保證空間活動的安全性，還可以減少成本，提高生產(chǎn)效率和經(jīng)濟(jì)效益；因此，空間機(jī)器人技術(shù)已成為最具有吸引力的研究領(lǐng)域之一，與其相關(guān)的動力學(xué)控制研究也成為研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)［1－3］。值得注意的是，在空間實(shí)際應(yīng)用中，空間機(jī)器人并不一定為純剛性體，它往往具有柔性的特性［4］，主要表現(xiàn)為臂柔性和關(guān)節(jié)柔性。這些柔性因素的存在使空間機(jī)器人在運(yùn)動過程中不可避免地產(chǎn)生變形和振動，影響系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)定性。目前，柔性空間機(jī)器人的研究大多集中于柔性臂空間機(jī)器人［5－7］。柔性關(guān)節(jié)的存在會使得空間機(jī)器人機(jī)械臂的運(yùn)動不再與驅(qū)動其運(yùn)動的電機(jī)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動保持完全一致。因此，若在空間機(jī)器人的動力學(xué)建模和控制方法的設(shè)計(jì)過程中忽略關(guān)節(jié)呈柔性的這一特性，空間機(jī)器人運(yùn)動控制的精確性和穩(wěn)定性將會受到很大影響。由于空間機(jī)器人為載體自由漂浮的無根多體系統(tǒng)，載體與機(jī)械臂之間存在著強(qiáng)烈的動力學(xué)耦合關(guān)系；參數(shù)、負(fù)載和燃料等的變化使得空間機(jī)器人的系統(tǒng)參數(shù)存在不確定性，這些因素導(dǎo)致慣常用于地面機(jī)器人的控制方法難以直接推廣和應(yīng)用到漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人的控制當(dāng)中；因此，漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人控制方法的設(shè)計(jì)就變得更加困難。Steve等［8］基于擴(kuò)展卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)控制方法，以實(shí)現(xiàn)柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人系統(tǒng)運(yùn)動軌跡的漸近跟蹤，但該方法未對系統(tǒng)的彈性振動進(jìn)行抑制，控制精度不高。潘博等［9］建立了柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂的模型，但該模型是建立在載體固定的基礎(chǔ)上，不符合空間機(jī)器人載體自由漂浮的實(shí)際。陳志勇等［10］利用關(guān)節(jié)柔性補(bǔ)償器等效降低關(guān)節(jié)的柔性，研究了漂浮基帶柔性鉸空間機(jī)器人的動力學(xué)建模與運(yùn)動控制。

筆者針對漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人系統(tǒng)，利用系統(tǒng)動量、動量矩守恒關(guān)系和拉格朗日第2類方程建立系統(tǒng)動力學(xué)方程。基于奇異攝動理論，建立了系統(tǒng)的奇異攝動模型，將系統(tǒng)分解為表示剛性部分的慢變子系統(tǒng)和表示彈性振動部分的快變子系統(tǒng)。設(shè)計(jì)了以慢變子系統(tǒng)的魯棒控制方法和快變子系統(tǒng)的線性速度反饋控制方法相結(jié)合的混合控制方法。通過計(jì)算機(jī)MATLAB數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)證明了所提出方法的有效性。

1 漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人的奇異攝動建模

以圖1所示的漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人為例，該系統(tǒng)由載體B0、柔性關(guān)節(jié)O1，O2、剛性桿B1，B2和固定于B2上簡化為質(zhì)點(diǎn)的載荷P組成。建立系統(tǒng)的慣性坐標(biāo)系Oxy和各分體的主軸坐標(biāo)系Ojxjyj（j＝0，1，2）。假設(shè)系統(tǒng)在Oxy平面內(nèi)作平面運(yùn)動。載體的姿態(tài)角為q0，剛性桿Bi（i＝1，2）的轉(zhuǎn)動角度為qi，關(guān)節(jié)Oi處驅(qū)動電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角度為θi。柔性關(guān)節(jié)可等效為存在于電機(jī)轉(zhuǎn)子和桿之間剛度系數(shù)為K的無慣量扭簧［11］，如圖2所示。當(dāng)關(guān)節(jié)Oi處的驅(qū)動電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過角度θi時(shí)，剛性桿Bi受到扭簧的作用會繼續(xù)轉(zhuǎn)動一小角度Δi，最終到達(dá)qi，Δi＝qi－θi即為角度變形誤差。可見，若在動力學(xué)分析和控制方法設(shè)計(jì)時(shí)忽略關(guān)節(jié)柔性的存在，必然將不斷累積角度變形誤差，影響系統(tǒng)的控制精度。考慮到關(guān)節(jié)的柔性，在對漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)分析時(shí)要分別分析由載體、桿和載荷構(gòu)成的空間機(jī)器人系統(tǒng)的動力學(xué)和驅(qū)動電機(jī)的動力學(xué)。系統(tǒng)的總動能T為空間機(jī)器人系統(tǒng)的動能Tq和驅(qū)動電機(jī)的動能Tθ之和，即T＝Tq＋Tθ。在空間環(huán)境中，忽略重力梯度的影響，系統(tǒng)的總勢能僅為柔性關(guān)節(jié)簡化扭簧的彈性變形勢能，即系統(tǒng)不受外力作用，遵守動量及動量矩守恒關(guān)系。不失一般性，設(shè)系統(tǒng)初始動量及動量矩均為零，利用拉格朗日方程得到載體位置、姿態(tài)均不受控的漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人系統(tǒng)的動力學(xué)方程

柔性關(guān)節(jié)的存在會產(chǎn)生角度變形誤差并引起系統(tǒng)的彈性振動。為了克服這些問題，筆者基于奇異攝動法，將系統(tǒng)動力學(xué)方程（1），（2）分解成慢變（剛性）和快變（彈性）兩個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng)，并對兩個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)控制方法［12］。慢變子系統(tǒng)的控制方法τs用來補(bǔ)償角度變形誤差和系統(tǒng)的不確定參數(shù)，保證系統(tǒng)的控制精度。快變子系統(tǒng)的控制方法τf用來消除系統(tǒng)的彈性振動。于是，系統(tǒng)的混合控制方法為τ＝τs＋τf。

圖1 漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人

圖2 柔性關(guān)節(jié)的簡化模型

定義正定、對角矩陣K1＝K·ε2，其中，ε為一非常小的正常數(shù)。令系統(tǒng)的“快”變量為z＝K（θ－q），則系統(tǒng)動力學(xué)方程（1），（2）可重新寫為

設(shè)計(jì)快變子系統(tǒng)的線性速度反饋控制方法

其中：Kf＝K2／ε；K2為正定、對角矩陣。

將式（5）代入式（4），獲得快變子系統(tǒng)的動力學(xué)方程

由于ε為一非常小的正常數(shù)，則由K＝K1／ε2可知：當(dāng)ε→0時(shí)K→∞，此時(shí)關(guān)節(jié)等效為剛性。于是，令式（1），（2）中θ＝q，可獲得漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人的等效剛性模型，即慢變子系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

式（6）和式（7）構(gòu)成了漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人的奇異攝動模型。

2 慢變子系統(tǒng)的魯棒控制方法

為了便于慢變子系統(tǒng)控制方法的設(shè)計(jì)，先對式（7）進(jìn)行準(zhǔn)線性化處理，得到

式（8）中的相關(guān)矩陣具有以下的性質(zhì)。

性質(zhì)1 慣性矩陣 W（q0，q）有界，即 0≤其中：λmin｛＊｝和λmax｛＊｝分別為矩陣＊的特征值的最大和最小值。

同理，有

定義μ＝（˙e＋Se）ρ，魯棒項(xiàng)L可設(shè)計(jì)為

選取以下形式的Lyapunov函數(shù)

利用性質(zhì)1和范數(shù)的定義，可將式（12）寫為

由于σ為一很小的正常數(shù)，故易滿足σ／2－η‖E‖2≤0，即˙V（e，˙e，t）≤0。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)全局穩(wěn)定且收斂值為‖E‖≤，進(jìn)而得到

3 仿真算例

以圖1所示作平面運(yùn)動的漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人系統(tǒng)為例進(jìn)行MATLAB數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)。仿真時(shí)，假設(shè)載荷的質(zhì)量mp及中心慣量矩Jp為系統(tǒng)的不確定參數(shù)，其真實(shí)值為mp＝2kg，Jp＝1.25 kg·m2，估計(jì)值為mp＝1kg，Jp＝1kg·m2。假設(shè)空間機(jī)器人剛性桿轉(zhuǎn)角的期望運(yùn)動規(guī)律為qd＝［sin（0.2πt） cos（0.2πt）］T；運(yùn)動初始值q（0）＝［0.2 1.1 ］T，θ（0）＝［0.2 1.1 ］T，單位為rad；仿真時(shí)間t＝10s。圖3為漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人剛性桿轉(zhuǎn)角的實(shí)際運(yùn)動軌跡和期望運(yùn)動軌跡對比圖。圖4為驅(qū)動電機(jī)轉(zhuǎn)子的實(shí)際運(yùn)動軌跡與剛性桿轉(zhuǎn)角的期望運(yùn)動軌跡對比圖。圖5為關(guān)閉快變控制τf后，漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人剛性桿轉(zhuǎn)角的實(shí)際運(yùn)動軌跡和期望運(yùn)動軌跡對比圖。圖6為驅(qū)動電機(jī)轉(zhuǎn)子的實(shí)際運(yùn)動軌跡與剛性桿轉(zhuǎn)角的期望運(yùn)動軌跡對比圖。

圖3 空間機(jī)器人剛性桿轉(zhuǎn)角運(yùn)動軌跡

圖4 驅(qū)動電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動軌跡

圖5 當(dāng)τf關(guān)閉時(shí)空間機(jī)器人剛性桿轉(zhuǎn)角運(yùn)動軌跡

由圖3和圖4可看出，在筆者提出的混合控制方法的控制下，漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人的剛性桿和驅(qū)動電機(jī)轉(zhuǎn)子都能精確且穩(wěn)定地跟蹤上相同的期望運(yùn)動軌跡。系統(tǒng)的角度變形誤差和參數(shù)不確定性均得到補(bǔ)償，彈性振動得到抑制。從圖5和圖6可看出，當(dāng)關(guān)閉快變控制τf時(shí)，漂浮基柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人的剛性桿和驅(qū)動電機(jī)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動都存在劇烈的振動，控制失效，從而證明了快變控制律τf對系統(tǒng)振動抑制的有效性。

圖6 當(dāng)τf關(guān)閉時(shí)驅(qū)動電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動軌跡

4 結(jié)束語

針對漂浮基參數(shù)不確定的柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)器人，基于奇異攝動法建立系統(tǒng)奇異攝動模型，提出了由慢變子系統(tǒng)的魯棒控制方法和快變子系統(tǒng)的速度反饋控制方法組成的混合控制方法。數(shù)值仿真結(jié)果表明，提出的混合控制方法能夠有效補(bǔ)償系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，消除柔性關(guān)節(jié)引起的角度變形誤差，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)運(yùn)動軌跡的漸進(jìn)跟蹤；同時(shí)能夠有效抑制柔性關(guān)節(jié)引起的系統(tǒng)彈性振動，保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

［1］ Yoshida K.Engineering test satellite vii flight experiments for space robot dynamics and control：theories on laboratory test beds ten years ago，now in orbit［J］.International Journal of Robotics Research，2003，22（5）：321－335.

［2］ 王從慶，柯昌俊.自由浮動柔性空間雙臂機(jī)器人的混合抑振控制［J］.振動工程學(xué)報(bào)，2009，22（1）：31－35.Wang Congqing，Ke Changjun.Hybrid vibration suppression for a free－floating flexible dual－arm space robot［J］.Journal of Vibration Engineering，2009，22（1）：31－35.（in Chinese）

［3］ 陳力.參數(shù)不確定空間機(jī)械臂系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)混合控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2004，21（4）：512－516.Chen Li.Robust and adaptive composite control of space manipulator system with uncertain parameters［J］.Control Theory ＆ Applications，2004，21（4）：512－516.（in Chinese）

［4］ 孫玉國，劉海江，孫玲玲，等.剛?cè)狁詈蟿恿ο到y(tǒng)固有振動特性研究［J］.振動、測試與診斷，2003，23（1）：48－50.Sun Yuguo，Liu Haijiang，Sun Lingling，et al.On natural vibration characteristics of a rigid－flexible dynamic coupled system［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2003，23（1）：48－50.（in Chinese）

［5］ 陳志勇，陳力.柔性空間機(jī)械臂振動抑制的模糊終端滑模控制［J］.振動、測試與診斷，2010，30（5）：481－486.Chen Zhiyong，Chen Li.Fuzzy terminal sliding mode control of vibration suppression of flexible space manipulator［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆Diagnosis，2010，30（5）：481－486.（in Chinese）

［6］ Senda K，Murotsu Y.Methodology for control of a space robot with flexible links［J］.IEEE Proceedings of Control Theory and Applications，2000，147（6）：562－568.

［7］ 吳立成，孫富春，孫增圻，等.柔性空間機(jī)器人振動抑制軌跡規(guī)劃算法［J］.機(jī)器人，2003，25（3）：250－254.Wu Licheng，Sun Fuchun，Sun Zengqi，et al.Optimal trajectory planning of flexible space robot for vibration reducing［J］.Robot，2003，25（3）：250－254.（in Chinese）

［8］ Steve U，Jurek Z S.Extended Kalman filtering for flexible joint space robot control［C］∥2011American Control Conference.San Francisco，CA，USA：IEEE，2011：1021－1026.

［9］ 潘博，孫京，于登云.柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂建模、控制與仿真［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2010，22（8）：1826－1831.Pan Bo，Sun Jing，Yu Dengyun.Modeling，control and simulation of space manipulators with flexible joints［J］.Journal of System Simulation，2010，22（8）：1826－1831.（in Chinese）

［10］陳志勇，陳力.漂浮基帶柔性鉸空間機(jī)器人的動力學(xué)建模及奇異攝動控制研究［J］.中國機(jī)械工程，2011，22（18）：2151－2155.Chen Zhiyong，Chen Li.Study on dynamics modeling and singular perturbation control of free－floating space robot with flexible joints［J］.China Mechanical Engineering，2011，22（18）：2151－2155.（in Chinese）

［11］Spong M W.Modeling and control of elastic joint robots［J］.Journal of Dynamics Systems，Measurement，and Control，1987，109：310－319.

［12］Subudhi B，Morris A S.The singular perturbation approach to trajectory control of a multilink manipulator with flexible links and joints［J］.Proceedings Institution of Mechanical Engineers，2002，215（1）：587－598.