海倫方程矩量法分析＊

劉建廠

（海司信息化部 北京 100841）

1 引言

人們把用基函數和權函數將積分方程離散化為矩陣方程的數值計算方法稱為矩量法［1］，矩量法是一種非常普遍的概念，其基本思想是將一個泛函方程化為矩陣方程并求解該方程。該方法在天線領域應用廣泛，上世紀60年代，哈林登（Harrington）首先將矩量法應用于電磁場領域［2］。對于輻射問題，是將含有未知電流的積分方程化為矩陣方程，通過求解該矩陣方程得到天線上的電流分布。

在矩量法的分析過程中，積分方程有多種，比如雙位積分方程、海倫（Hallen）積分方程、波克林頓（Pocklington）積分方程、反應積分方程等［3～7］。本文重點對海倫積分方程的矩量法求解過程進行了研究，文中詳細推導了海倫積分方程，分別選取全域基和分域積進行了分析，尤其對脈沖分域積、δ權函數進行了重點研究，特別是匹配點的選取和廣義阻抗矩陣的特性。

2 海倫積分方程［1～8］

海倫積分方程是基于Δ間隙電壓源［5］求解對稱偶極子天線的，如圖1所示偶極子天線半徑為a，長度為L，沿z軸放置于坐標原點，使用間隙為Δ（Δ無限小）強度為Eg的電壓源激勵。

假設a?λ，a?L，偶極子天線表面的電流僅有軸向分量，即z分量，所以沿偶極子表面電流均勻分布，并且偶極子天線端面電流為零。這樣矢量位僅有軸向分量Az，于是電場表達變為Ez＝-jωAz-，根據洛侖茲（Lorentz）規范［9］，可以得出：

圖1 偶極子天線

該微分方程的通解為Az＝Bcoskz＋Dsinkz，由偶極子天線的對稱性可知：Az（-z）＝Az（z），所以D＝0，上面的通解變為Az＝Bcoskz，而特解可以寫作：

在z＝0的Δ（Δ→0）鄰域對方程（2）兩邊求積分：

由于Az在z＝0處連續，故，上式變為

Δ→0時，可得：-jk（M＋N）＝-jωμεV，即：M＋N，根據Az在z＝0處連續這一條件，可得M＝N。故微分方程（2）的特解為

Az＝，即：

Az＝Bcoskz＋B′Ve-jk｜z｜，式中，

3 海倫積分方程矩量法求解

用矩量法求解海倫積分方程時，一般使用全域基、點匹配法，對于細偶極子天線，由于已知電流分布接近正弦分布，所以經常采用正弦分布的全域基函數，這樣使解的收斂性很好，用2～3個展開函數便能較好的逼近未知函數。而使用分域基求解由于涉及到偶極子天線的分段和匹配點的選取，所以解法不是很統一，雖然有文獻中使用分域脈沖基、點匹配法進行分析，但偶極子天線的分段和匹配點的選取不是很理想，特別匹配點與分段重合的情況，計算廣義阻抗矩陣易出現奇異點。

3.1 全域基、點匹配［7］

對于圖1所示偶極子天線，選用三角全域基函數展開，待求電流可表示為

其中：

求解出系數In后，可以得到天線的輸入阻抗：

由于天線在遠場區只有Eθ分量，故：

通過進一步計算，可以求出功率方向圖：

3.2 分域基、點匹配［2～3，5］

選用分域脈沖基函數作為展開函數，采用點匹配法，脈沖基函數選為

圖2 天線分段情況和匹配點選取示意圖

本文采用的分段和匹配方法是將天線分為偶數段，展開脈沖函數數目為奇數，偶極子天線兩端各留半個分段，匹配點選在每個脈沖的中心，保證在饋電處有一個匹配點。因為方程有N＋1個未知量，故在天線端點處的一個分段中點還需再選一個匹配點，這樣選取的好處是可以使偶極子天線末端的電流為零，具體情況見圖2。離散后的N＋1階線性方程組表示為

式中：

則矩陣形式的表達式為

即：ZI＝V，進一步可得：I＝Z-1V，I的最后一項是系數C＊，在后面計算中不再使用，這樣便得到了電流分布，進而可以求出輻射場。

偶極子的輻射場在遠區只有Eθ和Hφ分量，經過化簡，偶極子的第n段的遠區輻射場為

偶極子天線的增益：

式中，I0表示饋電點的電流。

4 數值計算

對L＝0.5λ，a＝0.0001λ和a＝0.001λ中央單位電壓饋電的偶極子天線，天線放置情況如圖1所示，分別用三角全域基、點匹配和脈沖分域基、點匹配進行了矩量法分析。

4.1 電流分布

全域基采用的基函數個數為3，匹配點是在L／2 上等間距取N＋1個點；分域基的天線分段數為60，即采用59個脈沖基函數，匹配點選在每個脈沖的中心，另在天線的端點處的分段中心再取一個匹配點。

當偶極子半徑a＝0.0001λ時，使用全域基與分域基得到的電流分布一致性很好，如圖3所示；而當偶極子的半徑增大到a＝0.001λ時，使用分域基得到的電流分布與使用全域基得到的電流分布產生了一定的偏差，特別是在饋電點處，如圖4所示。

圖3 a／λ＝0.0001偶極子的電流分布

圖4 a／λ＝0.001偶極子的電流分布

4.2 輻射特性

功率方向圖對偶極子天線半徑變化的敏感度要低一些，在偶極子半徑a＝0.0001λ時，使用全域基和分域基得到的E面功率方向圖如圖5所示，兩種方法所得結果吻合度很好。

圖5 偶極子的E 面功率方向圖

4.3 輸入阻抗與增益系數

偶極子半徑a＝0.0001λ時的輸入阻抗和增益系數結果如表1所示，偶極子半徑a＝0.001λ時的輸入阻抗和增益系數結果如表2所示。

表1 a＝0.0001λ時的輸入阻抗與增益系數

表2 a＝0.001λ時的輸入阻抗與增益系數

計算結果表明：采用全域基、點匹配法時，N值不宜取的過大，一般取N＝2～3即可，N值過大，會使阻抗矩陣產生病態；采用脈沖分域基、點匹配法時，偶極子的分段情況和匹配點的選取尤為重要，雖然不同的選取方法大致都能得到較為理想的結果，但在細節上，比如阻抗矩陣的條件數等方面還是存在很大差距。

兩種方法在求解偶極子輻射特性方面差別不大，功率方向圖的結果比較一致；對于線徑較大的偶極子天線，全域基比分域基給出的電流分布結果更加穩定；輸入阻抗和增益系數方面，全域基也比分域基的情況要好一些。

5 病態矩陣［5，7，10］

使用全域基、點匹配方法，在偶極子線徑較小時，對基函數的項數N感度不是很大，不同N值對阻抗矩陣條件數的影響不大，但隨著偶極子線徑的增加，阻抗矩陣的條件數對N值的敏感度增強，此時，如果N取得過大，會使阻抗矩陣Zmn變為病態，條件數隨著N的增加不斷變大，導致電流分布產生畸變。a＝0.005λ的半波偶極子天線隨N值的變化電流分布如圖6～7所示。

圖6 N 為3、5、7、9時的電流分布

圖7 N 為3、11、13、15時的電流分布

全域基、點匹配法阻抗矩陣的條件數隨N的變化見表3。分域基、點匹配法得到的阻抗矩陣條件數在偶極子線徑較大時，隨分段數的增加，變化更為劇烈，更容易使阻抗矩陣產生病態。

表3 阻抗矩陣的條件數

6 結語

海倫積分方程是天線矩量法研究中的一種重要方程，在實際應用中，采用不同的基函數和權函數，對數值計算結果有一定影響。本文詳細推導了海倫積分方程的建立過程，分別采用全域基和分域基對偶極子天線進行了矩量法分析，實現了一種新的分段和匹配方法，并對計算過程中阻抗矩陣的性態進行了分析研究，下一步工作的重點是對病態矩陣的產生原因做進一步分析。

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