基于排隊論的無人機(jī)突防概率研究＊

（中國人民解放軍陸軍軍官學(xué)院 合肥 230031）

1 引言

無人機(jī)以其成本低廉、機(jī)動性高、隱形性好、生存力強(qiáng)、可在危險條件下執(zhí)行任務(wù)的優(yōu)點越來越受到國際關(guān)注，可完成偵察、監(jiān)視、干擾、定位、校射、戰(zhàn)場評估甚至火力打擊等多種作戰(zhàn)任務(wù)。由于無人機(jī)需飛臨或飛越敵區(qū)域遂行任務(wù)的特點，在現(xiàn)代防空條件下，無人機(jī)能否突破敵防空體系是無人機(jī)完成作戰(zhàn)任務(wù)的前提。為研究無人機(jī)突防能力，本文依據(jù)現(xiàn)代戰(zhàn)爭的特點，設(shè)置了由殲擊機(jī)群、地空導(dǎo)彈群、高炮群組成的三層防御體系對無人機(jī)進(jìn)行攔截，建立了基于排隊論的無人機(jī)突防模型，給出了無人機(jī)突防概率計算方法，并結(jié)合實例進(jìn)行了計算。

2 無人機(jī)突破三層防御體系攔截的作戰(zhàn)過程

三層防御體系意指在擁有三維立體偵察網(wǎng)和實時指揮控制通信系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，由外向內(nèi)構(gòu)成三層攔截?zé)o人機(jī)的防空體系：外層由殲擊機(jī)群對來襲的無人機(jī)進(jìn)行消耗性攻擊；中間層由地空導(dǎo)彈群狙擊漏網(wǎng)的無人機(jī)；內(nèi)層由高炮群攔截。同時，三層防御體系在作戰(zhàn)部署時，必須保證殲擊機(jī)群、地空導(dǎo)彈群和高炮群的火力打擊范圍互不重疊。無人機(jī)突破三層防御體系攔截的作戰(zhàn)過程可用圖1描述。

3 無人機(jī)突破三層防御體系的概率計算模型

3.1 三層防御體系的排隊系統(tǒng)模型

根據(jù)無人機(jī)突破三層防御體系的作戰(zhàn)過程，可將三層防御體系看成一個隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，其中殲擊機(jī)、地空導(dǎo)彈、高炮對無人機(jī)的打擊即為對無人機(jī)進(jìn)行“服務(wù)”，防御體系（包括殲擊機(jī)群、地空導(dǎo)彈群和高炮群）是“服務(wù)臺”，連續(xù)到達(dá)的無人機(jī)是“顧客”。三層防御體系排隊系統(tǒng)模型如圖2所示。

圖1 三層防御體系對無人機(jī)（UAV）的作戰(zhàn)過程

圖2 三層防御體系排隊系統(tǒng)模型

3.2 基本假設(shè)

3.2.1 第一層防線

1）輸入過程：對防御體系來說，無人機(jī)到達(dá)的時間、到達(dá)的時間間隔和方向均是隨機(jī)的，因此，將無人機(jī)的進(jìn)入看成泊松流，可認(rèn)為無人機(jī)的到達(dá)時間間隔服從參數(shù)為λ1負(fù)指數(shù)分布。

2）服務(wù)機(jī)構(gòu)：設(shè)第一層防線是由n1架殲擊機(jī)組成的戰(zhàn)術(shù)消耗性攻擊機(jī)群。每架殲擊機(jī)均有獨(dú)立的戰(zhàn)斗性能，進(jìn)入的無人機(jī)均滿足射擊條件，并能被防空武器系統(tǒng)實時發(fā)現(xiàn)跟蹤，且有充足的彈藥供應(yīng)和及時的裝填時間，每次射擊毀傷無人機(jī)的概率均為常數(shù)p毀傷1；每架殲擊機(jī)對無人機(jī)的射擊周期服從參數(shù)為1／ˉtμ1的負(fù)指數(shù)分布，其中ˉtμ1為殲擊機(jī)對無人機(jī)的平均射擊周期。

3）排隊規(guī)則：在同批到達(dá)防空區(qū)域的無人機(jī)，打擊順序是任意的；在不同批次到達(dá)的無人機(jī)中，服務(wù)順序按先到先服務(wù)的規(guī)則；目標(biāo)分配原則是每一架無人機(jī)只分配給一架殲擊機(jī)；考慮到模型的一般性，設(shè)該層防線的系統(tǒng)容量為m1（m1≥n1）。

第一層防線構(gòu)成了一個多服務(wù)臺混合制M／FT1／n1／m1排隊系統(tǒng)。

3.2.2 第二層防線

1）輸入過程：無人機(jī)進(jìn)入可近似的看作參數(shù)為λ2泊松流。經(jīng)過第一層防線對無人機(jī)的戰(zhàn)術(shù)消耗，進(jìn)入第二層的阻擊漏防無人機(jī)看作參數(shù)為λ2泊松流，其中無人機(jī)的平均到達(dá)率λ2＝λ1·E（ζ）·p突防1，p突防1為無人機(jī)突破第一層防線的突防概率。

2）服務(wù)機(jī)構(gòu)：設(shè)第二層防線是由n2座地空導(dǎo)彈系統(tǒng)組成。每座地空導(dǎo)彈系統(tǒng)均有獨(dú)立的戰(zhàn)斗性能，進(jìn)入的無人機(jī)均滿足射擊條件，并能被防空武器系統(tǒng)實時發(fā)現(xiàn)跟蹤，且有充足的彈藥供應(yīng)和及時的裝填時間，每次射擊毀傷無人機(jī)的概率均為常數(shù)p毀傷2；每座地空導(dǎo)彈系統(tǒng)對無人機(jī)的射擊周期服從參數(shù)為1／ˉtμ2的負(fù)指數(shù)分布，其中ˉtμ2為地空導(dǎo)彈系統(tǒng)對無人機(jī)的平均射擊周期。

3）排隊規(guī)則：對進(jìn)入該層防空區(qū)域的無人機(jī)，打擊順序按先到先被打擊的規(guī)則；目標(biāo)分配原則是每一架無人機(jī)只分配給一個地空導(dǎo)彈系統(tǒng)；并且假定該層防線的系統(tǒng)容量為m2（m2≥n2）。

第二層防線就構(gòu)成一個多服務(wù)臺混合制M／FT2／n2／m2排隊系統(tǒng)。

3.2.3 第三層防線

1）輸入過程：經(jīng)過第二層防線的再次攔截而進(jìn)入第三層的漏防無人機(jī)仍可視為參數(shù)是λ3泊松流，其中λ3＝λ2·p突防2，p突防2為無人機(jī)突破第二層防線的突防概率。

2）服務(wù)機(jī)構(gòu)：設(shè)第三層防線是由n3座高炮組成的高炮群。每座高炮均有獨(dú)立的戰(zhàn)斗性能，進(jìn)入的無人機(jī)均滿足射擊條件，并能被防空武器系統(tǒng)實時發(fā)現(xiàn)跟蹤，且有充足的彈藥供應(yīng)和及時的裝填時間，每次射擊毀傷無人機(jī)的概率均為常數(shù)p毀傷3；每座高炮對無人機(jī)的射擊周期服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，其中為高炮對無人機(jī)的平均射擊周期。

3）排隊規(guī)則：對進(jìn)入該層防空區(qū)域的無人機(jī)，打擊順序按先到先被打擊的規(guī)則；目標(biāo)分配原則是每一架無人機(jī)只分配給一座高炮；并且假定該層防線的系統(tǒng)容量為m3（m3≥n3）。

第三層防線就構(gòu)成一個多服務(wù)臺混合制M／FT3／n3／m3排隊系統(tǒng)。

綜上，由三層防線組成的攔截體系就構(gòu)成了一個串聯(lián)的M／FT1／n1／m1→M／FT2／n2／m2→M／FT3／n3／m3排隊系統(tǒng)。

3.3 無人機(jī)突防概率分析

由基本假設(shè)可知，三層防御體系構(gòu)成了一個串聯(lián)的M／FT1／n1／m1→M／FT2／n2／m2→M／FT3／n3／m3排隊系統(tǒng)，則無人機(jī)突破各層防線的突防概率為

1）無人機(jī)突破第一層防線的突防概率

2）無人機(jī)突破第二層防線的突防概率

3）無人機(jī)突破第三層防線的突防概率

由無人機(jī)突破三層防御體系排隊系統(tǒng)模型可知，無人機(jī)最終突防概率即為p突破3。

4 實例計算與分析

假定組成三層防御體系的武器裝備分別為4 架F-5E殲擊機(jī)、2套愛國者地空導(dǎo)彈系統(tǒng)和4 門瑞士雙35mm 高炮。經(jīng)查閱資料，可知這些武器裝備的毀傷概率和射擊周期如表1所示。

表1 武器裝備的毀傷概率和射擊周期

分別運(yùn)用不同數(shù)量編隊的無人機(jī)進(jìn)行突防，根據(jù)建立的無人機(jī)突破防御體系概率計算公式編制程序，可分別計算出各個突防戰(zhàn)術(shù)的無人機(jī)最終突防概率和無人機(jī)最終突防數(shù)量，如表2所示，并繪制無人機(jī)突防概率與一次突防時的編隊總數(shù)關(guān)系，如圖3所示。

表2 不同編隊數(shù)量下的無人機(jī)突防概率和突防數(shù)量

由表2可知，若由4架無人機(jī)組成的編隊突防該假設(shè)的三層防御體系時，最終突防概率約為0.4796，當(dāng)組成編隊的無人機(jī)數(shù)量增加時，突防概率也相應(yīng)增加，若組成編隊的無人機(jī)數(shù)量增加至16架時，最終突防概率可達(dá)0.8977。

圖3 無人機(jī)突防概率與一次突防時的編隊總數(shù)關(guān)系

圖3可直觀顯示無人機(jī)突防概率以及無人機(jī)成功突防的架數(shù)與一次突防時的編隊總數(shù)關(guān)系，若增加無人機(jī)編隊總數(shù)可大幅提高無人機(jī)突防概率，當(dāng)無人機(jī)編隊總數(shù)達(dá)到一定值時，無人機(jī)突防概率趨于定值。

5 結(jié)語

由計算結(jié)果可知，若敵防御體系已知時，增加無人機(jī)編隊總數(shù)可提高無人機(jī)突防概率，當(dāng)無人機(jī)編隊總數(shù)達(dá)到一定值時，無人機(jī)突防概率趨于定值。由此可以根據(jù)敵防御體系有針對性的派出相應(yīng)數(shù)量編隊的無人機(jī)進(jìn)行突防，以增加無人機(jī)突防概率，更好地完成無人機(jī)突防任務(wù)；若敵方防御體系中防空武器數(shù)量未知時，可先派出小批量的無人機(jī)進(jìn)行突防，根據(jù)突防成功的無人機(jī)數(shù)量可相應(yīng)地估算出敵方防空武器數(shù)量，為后續(xù)執(zhí)行任務(wù)做好鋪墊。

本文設(shè)置的三層防御體系排隊系統(tǒng)模型，對突防的無人機(jī)具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，與戰(zhàn)場實際較為吻合，無人機(jī)的突防概率真實地反應(yīng)無人機(jī)的突防能力，使模型的使用具有較強(qiáng)的參考價值和實用性，可為無人機(jī)部隊的作戰(zhàn)使用提供參考。

致謝：感謝姜海波老師在建模和編程方面給予的指導(dǎo)和幫助！

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