一種艦船非線性隔振裝置的仿真及譜特性研究＊

（1.海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院 武漢 430033）（2.船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 武漢 430033）

1 引言

在現(xiàn)代高科技條件下的海戰(zhàn)中，聲隱身性能是潛艇和魚雷等水下航行器的重要技戰(zhàn)術(shù)性能指標(biāo)，而其機(jī)械振動(dòng)引起的水下輻射噪聲嚴(yán)重影響了隱身性能［1］。

潛艇輻射噪聲一般分為兩類：一類是純頻噪聲，其頻譜為線譜；另一類是寬帶噪聲，其頻譜為連續(xù)譜。潛艇輻射噪聲譜通常是連續(xù)譜和線譜的組合。潛艇輻射噪聲的頻譜特征隨著潛艇航速的變化而變化。在高速航行時(shí)，寬帶噪聲在輻射噪聲信號(hào)中占主要成分，而低速時(shí)，特別是在潛艇隱蔽航行狀態(tài)下，機(jī)械噪聲是主要噪聲源，線譜占主要成分。線譜是潛艇噪聲譜級(jí)中最顯著的特征，即使在潛艇低速航行時(shí)，產(chǎn)生最低的噪聲輻射情況下也可探測(cè)到。因此線譜成了現(xiàn)代被動(dòng)聲吶在水聲對(duì)抗中檢測(cè)、跟蹤和識(shí)別目標(biāo)的主要特征信號(hào)，是潛艇聲隱身性能的主要危害［2］。

控制潛艇動(dòng)力機(jī)械振動(dòng)最常用的方法是隔振，即在被隔振設(shè)備與基礎(chǔ)之間插入彈性隔振元件，以減小兩者之間的動(dòng)態(tài)耦合和不良振動(dòng)的傳遞。一般的文獻(xiàn)都假定隔振器的力學(xué)特性是線性的。但線性隔振系統(tǒng)對(duì)線譜的隔離能力有限，線性隔振器隔離低頻振動(dòng)的效果，線性系統(tǒng)具有頻率保持性，所以線性隔振系統(tǒng)不能改變傳遞至艇體的振動(dòng)的頻譜結(jié)構(gòu)，即不能改變潛艇輻射噪聲的頻譜結(jié)構(gòu)［3］。

針對(duì)線譜是潛艇聲隱身性能的主要危害且難以消除這一情況，人們開始考慮非線性隔振系統(tǒng)，期望利用非線性隔振系統(tǒng)出現(xiàn)混沌時(shí)其響應(yīng)的功率譜呈連續(xù)譜這一特征，將混沌理論應(yīng)用到機(jī)械設(shè)備隔振裝置，以減弱或消除特征線譜，提高潛艇的聲隱身性［4］。

非線性系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜與線性系統(tǒng)的功率譜有很大不同，對(duì)于離散系統(tǒng)已有結(jié)論，F(xiàn)eigenbaum［5～6］認(rèn)為周期運(yùn)動(dòng)的頻譜是離散的線譜，發(fā)生倍周期分岔時(shí)，功率譜中將出現(xiàn)分頻及其倍頻，每經(jīng)歷倍周期分岔1次，每2條相鄰譜線之間都要出現(xiàn)1條新的譜線。經(jīng)過無限次分岔到達(dá)混沌狀態(tài)時(shí)，離散的線譜演變?yōu)檫B續(xù)譜。M.Nauenberg和J.Rudnick［7］就一維映射證明連續(xù)兩次新出現(xiàn)的線譜的平均強(qiáng)度之比為20.96，即新出現(xiàn)的線譜平均強(qiáng)度比上一次下降13.21dB。對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)的功率譜特性分析較少，對(duì)于功率譜的特性形成原因很少分析和討論。非線性隔振系統(tǒng)是時(shí)間連續(xù)系統(tǒng)，離散非線性系統(tǒng)的功率譜的變化規(guī)律在非線性連續(xù)系統(tǒng)中是否仍然成立？線譜平均強(qiáng)度會(huì)如何變化？

若線譜平均強(qiáng)度隨分岔次數(shù)的增加而降低，則進(jìn)一步驗(yàn)證了非線性隔振系統(tǒng)應(yīng)用是可能的，從而促進(jìn)非線性隔振器的研究與應(yīng)用，對(duì)于提高潛艇和魚雷等水下航行器的聲隱身性能具有一定的理論研究意義和軍事應(yīng)用價(jià)值。Duffing振子模型是非線性連續(xù)系統(tǒng)模型的典型代表，能很好地描述非線性隔振裝置的動(dòng)力學(xué)模型，帶激勵(lì)的Duffing振子因受激勵(lì)的影響，會(huì)有超諧波和次諧波成分，在分岔過程中，也會(huì)有次諧波和超諧波分岔等現(xiàn)象，其動(dòng)力學(xué)行為復(fù)雜而豐富。因此本題選取單自由度的非線性彈簧振子作為研究對(duì)象，建立數(shù)學(xué)模型，研究其豐富的動(dòng)力學(xué)行為以及譜的變化規(guī)律。

2 非線性隔振系統(tǒng)模型

非線性隔振系統(tǒng)如圖1所示，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

圖1 非線性隔振系統(tǒng)

式中：K1X＋K3X3為非線性彈性回復(fù)力。

令

引入如下無量綱參數(shù)

則有

將式（2）～式（6）代入式（1），得

式（7）稱為硬彈簧Duffing方程，式中：

3 研究方法的選擇

為了研究非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，通常的方法有實(shí)驗(yàn)的方法和理論的方法。理論方法又分為定性方法和定量方法，定性方法主要研究系統(tǒng)的定性性質(zhì)，如系統(tǒng)的分岔、周期解的穩(wěn)定性和倍周期分岔等［8］；定量方法又分為解析方法和數(shù)值方法，大多數(shù)非線性系統(tǒng)很難求取精確解析解，所以常用的解析方法是近似解析方法，近似解析方法僅用于討論系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)而無法表征混沌運(yùn)動(dòng)，對(duì)于混沌運(yùn)動(dòng)主要依靠數(shù)值方法［9～11］。帶激勵(lì)項(xiàng)的Duffing方程很難求取精確解析解，故本文將采用數(shù)值方法研究其功率譜特性。算法選用變步長(zhǎng)的四階龍格庫(kù)塔法，用Mathematica計(jì)算軟件模擬仿真。

4 譜特性研究

4.1 對(duì)稱破缺分岔前譜特性

式（7）是對(duì)稱系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)的解為對(duì)稱解時(shí)偶次諧波分量全為零，奇次諧波分量不全為零。主諧波響應(yīng)是指與激勵(lì)同頻率的Fourier分量很大、而其它分量可忽略時(shí)的響應(yīng)；n階超諧波響應(yīng)是指n倍激勵(lì)頻率的Fourier分量很大、而其它分量可忽略時(shí)的響應(yīng)，主諧波響應(yīng)和超諧波響應(yīng)具有與外部激勵(lì)相同的周期，故稱為周期1解；如果響應(yīng)周期是激勵(lì)周期的m倍，則1／m和n／m倍激勵(lì)頻率的Fourier分量很大、而其它分量可忽略時(shí)的響應(yīng)分別稱為1／m次諧波和n／m超次諧波響應(yīng)，這里m和n都是整數(shù)，稱之為周期m解。圖2為ξ＝0.1，ω＝2，f＝100時(shí)的功率譜圖。初始位移、速度都為零。主諧波頻率與激勵(lì)頻率相同，為1／π。除主諧波外，3，5，7階超諧波同時(shí)存在，分別在頻率為3／π，5／π，7／π處，峰值十分明顯，并且由規(guī)律的排列，此時(shí)只有奇數(shù)階超諧波，為周期1解，其相圖是對(duì)稱的，如圖3所示。對(duì)稱的周期1解都有相似的規(guī)律，各階諧波在區(qū)間0.01≤ω≤1.2，的變化規(guī)律如圖4所示，在0.01≤ω≤0.15和0.45≤ω≤1.1兩個(gè)區(qū)間內(nèi)3，5，7階諧波增加和減小很平滑，功率譜都類似于圖1，主諧波在區(qū)間上成增加趨勢(shì)。

圖3 參數(shù)ξ＝0.1，ω＝2，f＝100時(shí)的相圖

4.2 對(duì)稱破缺分岔后譜特性

圖4 參數(shù)ξ＝0.1，ω＝2，f＝100時(shí)的幅頻曲線

圖5 參數(shù)ξ＝0.1，ω＝2，f＝92.55時(shí)的功率譜

圖4表明在區(qū)間0.15≤ω≤0.45和1.1≤ω≤1.2出現(xiàn)不對(duì)稱的解，與圖2的功率譜特性有很大不同。如圖5所示，偶數(shù)諧波出現(xiàn)，與圖2相比較，偶數(shù)階諧波出現(xiàn)在奇數(shù)階諧波之間，相圖失去對(duì)稱性。圖6是參數(shù)ξ＝0.1，ω＝2，f＝92.55時(shí)的相圖，其中虛線表示軌線經(jīng)過180°旋轉(zhuǎn)后的位置。圖5、圖6表明偶數(shù)階超諧波的出現(xiàn)是不對(duì)稱軌道的標(biāo)志。

圖6 參數(shù)ξ＝0.1，ω＝2，f＝92.55時(shí)的相圖

4.3 次諧波分岔后譜特性

倍周期分岔的產(chǎn)物，如周期2解、周期4解等，都包含有偶數(shù)次次諧波，因而都是不對(duì)稱的。由此不難推斷，倍周期分岔都發(fā)生在軌線失去對(duì)稱性的參數(shù)空間里，數(shù)值計(jì)算表明該推斷是合理的，也就是說，對(duì)稱性破缺分岔是倍周期分岔的前兆。

而周期3解存在對(duì)稱解，如圖7、圖8所示軌線經(jīng)過180°旋轉(zhuǎn)后能重合，奇數(shù)階次諧波不為零，偶數(shù)階超諧波全為零。1／3次諧波峰值明顯是周期3解的特點(diǎn)，1／3次諧波也發(fā)生了超諧波分岔，如圖6所示5／3，7／3等諧波分量也不能忽略，偶數(shù)倍超諧波分量同樣全為零，相軌線保持對(duì)稱，如圖8所示。

圖7 參數(shù)ξ＝0.1，ω＝2，f＝78.77時(shí)的功率譜

圖8 參數(shù)ξ＝0.1，ω＝2，f＝78.77時(shí)的相圖

圖9 參數(shù)ξ＝0.1，ω＝2，f＝57.79時(shí)的功率譜

圖9表明1／3次諧波發(fā)生了倍周期分岔，由周期3的解變?yōu)橹芷?的解，同時(shí)有超諧波分岔，奇數(shù)階和偶數(shù)階超諧波分量不全為零，這表明次諧波分量也會(huì)和主諧波一樣發(fā)生超諧波分岔和次諧波分岔，不斷分岔將產(chǎn)生密集的譜線，最終成混沌的譜線，如圖10所示，1，3，5，7階超諧波分量十分明顯，這說明混沌振動(dòng)狀態(tài)下蘊(yùn)含著不穩(wěn)定的周期軌道，譜線也是存在的。

圖10 參數(shù)ξ＝0.1，ω＝2，f＝92.54時(shí)的功率譜

5 結(jié)語

本文建立了一種艦船隔振裝置的物理和數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行了仿真計(jì)算，運(yùn)用數(shù)值方法得到不同參數(shù)下的解，分析了這些解的功率譜特性，針對(duì)此模型得到以下結(jié)論：

1）對(duì)稱破缺分岔前，功率譜為周期1 解，功率譜中只存在奇數(shù)階超諧波，奇數(shù)階諧波幅值成規(guī)則排列；

2）對(duì)稱破缺分岔后，出現(xiàn)偶數(shù)階超諧波分量，系統(tǒng)失去對(duì)稱性，奇偶數(shù)階超諧波都成不規(guī)則排列；

3）次諧波分岔后，次諧波也會(huì)出現(xiàn)超諧波分岔和次諧波分岔。

4）次諧波分岔不斷產(chǎn)生新譜線，最終出現(xiàn)混沌，但奇數(shù)階超諧波分量仍然是明顯獨(dú)立的譜線。

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