論圓錐曲線中幾組有趣的姊妹圓

廖星星

摘 要：圓錐曲線中一些動(dòng)態(tài)定值問題的研究成果，不斷出現(xiàn)在各種報(bào)紙雜志上，并且一些性質(zhì)的應(yīng)用或探究還經(jīng)常出現(xiàn)在各種訓(xùn)練題、考試題中。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；雙曲線；圓

教學(xué)之余，筆者研究發(fā)現(xiàn)了與圓錐曲線為載體的幾組有趣姊妹圓的定值問題。

現(xiàn)簡(jiǎn)要介紹如下：

性質(zhì)1：以圓錐曲線的焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓M與圓錐曲線

準(zhǔn)線L的位置關(guān)系。

當(dāng)圓錐曲線是橢圓時(shí)，直線L與圓M相離；

當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線L與圓M相交；

當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線L與圓M相切。

證明：設(shè)弦的端點(diǎn)A、B在準(zhǔn)線L上的射影分別為A1、B1，AB的中點(diǎn)M在準(zhǔn)線L上的射影為N，則圓M的半徑r=■AB，于是，MN=■AA1+BB1=■■+■=■·r

當(dāng)曲線是橢圓時(shí)，0r，即圓M與準(zhǔn)線相離；

當(dāng)曲線是雙曲線時(shí)，e>1，∴MN

當(dāng)曲線是拋物線時(shí)，e=1，∴MN=r，即圓M與準(zhǔn)線相切。

性質(zhì)2：已知圓錐曲線焦點(diǎn)弦AB的端點(diǎn)A、B在準(zhǔn)線L上的

射影分別為A1B1，則以線段A1B1為直徑的圓M與直線AB的位置

關(guān)系。

當(dāng)圓錐曲線是橢圓時(shí)，圓M與直線AB相離；

當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，圓M與直線AB相交；

當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，圓M與直線AB相切。

證明：作MN⊥AB于N，則S■=S■+S■+S■，由面積公式得■AA1+BB1·2r=■AA1·r+■BB1·r+■AB·MN，化簡(jiǎn)得MN=■·r

當(dāng)曲線是橢圓時(shí)，0r，圓M與準(zhǔn)線相離；當(dāng)曲線是雙曲線時(shí)，e>1，MN

e=1，MN=r，圓M與準(zhǔn)線相切。

性質(zhì)3：1.設(shè)橢圓■+■=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，圓M是△PF1F2的旁切圓（即圓M與F1F2、F1P的延長(zhǎng)線和線段F2P都相切或圓M與F2F1、F2P和線段都相切），則圓心M的軌跡方程是x=a（y≠0）或x=-a（y≠0）。

證明：設(shè)圓M與F1F2、F1P的延長(zhǎng)線及線段F2P的切點(diǎn)分別為A、B、C，M（x，y），則F1C=F1A=x+c，F(xiàn)2A=x-c

又F1C=F1P+PC=PF1+PB=PF1+PF2=2a-F2A

∴x+c=2a-（x-c），即x=a（y≠0）

同理可證另一種情形。

2.設(shè)雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若P是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則△PF1F2的內(nèi)切圓M軌跡方程是x=a（y≠0）；若P是雙曲線左支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則△PF1F2的內(nèi)切圓心M軌跡方程是x=-a（y≠0）；

證明：設(shè)圓M與F1F2、F1P、F2P相切于點(diǎn)A、B、C，則當(dāng)P是雙曲線右支上時(shí)，PF1-PF2=2a？圯F1C-F2B=2a？圯F1A-F2A=2a。

又F1A+F2A=2c，∴F1A=c+a，F(xiàn)2A=c-a，∴點(diǎn)A為雙曲線的右頂點(diǎn)，即△PF1F2的內(nèi)切圓心M軌跡方程是x=a（y≠0）

當(dāng)P是雙曲線左支上時(shí)，同理可證△PF1F2的內(nèi)切圓心M軌跡方程是x=-a（y≠0）；

性質(zhì)4：1.設(shè)橢圓■+■=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，M是△PF1F2的內(nèi)切圓圓心，直線

PM交直線F1F2于Q，則■=e，（e為橢圓離心率）

證明：因?yàn)镸為△PF1F2內(nèi)心，所以F1M，F(xiàn)2M分別是∠PF1F2，∠PF2F1的角平分線，由角平分線性質(zhì)得■=■=■，于是■=■=■=e

2.設(shè)雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，M為△PF1F2的旁切圓圓心，直線PM交直線F1F2于Q，則■=e（e為雙曲線離心率）

證明：因?yàn)镸為△PF1F2的旁切圓圓心，所以F1M，F(xiàn)2M分別是

∠PF1Q，∠PF2Q的角平分線，由角平分線性質(zhì)得■=■=■，于是■=■=■=e

略舉以下兩例應(yīng)用：

例1.過雙曲線■-■=1的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線L交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，P為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，使∠APB=■的點(diǎn)P

（ ）

A.不存在 B.有1個(gè) C.有2個(gè) D.有無數(shù)個(gè)

解析：原問題就是判定以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線的交點(diǎn)個(gè)

數(shù)。根據(jù)性質(zhì)1，以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相交，故滿足條件的P點(diǎn)有2個(gè)。

例2.△ABC的頂點(diǎn)為A（-5，0），B（5，0），△ABC的內(nèi)切圓心在直線x=3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（ ）

A.■-■=1 B.■-■=1

C.■-■=1（x>3） D.■-■=1（x>4）

解析：由性質(zhì)3.2知，頂點(diǎn)C在雙曲線的右支上，否定答案A、B，又因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)切圓心應(yīng)在直線x=a上，所以，a=3，故正確答案為C。

（作者單位 湖北省宜昌市遠(yuǎn)安縣第一高級(jí)中學(xué)）