淺析中考數學中的最值問題

劉英梅

最值問題是中考考查的一個重點，也是學生學習的難點。通過研究近年的中考試題，我總結了一些解決最值問題的方法。

一、利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”求最值

例：如圖1所示，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，求：EM+CM

的最小值。

解析：如圖，M點是線段AD上的任意一點，由等邊三角形的軸對稱性知，M點到點E、C的距離之和ME+MC=ME+MB。而M′到點E、C的距離之和是M′E+M′C=M′E+M′B=BE.根據三角形任意兩邊的和都大于第三邊，BE

小值。

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二、利用“弦心距最短”求最值

例：如圖2，是一條水平鋪設的直徑為2米的通水管道橫截

面，其水面寬為1.6米，則這條管道中此時水最深為多少米。

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解析：圓心與弦上的點的所有連線中，弦心距最短。所以，半徑AC減去最短的弦心距AO就是水的最大深度。

三、利用一次函數的增減性求最值

例：在一次函數y=2x+3中，當0≤x≤5時，求y的最小值.

解析：根據一次函數y=kx+b的性質，當k值大于零時，y的值隨x值的增大而增大，這里k=2>0，所以，y的值隨x值的增大而增大，當x取得最小值0的時候，y取得最小值3。

四、利用二次函數頂點的縱坐標求最值

例：已知實數x，y滿足x2+3x+y-3=0，求x+y的最大值。

解析：根據已知條件，y=-x2-3x+3，所以，x+y=x-x2-3x+3=-x2-2x+3。根據二次函數的性質，在二次函數y=ax2+bx+c中，二次項系數a小于零的時候，二次函數有最大值，最大值就是二次函數頂點的縱坐標.在這里，a=-1<0，所以x+y的最大值為4。

五、利用二次函數的判別式法求最值

例：已知關于x的一元二次方程x2=2（1-m）x-m2的兩實數根為x1，x2.設y=x1+x2，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值。

解析：根據題意，有兩個實數根，所以Δ≥0，解得m≤■，又∵y=x1+x2=2（1-m），整理得m=-■+1，所以-■+1≤■，解得y≥1，所以y的最小值是1，此時，m的值是■。

總之，求最值的方法很多，如果同學們積極研究，一定會有更多更新的發現。

（作者單位 山東省海陽市小紀鎮第一初級中學）