活用課本習題 促進思維發展

劉蘭

在平時的教學中，以現行課本習題為原型引導學生從題設、

結論及圖形結構等方面進行多方位、多角度的探究、演變、拓展，挖掘其蘊藏的深層內涵，既可以激發學生學習的熱情與興趣，又可以促進學生思維能力的發展，以下是本人在教學中遇到的一個問題，處理不當之處，還請各位同仁批評指正.

北師大版八年級下冊教材第218頁A組第7題：

已知：如圖，直線AB∥ED，求證：∠ABC+∠CDE=∠BCD

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一、捕捉信息，觸發聯想，一題多解，培養學生思維的發散性

利用平行線的“三線八角”性質，結合圖形結構，作輔助線，有以下幾種思路：

思路一：如圖1，過點C作MN∥AB，利用平行傳遞性MN∥ED，再由兩直線平行，內錯角相等，

得∠ABC=∠BCN，∠CDE=∠NCD，

則∠BCD=∠BCN+∠NCD=∠ABC+∠CDE，

即∠ABC+∠CDE=∠BCD.

思路二：如圖2，延長DC交AB于點F，利根據兩直線平行，內錯角相等，∠CDE=∠BFC，

再由三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角和，得∠BCD=∠BFC+∠ABC=∠CDE+∠ABC，即∠ABC+∠CDE=∠BCD.

思路三：如圖3，連接BD，根據兩直線平行，同旁內角互補，∠ABD+∠BDE=180°，即∠ABC+∠CBD+∠CDB+∠CDE=180°，再結合三角形的三個內角和為180°，得∠BCD+∠CBD+∠CDB=180°，不難得出∠ABC+∠CDE=∠BCD.

二、變換題設及圖形結構，探究問題的結論，培養學生思維的廣闊性

1.改變點C的位置，其余不變，探究問題的結論：

變式一：如圖4所示，∠ABC、∠CDE、∠BCD之間有怎樣的關系？

分析：運用與上面類似的方法，容易得到：

∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°.

變式二：如圖5所示，三個角有怎樣的等量

關系？

分析：因為AB∥ED，所以∠ABC=∠BFD，根據三角形的外角等于與它不相鄰的內角和，得∠BFD=∠CDE+∠BCD，即∠ABC=∠CDE+∠BCD.

變式三：如圖6所示，此時三個角又有怎樣的關系？

分析：因為AB∥ED，所以∠CDE=∠AFC，

由三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角和，知∠AFC=

∠ABC+∠BCD，所以∠CDE=∠ABC+∠BCD.

2.點C的位置不變，將原題中的平行線改相交線，即AB與ED相交于一點A，探究結論：

變式一：如圖7所示，若已知∠A、∠B、∠D求∠C.

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分析：此題解法類似于原題，也有三種基本思路，此處僅列舉一種，連接AD并延長，由三角形外角性質得：∠BCF=∠B+∠BAC，∠FCD=∠D+∠DAC，又知，∠BAC+∠DAC=∠BAD，所以∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠B+∠D+（∠BAC+∠DAC）=∠B+∠D+∠BAD，即∠C=∠A+∠B+∠D.

變式二：如圖8，若AB、CD相交于點F，已知∠A、∠B、∠D求∠C.

分析：利用三角形外角性質得：∠BFC=∠B+

∠C=∠A+∠D，所以∠C=∠A+∠D-∠B.

變式三：如圖9，若點A在BD的另一側，已知∠A、∠B、∠D，求∠C.

分析：連接AC，利用三角形三個內角和為180°，可以很快得到∠C=360°-（∠A+∠B+∠D）.

三、利用簡單的基本圖形，解復雜幾何問題，滲透化歸思想，培養學生思維的靈活性

1.如圖10所示，AB∥GF，你能得到什么結論？

分析：過點D作HD∥AB，直接利用書中題目的結論，∠C=∠B+∠CDH，∠E=∠HDE+∠F，所以，∠C+∠E=∠B+（∠CDH+∠HDE）+∠F=∠B+∠D+∠F，即∠C+∠E=∠B+∠D+∠F.

2.如圖11所示，又能得到什么結論？

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分析：連接AD，把圖7作為基本圖形，得∠C=∠BAD+∠B+∠CDA，∠E=∠ADE+∠DAF+∠F，所以∠C+∠E=∠BAD+∠B+∠CDA+∠ADE+∠DAF+∠F=（∠BAD+∠DAF）+（∠CDA+∠ADE）+∠B+∠F=∠A+∠D+∠B+∠F，即∠C+∠E=∠A+∠B+∠D+∠F.

綜上所述，我們不難發現許多試卷上考查的題目只是課本中的典型例題、習題、想一想中的命題的拓展、滲透、綜合與提高。因此，在平時的學習過程中，我們應加強典型題目的探索與研究，引導學生進行開放式的研究，提高學生知識遷移、運用能力，不斷促進學生思維的發展，只有這樣才能以不變應萬變。

（作者單位 江蘇省常州市第八中學）