一道最值問題引起的思考

楊鳳蓮

在高三數學復習中經常會遇到這樣一類題型，求一點到另外兩點距離之差的最大值，和求一點到另外兩點距離之和的最小值。筆者認為，要做好這道題需對這道題的意思進行深刻地體會之后再解答便易如反掌了。

例：在直線l：3x-y-1=0上求一點P，使得：

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距離之差最大。

（2）P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小。

通過數軸上求距離的知識可知，P點在A、B點同側，且P、A、B三點一定要在同一條直線上時，點P到兩點的距離之差有最大值。

同樣的道理，當點P位于A、B兩點之間，且P、A、B三點也要在同一條直線上時，點P到A、B兩點距離之和有最小值。

搞清楚了這兩個問題，在看題目中的條件（1）求點P，使得P到A（4，1）和B（0，4）的距離之差最大。通過畫圖不難發現A、B兩點位于直線L的兩側，但是點P必須要位于兩點的同側才有距離之差的最大值，而我們知道直線的位置是固定不變的，所以，這時候要考慮做兩點中任意一點關于直線L的對稱點，比如作A點關于直線L的對稱點A1，連接BA1并延長與直線L相交于一點，這個點就是我們所求的P點，因為它既滿足了與A、B兩點在同一側，又滿足了與A、B在同一條直線上兩個條件，所以，求出P點的坐標即可。

再看題目中的條件（2），求點P，使得點P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和的最小值，同樣由上述分析可知，所求P點要位于A、B兩點之間，且P、A、B三點須在同一條直線上，但通過畫圖可知直線L上的所有點都不在A、B之間，怎么辦呢？還是老辦法，做兩點中任一點關于直線L的對稱點，通過計算可求出該點的坐標。下面我們完整地解出該題。

解答：（1）如圖1，在平邊直角坐標系中求出B點關于直線L

的對稱點B1（3，3）還可求出直線AB1的方程為：2x+y-9=0，與直線3x-y-1=0聯立可求得交點P的坐標為（2，5），所以P（2，5）就是所求的點。

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（2）如圖2在平面直角坐標系中求出A點關于直線L的對稱點A1（-2，3），還可求出直線的方程為：x-5y+17=0，與直線L聯立，可求得交點坐標P（11/7，26/7）。

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（作者單位 青海省大通縣第七中學）