基于高次最小二乘原理的連續剛構橋撓曲線擬合分析

劉大洋，黃福偉，2，禹 鵬

（1.重慶交通大學土木建筑學院，重慶 400074；2.重慶交通科研設計院，重慶 400067）

0 引言

近年來，我國橋梁建設事業迅猛發展，在新建高速公路、高速鐵路中橋梁和隧道所占比例逐漸增加。杭州灣跨海大橋，膠州灣跨海大橋也進入正式運營階段。掌握這些大橋在運營階段所處的健康狀態，對整個橋梁結構的安全具有重要意義。20世紀90年代以來，一些大橋逐步建立了相關的橋梁健康監測系統，如香港青馬大橋、江蘇潤揚大橋、重慶大佛寺長江橋等。

目前在橋梁智能健康監測中，測量橋梁幾何線型所需設備主要有全球定位裝置，可以轉化電信號進入自動化數據采集系統的直流差位移傳感器，然而要獲得整個橋梁的幾何線型，在全橋都安裝位移傳感器和相關數據采集系統顯然是不合理、不科學的。首先是監測的成本增加，其次使得采集系統龐大而復雜。為了有效利用有限的傳感器，解決方法主要有以下兩個方面：

a）對于優化傳感器在橋梁結構的布置，目前有不少人員在這一方面進行了大量的研究，研究方法主要有遺傳算法、有效獨立法、神經網絡法等，取得大量成果，并應用于工程實踐[1]；b）用有限的測點信息有效擬合全橋的監測數據也非常重要，但是目前這一方面的研究較少[2]。本文以連續剛構橋為研究橋型，以高次最小二乘原理為分析方法。對某連續剛構橋的邊跨和1/2中跨的撓曲線方程進行擬合分析。

1 分析原理

1.1 撓曲線方程分析

在公路橋梁中，汽車活載所占的總荷載的比例較小，影響梁長期變形的荷載主要有橋梁結構本身的自重，橋面鋪裝、欄桿等二期恒載，在本文中將以上荷載等效為均布荷載q，根據撓曲線方程有[3]：

式中：EI——全橋截面剛度；

ω″（x）——撓曲線方程二階導數；

M（x）——彎矩方程。

（1）式經兩次積分得：

式中：c1、c2——積分常數

式中，M（x）在均布荷載作用下是關于x的二次表達式。綜上分析，在均布荷載作用下撓曲線方程是關于x的四次表達式。設撓曲線方程為：

1.2 擬合方法分析

最初撓曲線方程擬合采用牛頓插商法，牛頓插商法雖然不需要各測點的一階導數和二階導數，但是通過試算表明，在外插某一點和整個撓曲線時，出現明顯誤差甚至不收斂現象。如采用樣條插值法，需要知道各測點的一階導數和二階導數，但在實際工程中這點很難實現。比較分析，最終選用高次最小二乘原理擬合連續剛構橋撓曲線方程。

由前面1.1節撓曲線方程分析中得知撓曲線是關于x的四次多項式，所以采用四次最小二乘原理擬合多項式擬合撓曲線方程。求最小二乘解得一般步驟如下[4]：

a）先根據φ（x）的特點，建立確定ak（k=1，2，3，…，n）的正規方程組；

b）然后通過解正規方程組求取最小二乘解φ*（x）對應的ak*（k=1，2，3，…，n）；

具體計算方法如下，設擬合撓曲線方程：

即有φ0（x）=1；φ1（x）=x；φ2（x）=x2；φ3（x）=x3；φ4（x）=x4，相應的正規方程組為：

代入測點數據，求解對應的系數，對于實際工程中較多的數據，可用Excel編寫簡單程序求解。

2 算例分析

2.1 算例簡介

某高速公路三跨預應力混凝土連續剛構橋，跨度為110m+200m+110m，采用C50混凝土，左右幅梁體均為單箱單室箱型截面梁，頂板寬13.4m，底板寬7m；根部梁高11.5m，跨中及邊跨端直線梁高3.5m；其余梁高按1.5次拋物線變化，頂板最小厚度0.32m；腹板厚度0.6m，0.7m，0.95m不等；底板厚度根部1.2m，跨中及邊跨直線段為0.32m。

2.2 算例分析方法

首先通過有限元軟件Midas建立全橋模型，定義時間依存性材料與邊界條件，輸入預應力鋼束及預應力荷載，以及自重、二期恒載等。以3年后全橋各節點撓度為基準，用模型計算結果模擬實測值。驗算高次最小二乘原理擬合撓曲線的準確性，計算相對誤差并分析誤差產生原因。

2.3 測點布置

由于全橋為對稱結構，算例中只對邊跨與1/2中跨的撓曲線進行擬合，邊跨分為1/4段與2/4～4/4段兩次擬合，1/2中跨一次擬合。模擬實測值為模型中節段的兩端節點，測點不可能都剛好位于節段端點，所以實際測點取為距理想測點最近的節點。

經建模計算與實際工程分析，預應力剛構橋在邊跨1/4段內底板布置有較多預應力鋼束，而在邊跨1/4段內的彎矩比較小，加之混凝土的收縮徐變，使得在邊跨1/4段梁體出現明顯上拱，變形較為復雜。為了滿足撓曲線擬合的準確性，將邊跨1/4段的撓曲線進行單獨擬合，邊跨1/4段布置5個均勻分布的測點。

邊跨2/4～4/4段測點布置，由于在靠近邊跨1/4段和邊墩附近的變形較為復雜，所以在邊跨2/4～4/4段內測點未采用均勻布置，而是從邊跨到邊墩按2∶3∶3∶2的距離比布置5個測點，使得在靠近邊跨1/4段和邊墩附近的測點較密。

中跨測點布置為0/8中跨、1/8中跨、2/8中跨、3/8中跨、4/8中跨。

2.4 數據擬合處理

2.4.1 邊跨及1/2中跨的撓度實測值如表1所示。

表1 橋梁的實測撓度值

2.4.2 按照1.2節方法求解邊跨1/4段撓曲線方程，設邊跨撓曲線方程：

代入建立正規方程組（5）式，求解結果：a1=1.20×10-10；b1=1.17；c1=-2.88×10-2；d1=-2.01×10-3；e1=5.58×10-5

最終邊跨撓曲線方程擬合結果：

2.4.3 按照1.2節方法求解邊跨2/4～4/4段撓曲線方程，設邊跨2/4～4/4段撓曲線方程：

同理代入正規方程組，求解結果：a2=1.17×101；b2=-1.83×10-1；c2=-1.57×10-2；d2=3.19×10-4；e2=-1.61×10-6

最終邊跨2/4～4/4段撓曲線方程擬合結果：

2.4.4 按照1.2節方法求解1/2中跨撓曲線方程，設1/2中跨撓曲線方程：

同理代入正規方程組，求解結果：a3=-1.34×103；b3=3.43×101；c3=-3.08×10-1；d3=1.11×10-3；e3=-1.40×10-6

最終1/2中跨撓曲線方程擬合結果：

2.5 數據分析

由2.4節邊跨撓曲線方程，計算輸出邊跨1/4段各節點的四次最小二乘原理撓曲線擬合值，并與實測值進行誤差分析，邊跨1/4段的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如表2所示。

表2 邊跨1/4段實測撓度值與擬合撓度值分析

由上表可見邊跨1/4段內擬合撓度值與實測撓度值的最大相對誤差為3.66%，撓曲線擬合結果的相對誤差均小于5%，表明高次最小二乘原理擬合連續剛構橋邊跨1/4段撓曲線結果具有足夠精度。

邊跨1/4段的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如圖1所示。

圖1 邊跨1/4段的實測撓度值與擬合撓度值分析

由2.4節邊跨2/4～4/4段撓曲線方程，計算輸出邊跨2/4～4/4各節點的四次最小二乘原理撓曲線擬合值，并與實測值進行誤差分析，邊跨2/4～4/4段的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如表3所示。

表3 邊跨2/4～4/4段實測撓度值與擬合撓度值分析

由表3可見邊跨2/4～4/4段內擬合撓度值與實測撓度值的最大相對誤差為4.79%，撓曲線擬合結果的相對誤差均小于5%，表明高次最小二乘原理擬合連續剛構橋邊跨2/4～4/4段撓曲線結果具有足夠精度，可滿足實際工程需要。

邊跨2/4～4/4段的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如圖2所示。

圖2 邊跨2/4～4/4段的實測撓度值與擬合撓度值分析

由2.4節1/2中跨撓曲線方程，計算輸出1/2中跨各節點的四次最小二乘原理擬合撓度值，與實測撓度值進行誤差分析，1/2中跨的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如表4所示。

表4 1/2中跨段實測撓度值與擬合撓度值分析

由表4可見1/2中跨內擬合撓度值與實測撓度值的最大相對誤差為4.32%，撓曲線擬合結果的相對誤差均小于5%，表明高次最小二乘原理擬合連續剛構橋1/2中跨撓曲線結果具有足夠精度，可滿足實際工程需要。

1/2中跨的實測撓度值與四次最小二乘原理擬合撓度值分析如圖3所示。

圖3 1/2中跨的實測撓度值與擬合撓度值分析

在邊跨1/4段內、邊跨2/4～4/4段內，以及在1/2中跨撓曲線擬合結果與實測結果的最大相對誤差均4.79%，均小于5%。

3 結論

考慮橋梁健康監測的經濟成本和便利性，用有限的測點撓度值擬合全橋的撓曲線方程有重要意義，通過以上算例，可以得出以下結論：

a）相對于其它擬合方法，高次最小二乘原理擬合撓曲線方程具有方法簡單、思路清晰的優點，有利于工程實踐，其不僅適用于連續剛構橋撓曲線的撓曲線擬合，可推廣到其它梁式橋的撓曲線擬合；

b）算例分析結果在邊跨1/4段內擬合值與實測值的最大相對誤差為3.66%，在邊跨2/4～4/4段內擬合值與實測值的最大相對誤差為4.79%，在1/2中跨內擬合值與實測值的最大相對誤差為4.36%，各段內的撓曲線擬合的相對誤差均小于5%，表明高次最小二乘原理擬合連續剛構橋撓曲線結果具有足夠精度，滿足實際工程需要。

[1]黃民水，朱宏平，李煒明.基于改進遺傳算法的橋梁結構傳感器優化布置[J].振動與沖擊，2008，27（3）：82-86.

[2]楊學山，侯興民，等.橋梁撓度測量的一種新方法[J].土木工程學報，2002，35（2）：92-96.

[3]江曉禹，龔暉.材料力學[M].成都：西南交通大學出版社，2009.

[4]顏慶津.數值分析[M].北京：北京航空航天大學出版社，2010.