求一類函數(shù)最值的幾何方法

余盛利，周建新，程 艦

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

求函數(shù)的最值，無論是理論上，還是實(shí)際應(yīng)用中，都是十分重要的問題. 雖然，求函數(shù)的最值的方法很多，但能夠從眾多的解題方法中選出快捷、有效的方法，不是很容易. 而對(duì)于一般用導(dǎo)數(shù)求最值的方法，必先求出駐點(diǎn)，這涉及到解方程(組)，有時(shí)顯得較為繁難. 本文針對(duì)一類含有二次根式的某些函數(shù)求最值的問題，與幾何中距離建立聯(lián)系，把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題. 通過幾何圖形的直觀性、形象性以及便于觀察使之解決，其方法簡(jiǎn)捷、精巧.

1 一元函數(shù)的最值

證明 設(shè)P(x,0),A(a1,b1),B(a2,-b2)，則f(x)=|PA|+|PB| (如圖1).f(x) 表示x軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩點(diǎn)A(a1,b1)與B(a2,-b2)的距離之和，求f(x)的最小值，其幾何意義：在x軸求一點(diǎn)P，使|PA|+|PB| 最小.

由于A、B分別在x軸兩側(cè)，連接AB交x軸于點(diǎn)P，則P即為所求.

3)當(dāng)b1=b2時(shí)，f(x)無最值。

證明 設(shè)P(x,0),A(a1,b1),B(a2,b2) 如圖2，f(x) 的幾何意義：x軸上的點(diǎn)P(x,0) 到兩點(diǎn)A(a1,b1),B(a2,b2) 的距離之差. 顯然有||PA|-|PB||≤|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)AB不平行x軸時(shí)，等號(hào)才成立. 由此可得所證結(jié)論.

圖1 定理1圖 圖2 定理2圖

2 二元函數(shù)的最值

證明 設(shè)M(x,y,0),A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2) ,則由f(x,y) 的幾何意義知：求f(x,y) 的最小值? 求一點(diǎn)M(x,y,0) 到兩點(diǎn)A(a1,b1,c1) ,B(a2,b2-c2)的距離之和的最小值.而 (|MA|+|MB|)min=

|AB|，即證.

解 根據(jù)定理4，立即得到fmin=13.

首先給出費(fèi)爾馬點(diǎn)及其性質(zhì).

定義1 在已知 △ABC所在平面上是求一點(diǎn)F，使它到三角形三頂點(diǎn)A、B、C的距離之和為最小，則點(diǎn)F稱為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn).

性質(zhì)1 三角形三內(nèi)角均小于120° ，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)，且∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°.

性質(zhì)2 三角形有一角(不妨設(shè)為A)，A≥120°.此時(shí) △ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)為A.記M(x,y),A(a1,b1) ,B(a2,b2),C(a3,b3) ,△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)為F(x0,y0).

1) 當(dāng)三點(diǎn)A、B、C共線時(shí)，fmin=max{|AB|,|AC|,|BC|} ;

2) 當(dāng)三點(diǎn)A、B、C不共線時(shí)，fmin=|FA|+|FB|+|FC|=f(x0,y0) .

證明 1)顯然；

2)由三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的性質(zhì)立即得到.

解 顯然，以O(shè)(0,0),A(6,0),B(6,6) 為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.由定理5知，△OAB的費(fèi)爾馬點(diǎn)F即為最小值點(diǎn)(如圖3).根據(jù)費(fèi)爾馬點(diǎn)的性質(zhì)，容易得出

解 設(shè)△OAB 三頂點(diǎn)分別為 O(0,0)，A(1,0),B(-4,3),由于∠AOB>120°， 所以 △OAB的費(fèi)爾馬點(diǎn)F 是原點(diǎn)O， O即為最小值點(diǎn)，故f(x,y)min=f(0,0)=6.

定理6 在Ⅳ中，記Ai(ai,bi),i=1,2,3,4. 設(shè)四邊形A1A2A3A4是凸四邊形，則

證明 由f(x,y) 的幾何意義知，求f(x,y)的最小值 ?在平面xoy上求一點(diǎn)M(x,y)到四邊形A1A2A3A4的四頂點(diǎn)的距離之和的最小值。四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M. 事實(shí)上，如圖4，設(shè)四邊形A1A2A3A4兩對(duì)角線A1A3、A2A4的交點(diǎn)為O， 顯然所求的點(diǎn)不可能在四邊形A1A2A3A4外，在四邊形A1A2A3A4內(nèi)任取一點(diǎn)M，連MA1,MA2,MA3,MA4,則有

|MA1|+|MA3|≥|A1A3| ，|MA2|+|MA4|≥|A2A4|

∴ |MA1|+|MA2|+|MA3|+|MA4|≥|A1A3|+|A2A4|

即證.

設(shè)兩點(diǎn)P1、P2分別在兩圓O1(r1)、O2(r2) 上，

1)當(dāng)兩圓相交時(shí)，則|P1P2|min=0 ，|P1P2|max=|O1O2|+r1+r2；

2)當(dāng)兩圓相離時(shí)，則|P1P2|min=|O1O2|-r1-r2，|P1P2|max=|O1O2|+r1+r2；

3)當(dāng)兩圓內(nèi)含(r2>r1) 時(shí)，則|P1P2|min=r2-r1-|O1O2|,|P1P2|max=|O1O2|+r1+r2.

由此很容易得到如下定理.

定理7 在Ⅴ中，令u=u(x)，v=v(x)，α=α(y),β=β(y),若點(diǎn) (u,v),(α,β)分別滿足方程

(1)

(2)

1)若圓(1)與圓(2)相交，則

2)若圓(1)與圓(2)相離，則

3)若兩圓內(nèi)含(r2>r1) ，則

題10 求f(x,y)=(2sinx-3siny-4)2+(2cosx-3cosy-5)2的最值.

解 因?yàn)辄c(diǎn)(2cosx,2sinx) 在圓u2+v2=22上 ，而點(diǎn)(3cosy-5,siny-4) 在 (u-5)2+(v-4)2=32上，由于這兩個(gè)圓相離，所以根據(jù)定理7的2)得 ，

則1)當(dāng)k≤m 時(shí)， f(x,y)min=0;2)當(dāng)k>m時(shí)，f(x,y)min=k-m,作出相應(yīng)的二次曲線，觀察圖形即得結(jié)論.

題11 求f(x,y)=(2sinx-5secy)2+(cosx-3tany)2的最小值.

所以P,Q分別在半圓x2+y2=2(y≥0) 與雙曲線xy=9 上(如圖5).顯然，函數(shù)f(u,v) 無最大值.由于雙曲線的實(shí)軸過圓心，則實(shí)軸與兩曲線的交點(diǎn)P0(1,1),Q0(3,3) 的距離最小，所以

f(u,v)min=|PQ|min=|P0Q0|=8

圖3 題7圖 圖4 定理6圖 圖5 題12圖

參考文獻(xiàn)：

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