矩陣的特征值與矩陣方程的關系

崔小琴,李虹曄

(湖北師范學院 數學與統計學院， 湖北 黃石 435002)

1 預備知識

矩陣特征值的研究是矩陣分析、微分方程、控制論等學科中的重要課題之一，許多文獻對特征值的性質及求法都有所討論,例如在[1]、[2]、[3]、[4]中作者分別介紹了一些特殊矩陣的特征值，如正交矩陣的特征多項式和特征根、三對角矩陣的特征值、分塊矩陣特征值的分布以及3×3 矩陣的特征值問題等。本文在它們的基礎上，借助于矩陣A與A*的方程，研究了A的特征值λ應滿足的條件，并給出了一些特殊矩陣的特征值應滿足的條件.

文章的第二部分是主要結果，第三部分給出了這些結果的一些應用.

為了證明的需要，給出以下兩個引理.

引理1[5](Schur引理)給定A∈n×n，且λ1,λ2,……,λn是A的所有特征值，則存在一個酉矩陣U∈n×n，使得

U*AU=(tij)n×n

是上三角矩陣，且其對角線上的元素tii=λi(i=1,2,……,n) 是A的所有特征值，即

引理2 設A∈n×n，A的所有特征值為λ1,λ2,……,λn，f(x)∈[x] ，則

2)ρ(f(A))={f(λ1),f(λ2),……,f(λn)}.

證明 1)因為A與AT有相同的特征值，所以ρ(AT)=ρ(A) .由Schur 引理，存在酉矩陣U∈n×n使得

則

即

又因為轉置不改變矩陣的特征值，所以

2)已知f(x)∈[x]，則f(A)有如下形式：

用Schur 引理得

所以

ρ(f(A))={f(λ1),f(λ2),……,f(λn)}

2 主要結果

定理1 設A∈n×n，f(A*，A)=0,若λ是A的特征值,則,λ)=0.

證明 設α∈n是A的特征值λ所對應的特征向量，則有

Aα=λα

(1)

兩邊共軛轉置得

(2)

因為

將該等式兩邊分別左乘α*，右乘α得

(3)

對上式反復用(1)和(2)可得出

因為α為A的特征值λ所對應的特征向量,α≠0,α*α>0，因此有

在定理1中，若將f(A*,A)=0中的A與A*交換位置，則結論也隨之發生變化，這表明f(A*,A)中的A與A*的位置不能隨意交換，所得的結論及證明將在下面給出.

定理2 設A∈n×n，f(A,A*)=0 ，若λ是A的特征值，則f(λ,

證明 因為A=(A*)*,所以

f(A,A*)=f((A*)*,A*)=0

定理3 設A∈n×n，,AT)=0 ，若λ是A的特征值,則,λ)=0

f((AT)*,AT)=0

即

那么由引理2和定理1得出

定理4 設A∈n×n，f(AT,，若λ是A的特征值,則f(λ,.

f(AT,(AT)*)=0

即

那么由引理2和定理2得出

現在，我們將上述這些定理運用到一些特殊矩陣特征值的研究當中，如Hermit矩陣(A=A*)，反Hermit 矩陣(A=-A*)，酉矩陣(AA*=A*A=I)等.

推論1 Hermit矩陣的特征值為實數；反Hermit矩陣的特征值為0或純虛數.

證明 設A為Hermit 矩陣，則有

f(A*,A)=A*-A=0

若λ是A的特征值，則有

故λ為實數.

同理可得反Hermit 矩陣的特征值λ滿足

故其特征值為0 或純虛數.

推論2 酉矩陣的特征值的模為1.

證明 設A為酉矩陣，則有

f(A*,A)=A*A-I=A*A-A0=0或f(A,A*)=AA*-I=AA*-A0=0

若λ是A的特征值，則有

故|λ|=1 .

推論3 設A∈n×n,f(x)∈[x],f(A)=0,若λ是A的特征值，則f(λ)=0 .

證明f(x)∈[x] ,f(x) 可看成f(x,1) ，由定理1，f(λ)=f(λ,1)=0 .

3 應用

1997年， Groβ和 Trenkler在[9]中首先提出了關于廣義投影算子和超廣義投影算子的概念，并對這兩類算子進行了研究.2004年到2005年，文獻[10]和[11]中的作者討論了廣義投影算子和超廣義投影算子的進一步性質以及廣義投影算子的譜分解理論，接下來的一年， Stewart G W于文獻[12]中利用譜分解理論刻劃了廣義投影算子，并給出了其分解式.2007年，文獻[13]中作者討論了k-廣義投影算子.2008年， Jerzy K,Oskar Maria Baksalary和Liu Xiaoji于文獻[14]中給出了廣義投影算子和超廣義投影算子的更深一層的結論.2013年，[15]中作者研究了可換的廣義投影算子和超廣義投影算子和與差的可逆性.下面，我們將結合以上定理對其分解式進行討論并給出它的一個充要條件.

定理5A∈GP當且僅當A3=A*A=AA*.

證明 首先給出A∈GP的分解式.因為A∈GP,A2=A*, 若設λ是A的特征值，由定理1，有

(4)

反之，若A有如(1)的分解式，則

所以A是廣義投影算子當且僅當A有如(4)這樣的分解式.

下面證明A∈GP當且僅當A3=A*A=AA*.

必要性易證.

參考文獻:

[1]張德菊，張曉敏.正交矩陣的特征多項式及特征根[J].大學數學，2007,23(1)：151～154.

[2]楊勝良，馬成業.一種三對角矩陣的特征值及其應用[J].大學數學，2009,25(6)：182～187.

[3]Li zhuxiang,Pang Mingxian.The distribution of eigenvalues for partitioned matrix[J].Northeast Math J,1996,12(4):455～460.

[4]Geng Xianguo,Dai H H.Nonlinearization of the 3×3 matrix eigenvalue problem related to coupled nonlinear Schrodinger equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1999,233(1):26～55.

[5]Horn R A,Johnson C R.Matrix Analysis(2)[M].Beijing:The people's posts and Telecommunications Press,2005:75～76.

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[8]Afrait S N.Orthogonal and oblique projectors and the characteristics of pairs of vector spaces[J].Cambridge Philosophical Society,1957,53(4):800～816.

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[10]Baksalary J,Baksalary O,Liu X.Further properties of generalized and hypergeneralized projections[J].Linear Algebra Appl,2004,389:295～303.

[11]Du Hong-Re,Li Yuan.The spectral characterization of generalized projections[J].Linear Algebra Appl,2005,1(400):313～319.

[12]Stewart G W.A note on generalized and hypergeneralized projectors[J].Linear Algebra and its Applications,2006,412(2):408～411.

[13]Leila Lebtahi,Nestor Thome.A note on k -generalized projections[J].Linear Algebra and its Applications,2007,420:572～575.

[14]Jerzy K Baksalary,Oskar Maria Baksalary,Liu Xiaoji,et al.Further results on generalized and hypergeneralized projectors[J].Linear Algebra and its Applications,2008,429(5):1038～1050.