井下核磁共振測井儀微弱信號處理算法設計

宋公仆 張嘉偉 薛志波 王光偉

（中海油田服務股份有限公司油技事業部 油田技術研究院，中國 北京 101149）

0 引言

核磁共振測井方法可直接測量地層孔隙中可動流體的信息，可定量確定自由流體、束縛水、滲透率及孔徑分布，其孔隙測量不受巖石骨架礦物成分的影響，因此目前頗受測井行業的廣泛應用[1]。與此同時，通過核磁共振測井采集到的地層回波信號相當微弱，其幅度值大概在40nV～2uV之間，幾乎不可能通過常規測試手段直接檢測到相應信號。本文重點介紹了兩種微弱信號的提取算法，通過這兩種算法可以有效地從采集到的微弱回波信號中快速提取相關信號幅度與相位信息，因此目前普遍應用于核磁共振微弱信號的提取處理上。

1 微弱信號處理算法分析

1.1 相敏檢波算法（DPSD）分析

目前，對于納伏級（nV）微弱信號電壓的測量儀器主要有鎖定放大器和取樣積分器兩類。前者是物質表面組份分析和表面電子能態研究的重要手段；后者使得核磁共振技術得以真正實現。這兩類微弱信號檢測儀器可測量到淹沒在強噪聲中的μV～nV量級的電壓信號[2]。不過由于測量系統以及各種外界干擾引入的各種噪聲使得噪聲強度高出有用信號幾十倍，一些常規的電壓測量方法無法測量淹沒在強噪聲中的電壓信號。對于這些信噪比低至-30～-60db范圍的混于噪聲中的微弱信號的測量均采用基于最大似然估計的互相關方法[3]。下面重點對互相關法的一種DPSD相敏檢波算法進行詳細介紹。

圖1 雙通道互相關器檢測方法-DPSD算法結構圖

圖1中清晰列出了相敏檢波算法的結構圖，其中設被測信號x（t）為：

式（1）中 K 為測量電路放大器增益，n（t）為零均值高斯噪聲。圖1中對應的輸出值為對正弦信號x（t）的幅值Us以及相位θ的最大似然估計。其中

式（2）、（3）中參考信號 r1（t）及 r2（t）為相互正交且與 x（t）同頻的正弦信號。 r1（t）=Urcosωt，r2（t）=Ursinωt。

已經證明，由最大似然估計得到的正弦信號幅度及相位屬于一致、有效估計。但是當被測正弦信號為納伏量級時，測量系統噪聲是信噪比低至-30db～-60db，則在有限測量時間T以內，U01和U02的測量結果會有較大的起伏波動，從而嚴重妨礙了正弦參量Us以及θ的精確測量。顯然，如何選擇合適的測量電路以及參數是微弱正弦信號檢測的關鍵技術[4]。

而DPSD算法（數字相敏檢波算法）是指利用計算機或DSP芯片實現式（2）以及（3）的相敏解調算法。將以上二式數字化后，可寫成

式中的 U01（n）為第 n 次取樣后的計算平均值。 r2（n）與 r1（n）相位差90°（如圖 1），故r2（n）可以通過 r1（n）來產生，但由于 r1（n）是取樣信號，故要求r1（n）一周期內的取樣點數與原頻率之比為4的整倍數，即m為4的整倍數。fs為采樣頻率（r（n）采樣頻率必須等于x（n）采樣頻率）。在預先存儲中可以先讓Ur為1，最后通過計算得出的相位是采樣起始點處的初相[5-6]。最后利用式（4）和（5）求出回波的幅值和相位。

以下是參考信號 r1（n）與 r2（n）和 U（n）02的相關計算公式。

為了驗證以上算法我們輸入標準正弦信號并加入噪聲后如下圖2左邊所示，可以看出信號淹沒在噪聲中，利用DPSD算法進行提取后其提取結果如圖2右邊所示：

圖2 DPSD算法提取信號試驗測試結果

從上圖2中，我們可以清晰地看到原始輸入信號混入白噪聲后形狀已經失真，無法直觀辨別輸入信號的實際形狀。將混入噪聲的輸入信號進行上述DPSD相敏檢波算法處理后得到圖2右邊所示的原始信號波形。從圖中我們可以直觀看到通過DPSD算法處理后，利用該算法選頻特性好的特點成功地將信號從噪聲中提取出來。

1.2 小波提取算法設計

小波變換在當前微弱信號處理中應用越來越多，它是時間（空間）頻率的局部化分析，通過伸縮平移運算對信號（函數）逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破[3]。有人把小波變換稱為“數學顯微鏡”。

1.2.1 含噪信號的小波域表述

假定待提取的信號是一個有用信號與噪聲的疊加效果，通過一種正交小波變換，可以最大程度的消除了信號的相關性，將能量集中到少數的小波系數上，從而達到濾除噪聲的目的。首先來分析其中噪聲小波域的分布規律。平穩白噪聲的正交小波變換仍然是平穩的白噪聲，其小波系數仍是互不相關的，分布在各個尺度下的所有時間軸上。假設 n（t）是一個方差為 σ2的寬平穩白噪聲，ψ（t）是一個小波函數，則白噪聲n（t）的小波變換的期望值為：

上式（11）中Ws為小波變換系數因子。上式（11）表明，隨小波變換尺度S的增加，白噪聲的小波變換幅值的均值E{|Wsn（t）|2}在減少，其衰減正比于1/S。若白噪聲n（t）是高斯白噪聲，在變換尺度S上，其小波變換模的平均密度為：

上式（12）說明，高斯白噪聲的小波變換模值的平均密度正比于1/S，隨著分解尺度S的增大，其密度減小。由上述兩式性質可知，隨著分解尺度S的增加，噪聲的小波譜因幅度和密度的逐漸減少而將逐漸消失，從而達到濾出噪聲的目的。下面來分析信號的小波域表述。設信號f（t）是光滑且P次連續可微的函數，ψ（t）是具有p階消失矩的實正交小波，其支撐為[c，d]，有下式（13）所示關系：

若上式（13）中 j足夠大，ψjk（t）變得足夠窄，將 f（t+2-jk）用其在 2-jk處的p階泰勒級數展開近似表示，即：

1.2.2 提升小波算法

小波分析在實際工程中的應用主要通過以下三種方式：MALLAT算法、多孔算法以及提升算法[5]。前兩種算法均建立在經典小波分析基礎之上，其核心是基于二進平移和伸縮思想的小波變換和多分辨率分析，而經典小波分析則由傅里葉變換發展而來，因此MALLAT算法和多孔算法或多或少都會受傅里葉變換的影響。而提升小波算法相比基于經典多分辨率分析的小波（第一代小波）最主要優點是：改進了第一代小波算法，使其更易于實現。提升算法不存在卷積運算，節省了大量的計算時間和程序空間，計算量只有MALLAT算法的一半且避免了卷積計算存在的邊界問題；計算過程簡單明確，易于實現，可以采用原位計算，只需申請少量的額外存儲單元，節省了存儲空間；擺脫了傅里葉變換的束縛，可在第一代小波基的基礎上較為方便的設計滿足需要的小波基，盡管不能發現新的小波基，但可以改善現有小波基的特性，如消失矩特性等。小波濾波器組中濾波器h可以表示為式（16）所示的多相位形式，式中 he（z）和 ho（z）如式（17）所示，分別包含了 h（z）的偶系數和奇系數[7]。

上式（18）中稱P（z）為多相位矩陣。小波分解重構的多相位表示如圖3所示。

圖3 小波分解重構的多相位表示

Daubechies和Swedens在此基礎上提出了多相位矩陣因子分解的定理：若 P（z）的行列式等于 1，則總存在 Laurent多項式 ui（z）和 pi（z）以及非零常數 K，使得

上式（19）中pm（z）=0。根據多相位矩陣的因式分解以及圖4所示小波分解重構的多相位表示，得到下式（20）和式（21）：

進一步得到如圖4所示的小波分解過程的提升算法流程圖以及圖5所示的小波重構過程的提升算法流程圖如下：

圖4 小波分解過程的提升算法流程圖

圖5 小波重構過程的提升算法流程圖

上圖4所示為一層提升小波分解流程圖，得到近似系數a（z）與細節系數d（z），在反復按照圖4所示進行多層提升小波分解最終得到最底層的近似系數與細節系數。圖5為一層小波重構過程的提升算法流程圖，它是提升小波分解的逆運算，通過反復執行提升小波重構過程從而使分解的小波信號重構成去噪后的有用信號。

2 結束語

本文論述了在核磁共振測井中微弱信號提取的兩種實現算法（DPSD）相敏檢波算法與小波提取算法，對這兩種算法進行了詳細的介紹與分析。在核磁共振測井中，很多都利用這兩種提取算法對采集到的回波串信號進行信號提取處理，其有著很好的噪聲抑制和信號提取的能力[8]。這兩種微弱信號提取算法已經成功應用在實際核磁共振測井儀器上，并取得了很好的應用效果。

［1］George Coates，肖立志，Manfred Prammer.核磁共振測井原理與應用[M].孟繁瑩，譯.北京：石油工業出版社，2007.

［2］邵維志，莊升，丁娛嬌.一種新型核磁共振測井儀：MREx[J].石油儀器，2004.

［3］Pollak V L and Slater R R.Input Circuit for PulsedNMR[J].The Review of Scientif ic Instruments，1966.

［4］華中科技大學.微弱信號檢測技術資料[Z].

［5］戴逸松.微弱信號檢測方法及儀器[M].北京：國防工業出版社，1994.

［6］張新發，劉富，戴逸松.DPSD算法性能研究及參數選擇[J].吉林工業大學學報，1998，3（28）：40-45.

［7］戴逸松.測量低信噪比電壓的數字相敏解調算法及性能分析[J].計量學報，1997，18（2）：126-132.

［8］肖立志.核磁共振成像測井與巖石核磁共振及其應用[M].北京：科學出版社，1998.