液體靜壓導軌靜態特性的計算

王焱清， 黃 振， 吳星成

(湖北工業大學 機械工程學院， 湖北 武漢 430068)

高端制造裝備的進一步發展對決定裝備性能的主軸回轉主運動系統以及工作臺、刀架拖板進給運動系統等關鍵運動部件的動態性能及其穩定性、可靠性提出了更加苛刻的要求，促進了液體靜壓支承技術的研究向更加深入的方向發展．靜壓導軌作為重要的支承部件，其運動精度將直接影響到工件的加工質量．故對靜壓導軌的設計顯得尤為重要，在靜壓導軌設計與優化中所需考慮的三個典型的靜壓系統特性是：承載量、剛度和流量．這三個靜態靜壓系統特性的計算是由油腔內的壓力分布決定的，與速度無關．所以計算油腔壓力分布是計算靜態系統特性的基礎．

1 液體靜壓導軌的工作原理及其靜態特性

1.1 液體靜壓導軌的工作原理

由液體靜壓導軌的結構(圖1)可看出液體靜壓導軌是利用潤滑油膜來支承載荷并起潤滑作用[1]，根據供油方式的不同，可將液體靜壓導軌分為定量式靜壓導軌和定壓式靜壓導軌．本文中計算定量供油時的開式靜壓導軌．

所謂開式靜壓導軌，是在工作臺和導軌面間通入壓力油，使運動件浮起，工作在不同速度下都能保證導軌面在液體潤滑摩擦狀態下工作．

液體靜壓導軌中各獨立的承載部分稱作油墊，由油腔、封油邊和進油孔組成(圖2)，計算液體靜壓導軌靜態特性時通常對其中一個油墊進行分析計算．設從供油系統供給一定壓力p、流量為Q的潤滑油，導軌上的負載大小為W，油膜厚度為h．當導軌運動處于穩定狀態時，不同的載荷W對應一個不同的油膜厚度h，當導軌上負載W增大，油膜厚度h會減小，導軌間的液阻增大，但是定量供油的流量不變使得油腔壓力升高從而平衡增大的負載；反之，當負載減小時，油膜厚度增大，液阻減小，油腔壓力降低，平衡減小的負載[2]．

1-工作臺； 2-油封面； 3-油腔； 4-導軌座圖 1 開式靜壓導軌

圖 2 液體靜壓導軌中承載部分工作原理

1.2 液體靜壓導軌的靜態特性

1.2.1靜承載力W0液體靜壓導軌的靜承載力是表征液體導軌在導軌運動副之間無相對運動時承載力的參數，其值表示在一定油膜厚度下液體導軌的負載能力，可以通過對整個油膜表面的壓力積分而得，即

(1)

式中：p為油膜表面的壓力分布；A為油膜表面的區域面積．

1.2.2靜剛度K0液體靜壓導軌的靜剛度表征液體靜壓導軌在油膜發生變化時承載力的變化程度，說明了當油膜變化時的承載力的變化情況，其值為

．

(2)

式中：Wh1，Wh2分別是不同油膜厚度時的承載力值；h1，h2分別是兩個不同油膜厚度的值．

1.2.3封油邊出口流量Q0是表征液體靜壓導軌在工作時的液體消耗量，常被分為體積流量和質量流量．液體靜壓導軌的分析中通常用質量流量，液體靜壓導軌的封油邊出口流量可以通過對封油邊出口邊界區域的液體流速積分得到，即

ρvdA.

(3)

式中：ρ是液體的密度，v是液體出口的流速分布，A是出口邊界的區域面積．[3]

2 液體靜壓導軌油膜壓力分布計算方法

2.1 液體靜壓導軌壓力分布

由液體靜壓導軌靜態特性可得，承載能力W0油膜剛度K0都與油膜壓力分布有關，要計算承載能力和油膜剛度就必須先計算油膜壓力的分布p．

油膜壓力的分布p的計算是基于雷諾方程的解，雷諾方程是流體潤滑軸承的基礎方程，它描述了在微小間隙內流體的壓力分布，它的普遍形式是

(4)

式中：x和y分別是指的導軌長度方向和寬度方向的坐標；η是潤滑流體粘度；ρ是潤滑流體密度；h是油膜厚度；U是導軌運動速度；方程的解p是油膜壓力分布．這個橢圓型的偏微分方程僅僅對于特殊的間隙形狀才可能求得解析解，而對于復雜的幾何形狀或工況條件下的潤滑問題，無法用解析方法求得精確解．隨著電算技術的迅速發展，數值法成為求解潤滑問題的有效途徑．

2.2 液體靜壓導軌壓力分布數值解法

因為靜壓軸承的靜態特性中承載量、剛度與速度無關，且在靜態狀態下油膜厚度h不隨時間變化．簡化式(4)可得在靜態下的雷諾方程式：

．

(5)

式(5)是一個Laplace算子，其在油膜分布區域上的解就是壓力在油腔中的分布．其數值解法是將偏微分方程轉化為代數方程組的變換方法．它的一般原則是：首先將求解區域劃分成有限個數的單元，并使得每個單元充分小，以至于可以認為在各單元內的未知量(油膜壓力p)相等或者依照線性變化，而不會造成很大的誤差．然后通過物理分析和數學變換方法將求解的偏微分方程寫成離散形式，即轉化為一組線性代數方程組．該方程組表示了各個單元的帶球未知量與周圍各單元未知量的關系，最后根據Gauss消去或者Gauss-Seidel迭代法求解代數方程組，從而求得整個求解域上的未知量．

靜壓導軌油腔求解區域的物理模型可簡化圖1．其長度方向L=50 mm，寬度方向B=30 mm，封油邊的寬度b=5 mm．中間區域為進油口，其壓力為10 mPa．

圖 3 靜壓導軌油腔求解區域的物理模型

求解區域是一個環形區域的油膜，求解前先定義邊界條件．根據壓力邊界條件可以得出：1)在腔內p=10 mPa，即內部矩形內的p為常數10；2)在四周邊緣上p=0 mPa，即在外部矩形的邊界上的p為常數0 .將式(2)進行五點差分可以表達如下：

2.2 基于matlab計算方程數值解

按照上述方法先將求解區域劃分成如圖4所示的網格，劃分后的求解區域一共有560個網格節點．根據差分數值解法，即式(3)代替式(2)，將問題轉化為未知函數p(x,y)在節點(i,j)上的數值位置量的線性方程組Ax=b；A是系數矩陣，是網格節點p(x,y)差分成的560×560的稀疏矩陣(圖5)．

圖 4 靜壓導軌油腔求解區域網格化,mm

圖 5 系數矩陣A

b是560×1的稀疏向量，是進口壓力邊界條件，表示了進口壓力的位置和壓力值大小．然后對方程組Ax=b進行Gauss-Seidel迭代法求解，得出的解向量x是壓力p的稀疏向量，用matlab中的full函數將其轉化成滿矩要求的壓力分布(圖6)．

圖 6 滿矩要求的壓力分布,mm

分別做出在中間平面x方向和y方向截面的壓力分布曲線(圖7)．

(a)x方向

(b) y方向圖 7 中間平面截面的壓力分布曲線

由圖7可以看出：在油腔內部附近區域內，壓力分布基本維持在10 mPa左右，從封油邊至出口，壓力由2 mPa逐漸降到0，存在較大的壓降，并且下降呈現明顯的非線性．

3 液體靜壓導軌油膜靜態特性參數的計算分析

3.1 液體靜壓導軌承載能力的計算

在供油方式為定量的情況下，對導軌承載底部區域的壓力進行積分，得到導軌的承載能力(圖8)．

圖 8 不同油膜厚度下矩形導軌的承載能力

為進一步研究靜壓導軌的承載能力特性，將不同油膜厚度下的承載能力用多項式擬合表示．當油膜厚度為10～25 μm時，該導軌的承載能力的數學擬合可近似表示為

W=-124.9h6+20.21h5+335.7h4+

50.57h3-53.97h2-1183h+2895．

式中：W為導軌承載力，N；h為油膜厚度，μm．

3.2 液體靜壓導軌油膜靜剛度的計算

根據導軌在不同油膜厚度時承載能力的計算結果，用式(2)可求出導軌油膜的靜剛度，結果如圖9所示．當油膜厚度為10～25 μm時，導軌的剛度數學擬合式可以近似表示為

K=-30.06h6-83.23h5+318.9h4+

289h3-834.2h2-276.5h+771.2．

式中：K為導軌油膜剛度；h為油膜厚度．

圖 9 導軌油膜的靜剛度

4 結論

通過求解雷諾方程計算油膜壓力分布，根據導軌靜態參數的計算可以得出：靜壓導軌的承載能力隨著油膜厚度的增大呈減小的趨勢，靜剛度隨著油膜厚度的增大，在10～15 μm時呈增長趨勢，在15 μm時達到最大值.在15～25 μm時呈減少趨勢．

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