解常微分方程的穩(wěn)定的顯式單步法

龍愛芳, 胡軍浩

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院, 湖北武漢 430074)

文獻(xiàn)[1]-文獻(xiàn)[10]給出了求解常微分方程的各種計(jì)算方法，筆者給出了另一個(gè)求解常微分方程的顯式的單步法,它是二階的,而且是無(wú)條件穩(wěn)定的。

1 無(wú)條件穩(wěn)定的二階顯式的單步法

設(shè)初值問(wèn)題：

(1)

的理論解為y(x),將方程(1)兩邊在區(qū)間[xn,xn+1]上積分得：

(2)

(3)

成立,而yn+1=P(xn+1),由式(3)得確定A,B,C各值的方程組:

(4)

(5)

由式(4)與式(5)化簡(jiǎn)得

(6)

把式(6)代入式(2)化簡(jiǎn)得

(7)

把式(7)代入式(6)化簡(jiǎn)得

(8)

由式(7)和式(8)可得

(9)

(10)

把式(9)和式(10)代入上式并化簡(jiǎn)得

(11)

式(11)即為筆者提出的求解初值問(wèn)題的常微分方程(1)的顯式單步法。

定理1式(11)是求解初值問(wèn)題的常微分方程(1)的一個(gè)二階顯式單步法。

證明由式(11)得

故式(11)是求解初值問(wèn)題的常微分方程(1)的一個(gè)二階顯式單步法。

定理2式(11)是求解初值問(wèn)題的常微分方程(1)的一個(gè)無(wú)條件穩(wěn)定方法。

(12)

2 數(shù)值試驗(yàn)

表1 例1的二階顯式單步法(11)數(shù)值試驗(yàn)

表2 例2的二階顯式單步法(11)數(shù)值試驗(yàn)

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