無窮區(qū)間上二階m點(diǎn)共振邊值問題解的存在性和唯一性

禹長龍，李志廣，魏會賢，王菊芳

(1．河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018；2．山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009；3．石家莊鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河北石家莊 050047)

無窮區(qū)間上的二階微分方程邊值問題起源于對非線性橢圓方程徑向?qū)ΨQ解和半無窮多孔介質(zhì)氣壓模型的研究，并且已經(jīng)取得了許多研究成果[1-12]。

1970年，LANDESMAN等研究了半線性橢圓方程邊值共振問題解的存在性[13]。此后的幾十年間，對于非線性微分方程共振邊值問題的研究獲得了大量的重要結(jié)果，特別是在共振情形下，對于非線性常微分方程2點(diǎn)邊值問題(Dirichlet問題、Neumann問題、周期邊值問題)的研究中，獲得的結(jié)果更是系統(tǒng)[14-22]。然而，無窮區(qū)間上二階多點(diǎn)共振邊值問題的研究成果尚少。

在文獻(xiàn)[15]中，LIAN等利用迭合度理論研究了無窮區(qū)間上的二階3點(diǎn)共振邊值問題

和

的可解性和解的唯一性，其中f:[0,+∞)×R2→R,e:[0,+∞)→R是連續(xù)的，且η∈(0，+∞)。

受文獻(xiàn)[15]的啟發(fā)，筆者研究無窮區(qū)間上的二階m點(diǎn)共振邊值問題：

(1)

和

(2)

1 預(yù)備知識

定義1f:[0,+∞)×R2→R稱為S-Carathéodory函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)

1)Lx≠λNx對于?(x,λ)∈[(domLKerL)∩?Ω]×(0,1)成立；

2)Nx?ImL對于?x∈KerL∩?Ω成立；

注1由引理1可知半無窮區(qū)間上的二階m點(diǎn)邊值問題(1)和邊值問題(2)就等價為文獻(xiàn)[15]中研究的邊值問題，且η∈[η1,ηm-2]。

定義空間X,Y為

(3)

(4)

定義線性算子L:domL?X→Y為

(5)

這里

記ω(t)=e-t/(1-e-ηm-2)并定義連續(xù)映射Q:Y→Y，即

(6)

定義連續(xù)映射P：X→KerL為

(Px)(t)=x(0),t∈[0,+∞)，

(7)

定義非線性算子N:X→Y為

(Nx)(t)=f(t,x(t),x′(t)),t∈[0,+∞)，

(8)

那么，邊值問題(1)就等價于

x=Px+Kp(I-Q)Nx，

(9)

JQNx=0，

(10)

其中，J:ImQ→KerL是一個同構(gòu)。

為了應(yīng)用定理1，需證明N是L-緊的，即要證明算子QN和Kp(I-Q)N都是全連續(xù)的。因?yàn)锳rzelà-Ascoli定理對非緊區(qū)間的情形不適用，筆者將用下面的判定準(zhǔn)則。

a)M中的所有函數(shù)是一致有界的；

b)M中的所有函數(shù)在[0，+∞)的任意緊區(qū)間都是等度連續(xù)的；

引理2設(shè)f是一個S-Carathéodory函數(shù)，則N是L-緊的。

證明顯然，QN和Kp(I-Q)N是連續(xù)的，只需要證明緊性，即QN和Kp(I-Q)N從有界集映射到一個相對緊集。

‖QNx‖Y=max{‖QNx‖∞,‖QNx‖L1,‖QNx‖1}≤‖φr‖1·‖ω‖Y<+∞,

注意到ImQ?R，于是QN是緊的。

|(KP,Qx)(t1)-(KP,Qx)(t2)|≤

本期每筆已投放天數(shù)，為貸款的合同履行期限與考核期的交集。往年放款的計(jì)算起始日為本年1月1日，考核期內(nèi)放款的計(jì)算起始日為放款日；考核期內(nèi)到期的貸款計(jì)算截止日為貸款結(jié)清日，考核期內(nèi)未到期的貸款計(jì)算截止日為考核期截止日。

和

|(KP,Qx)′(t1)-(KP,Qx)′(t2)|≤

成立，則KP,QU是等度連續(xù)的。由定理2可知若KP,QU和(KP,Q)′U在無窮大處是等度收斂的，則KP,QU在X中是相對緊的。事實(shí)上，當(dāng)t→+∞時，

|(KP,Qx)(t)-(KP,Qx)(+∞)|≤

和

|(KP,Qx)′(t)-(KP,Qx)′(+∞)|≤

是一致成立的。證畢。

2 主要結(jié)論

2.1 邊值問題(1)解的存在性定理

定理3設(shè)f:[0,+∞)×R2→R是S-Carathéodory函數(shù)。假定

H1)存在非負(fù)函數(shù)p,q,r∈L1[0,+∞)滿足:

當(dāng)t∈[0,+∞)時，對所有的(u,v)∈R2,|f(t,u,v)|≤p(t)|u|+q(t)|v|+r(t)幾乎處處成立；

H3)存在B1,l>0,m,n≥0使得對所有的u∈R，|u|>B1，?t∈[0,β],v∈R有|f(t,u,v)|≥l|u|-m|v|-n成立；

H4)存在B2>0使得對所有的u∈R,|u|>B2，要么對t∈[0,+∞)，uf(t,u,0)≤0幾乎處處成立，要么對t∈[0,+∞)，uf(t,u,0)≥0幾乎處處成立，則邊值問題(1)至少有1個解，若

證明設(shè)X,Y,L,N,P,Q是式(3)-式(8)中定義的。下面分步來證明。

步驟1 設(shè)Ω1={x∈domLKerL:Lx=λNx,?λ∈[0,1]}，則Ω1是有界的。

易證對λ∈[0,1]，函數(shù)x滿足Lx=λNx當(dāng)且僅當(dāng)x是

x=Px+λKp(I-Q)Nx,

(11)

JQNx=0

(12)

于是有

又

即有

因此，‖x‖X≤max{M1,M2}:=M，故Ω1是有界的。

步驟2 設(shè)Ω2={x∈KerL,Nx∈ImL}，則Ω2是有界的。

1)對于?(x,λ)∈[(domLKerL)∩?Ω]×(0,1)，有Lx≠λNx；

2)對于?x∈KerL∩?Ω，有Nx?ImL。

2.2 邊值問題(2)解的存在性定理

因?yàn)榉e分中值定理對于半無窮區(qū)間的情形無效，所以文獻(xiàn)[12]—文獻(xiàn)[14]中對于擾動系統(tǒng)在有限區(qū)間上所用的方法并不適用。于是筆者將運(yùn)用由邊值問題(1)得到的結(jié)論來建立關(guān)于邊值問題(2)解的存在性結(jié)論。

至少有1個解。選定其中一個解并表示成

(13)

令x(t)=z(t)+E(t)，則

z″(t)=f(t,z(t)+E(t),z′(t)+E′(t)), 0

(14)

(15)

下面證明邊值問題(14)與邊值問題(15)至少有1個解。設(shè)X,Y,L,P,Q是定理3中所定義的，且定義算子N1:X→Y為(N1z)(t)=f(t,z(t)+E(t),z′(t)+E′(t)),t∈[0,+∞),則邊值問題(14)與邊值問題(15)等價于：z=Pz+Kp(I-Q)N1z,JQN1z=0。

推論1設(shè)Ω4={z∈domLKerL,Lz=λN1z,?λ∈[0,1]}，Ω5={z∈KerL,N1z∈ImL}，則Ω4和Ω5是有界的。

所以，‖z‖X≤max{M3,M4}且Ω4是有界的。

則

2.3 唯一性定理

對f加強(qiáng)條件，可以得出前面研究邊值問題解的唯一性定理。

定理5設(shè)f是一個S-Carathéodory函數(shù)，且定理3中的條件H2)和條件H4)成立，同時滿足：

H7)存在β1>0使得對所有的ui，vi∈R(i=1,2),如果f(t,u1,v1)-f(t,u2,v2)有零點(diǎn)，則有

H8)存在l>0,m≥0使得對所有的t∈[0,max{β,β1}]和(u1,v1),(u2,v2)∈R2有

|f(t,u1,v1)-f(t,u2,v2)|≥l|u1-u2|-m|v1-v2|,

那么，當(dāng)max{α,α1}<1時，邊值問題(1)有唯一解，其中α是定理1中所定義的，且

證明設(shè)X,Y,L,Z,P,Q是定理3中所定義的。因?yàn)閒是一個S-Carathéodory函數(shù)，所以，r(t)=|f(t,0,0)|∈Y。由定理3知邊值問題(1)至少有1個解。

假設(shè)邊值問題(1)有2個解x1,x2∈X，令x=x1-x2，則x滿足

(16)

(17)

(18)

因此，

因?yàn)椴⒉唤诲e，但‖x‖∞=0，所以x1=x2。則邊值問題(1)有唯一的解,證畢。

同樣的，可以得邊值問題(2)的唯一性結(jié)論。

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