波形鋼腹板變截面梁剪力滯的差分解

王慶豐 向陽開

(重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶 400074)

1 概述

20世紀(jì)80年代末期，法國首先建成世界上第一座波形鋼腹板箱梁橋Cognoc橋，隨著該橋梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，各國都相繼開始展開相關(guān)研究，并迅速推廣開來，我國一些科研單位和高等院校也開展了波形鋼腹板箱梁橋的力學(xué)特性研究和橋梁的設(shè)計(jì)與建造工作。

波形鋼之所以能夠在橋梁中得以成功應(yīng)用，在于它能以波形鋼替代一般混凝土箱梁的腹板而減輕結(jié)構(gòu)自重，同時(shí)由于其褶皺效應(yīng)，在縱橋向腹板的軸力很小，波形鋼對整體箱梁剛度的影響，忽略其對箱梁承載能力的貢獻(xiàn)，認(rèn)為只有頂板和底板承受很大的應(yīng)力，如圖1所示。本文也是在此基礎(chǔ)上作進(jìn)一步分析。

圖1 不計(jì)波形鋼腹板抗彎作用的結(jié)構(gòu)示意圖

目前針對波形鋼腹板梁橋剪力滯的研究大都集中在等截面簡支梁，文獻(xiàn)［3］分析了變截面懸臂梁的剪力滯問題。波形鋼腹板變截面連續(xù)梁橋已經(jīng)開始建設(shè)，針對其剪力滯的求解大都通過將結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為簡支結(jié)構(gòu)，然后通過解肢法或疊加原理求解。將結(jié)構(gòu)體系轉(zhuǎn)化為簡支體系后，簡支體系仍為變截面，因此針對變截面簡支梁的剪力滯效應(yīng)求解尤為重要。

基于以上，提出對波形鋼腹板變截面簡支梁橋的剪力滯的分析，利用差分法建立矩陣方程［G］{U}=［F'(x)］，然后再對F'(x)利用差分法求解，最后得到U，進(jìn)而求得各個(gè)截面的剪力滯。分析其分別在集中荷載，均布荷載的作用下其剪力滯縱向分布情況。在對F'(x)的求解中利用函數(shù)求導(dǎo)法，使剪力滯求解更加精確。

2 公式推導(dǎo)

利用文獻(xiàn)［3］推導(dǎo)的波形鋼腹板剪力滯的微分方程及邊界條件。

微分方程和變分條件:

在支座邊緣處的邊界條件為:

對于變截面而言，Is是變化的，因此取為I(x)。式(1)左右兩邊除以EI(x)，然后對x求導(dǎo)得到，并將其代入式(2)得到:

其中，

利用差分法，將 U″(x)代入式(6)

并利用邊界條件式(4)，可得到矩陣表達(dá)式如式(7)所示，簡寫成［G］{U}=［F'(x)］。

3 計(jì)算思路

1)確定截面材料特性和幾何特性，并求出梁全長彎矩和慣性矩的變化規(guī)律，并建立函數(shù)M(x)，I(x)。

3)求 U'(x)。

4)代入式(5)求出各個(gè)截面的剪力滯。

4 計(jì)算分析

1)擬定梁的尺寸。

如圖2～圖4所示，梁長2 000 mm，混凝土為C40，鋼腹板采用A3鋼，為便于計(jì)算，頂板和底板的混凝土均采用等厚度。底板線性為二次拋物線。

圖2 腹板尺寸（單位：mm）

2)數(shù)值計(jì)算。

將梁分成20份，建立F'(x)的函數(shù)式，由矩陣表達(dá)式可看出只有M(x)和I(x)是變量，因此只需求出二者的表達(dá)式即可。

圖3 荷載作用

圖4 橫截面尺寸

以左支點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)可以得到拋物線函數(shù)Z(x)，根據(jù)材料力學(xué)和幾何關(guān)系建立慣性矩方程I(x)。

利用Matlab進(jìn)行矩陣運(yùn)算求解梁縱向不同位置的Ui，并將Ui代入剪力滯公式來求解各個(gè)截面的剪力滯(本例所求的剪力滯均為腹板與頂板交界處的值)，如表1，表2所示。其中支點(diǎn)截面為0號(hào)截面，剪力滯結(jié)果關(guān)于跨中對稱，因此表中僅僅列出半跨值。

表1 集中力作用下的剪力滯

表2 均布荷載作用下的剪力滯

3)ANSYS分析對。

為評(píng)價(jià)數(shù)值計(jì)算的精確性，采用ANSYS對模型梁進(jìn)行模擬分析。其中混凝土采用Solid65單元模擬，鋼腹板采用Shell181單元模擬，有限元模型如圖5所示。頂板與腹板交界處的剪力滯見表1，表2。對比可得在集中力作用下差分解和有限元解最大相差10.8%，均布荷載作用下的剪力滯最大相差14.2%，并且具有有限元解全部大于差分解的規(guī)律。因?yàn)樵谖墨I(xiàn)［1］的公式推導(dǎo)和本文的差分計(jì)算的過程中，均忽略了腹板剛度對整體的影響，因此差分解計(jì)算的結(jié)果會(huì)偏小。在實(shí)際應(yīng)用過程中可以考慮乘以1.1的增大系數(shù)。

圖5 有限元模型

5 結(jié)語

差分法在波形鋼腹板變截面橋梁剪力滯計(jì)算的運(yùn)用中，通過數(shù)值計(jì)算和有限元對比分析，整體差分解比有限元解偏小，最大相差14.2%，這主要是由于在文獻(xiàn)［1］的公式推導(dǎo)和本文的差分計(jì)算的過程中，均忽略了腹板剛度對整體的影響，因此差分解計(jì)算的結(jié)果會(huì)偏小，可以得到很好的吻合結(jié)果。

［1］陳寶春，陳宜言，林 松.波形鋼腹板橋梁應(yīng)用調(diào)查分析［J］.中外公路，2010，30(1):109-118.

［2］項(xiàng)海帆.高等橋梁結(jié)構(gòu)理論［M］.北京:人民交通出版社，2001.

［3］冀 偉，藺鵬臻，劉世忠，等.波形鋼腹板箱梁剪力滯效應(yīng)的變分法求解［J］.蘭州交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，29(6):16-19.

［4］周茂定，劉世忠，楊子江.波形鋼腹板組合箱梁剪力滯效應(yīng)的比擬桿法求解［J］.蘭州交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，31(4):41-44.

［5］季立東.基于懸臂波形腹板箱梁剪力滯效應(yīng)的力學(xué)特性及試驗(yàn)研究［D］.南京:南京航空航天大學(xué)，2008.

［6］吳文清.波形鋼腹板組合箱梁剪力滯效應(yīng)問題研究［D］.南京:東南大學(xué)，2002.