第二類Siegel域到超球上一個雙全純雙射變換

朱小林，賀君燕

(1．上海海事大學 文理學院，上海201306;2．上海電力學院 數理系，200090)

1 問題提出

當 n≥2 時，文［1］［2］給出了一個 Dn={(w，u1，…，un－1)∈Cn|2Im w － u u—T＞0}到超球 Bn={z=(z1，…，zn)∈Cn|1－z z—T=1－|z1|2－…－|zn|2＞0}的一個雙全純雙射變換T:

令t為T:Dn→Bn的變換矩陣，由(1)得，從而 Aut(Dn)=t－1Aut(Bn)t．自同構群的算術子群在數論中是有意義的，如:現代數論的中心領域之一的自守形式就是定義在算術子群上的．復矩陣t給出了自同構群的關系，然而相對應的算術子群的關系其數論性質就變復雜了，原因就在于矩陣t中出現了無理數，本文作者將研究能不能找到一個合適的雙全純雙射變換A，使相對應的算術子群能保持良好的算術性質．

令:In，1=，其中In表n階單位矩陣．則由［3］:

進而有:

當n=1時，式(2)、(3)分別為復單位圓盤和復上半平面自同構群，此時

由以上關系，關鍵尋找變換矩陣An+1，滿足Aut(Dn)=A－1n+1SU(n，1)An+1，An+1具有良好的算術性質．作者將尋找由高斯整數構成的模矩陣An+1(以下簡稱模矩陣:即逆矩陣仍為高斯整數構成，也即為行列式的模為1的矩陣)．對應的雙全純雙射變換Α:Dn→Bn，稱為模變換．

2 模矩陣的條件

引理1 當n≥1時，若存在An+1滿足

證明 ?s∈SU(n，1)，則令:g=A－1n+1sAn+1，有:

證畢．

命題1 不存在模變換將單位開圓盤映射成復上半平面．

由以上命題，以下n≥2．

再令:Γn+1=Aut(Dn)∩SL(n+1，Z［i］)，則有:

定理1 Mn+1=An+1Γn+1，其中 An+1∈Μn+1．

證明 ?Υ∈Γn+1，令A=An+1Υ，有:

所以有:An+1Γn+1?Mn+1．

反過來:A，B∈Mn+1，易得 BA－1∈Γn+1;即:Mn+1?An+1Γn+1．證畢．

由上定理1可知關鍵是找出一個模矩陣An+1，因為所有滿足條件的模矩陣相差Γn+1中的一個元素．

3 模矩陣計算

引理 2 存在模矩陣 A3，滿足 A—T3I2，1A3= － H1，1．

證明 令:A3=SL(3，Z［i］)，由:A—T3H1，2A3= － I2，1，得:

由 aij為高斯整數，由式(4)中(a)和(f)得:|a31|≠0，|a33|≠0，取|a31|=|a33|=1(模最小)，即:a31=in，a33=im(n，m∈Ζ)．由式(a)和(f)繼續令:a21=a13=0，a11=ip，a23=iq得:

條件方程組(4)化為:

由以上方程組令:m=q=p=s=4得:

滿足引理要求．證畢．

引理3 n≥2時，存在模矩陣 An+1，滿足

證明 n=2，即引理2，下證:n＞2引理成立．令:

則直接計算得:

證畢．

4 問題的解答及應用

進一步得:

即Α0是Dn到Bn一個雙全純雙射的變換矩陣．

定理2 當n≥2時，若An+1∈SL(n+1，Z［i］)且為Dn→Bn一個雙全純雙射的一個變換矩陣，則:

證明 由引理1得證必要性．下證充分性:

證畢．

［1］朱小林，陸洪文．橢圓元在維數公式中的貢獻［J］．數學年刊(A輯)，2007，28(2):281．

［2］朱小林，陸洪文．第二類Siegel域上自同構群Iwasawa分解的Haar測度顯式［J］．同濟大學學報:自然科學版，2007，35(7):980．

［3］華羅庚．多復變數函數論中的典型域的調和分析［M］．2版．北京:科學出版社，1965．

［4］GOMELIN T W．Complex Analysis［M］．北京:世界圖書出版公司北京公司，2008．