《市場調查和預測》中直線方程的系數求解方法探討

2013-10-22 06:08:22程定平

懷化學院學報 2013年11期

程定平

(湖南涉外經濟學院, 湖南長沙 410205)

《市場調查和預測》是市場營銷專業和工商管理專業的一門必修課程.該課程中市場預測的方法涉及不少的數學公式和數理統計知識,對于以學文科為主的市場營銷專業和工商管理專業的學生而言,無疑具有一定的難度和挑戰性.任課教師為了幫助學生理解各種預測方法,提高教學效果,需要對各種預測方法進行詳細講解,并輔以例題、案例教學,來達到幫助學生理解記憶的目的[1-3].筆者認為,除此之外,對前后知識點進行歸納總結,不僅可以復習鞏固原有知識點的學習,還可以更好的理解學習新的知識點,同時,也有利于知識點的融會貫通.在各種市場調查和預測的教材中,均會介紹市場預測的方法.市場預測的方法可以分為定性和定量兩種,定量的分析方法主要有時間序列分析法和因果分析法.時間序列分析法中的直線趨勢延伸法和因果分析法中的一元線性回歸,均會涉及到線性方程參數a、b的求解.本文專門針對線性方程參數a、b的求解列出幾種不同方法,并配以例題講解.

1 標準公式:利用最小二乘法和極值定理求解

直線方程系數的標準求解方法,就是根據最小二乘法的基本原理,即實際值與觀察值 (預測值)的離差平方和最小,結合極值定理設立聯立方程求解.

∑(Yt- Yt)2=最小,即∑(Yt-a-bt)2=最小

利用極值定理可以轉化為聯立方程:

聯立解方程得到參數a、b:

例題1 某市場的一種商品前9個月的銷售量數據如下表1,根據銷售量數據變化趨勢試預測第10個月的銷售量.

表1 某市場的一種商品的銷售額

分析過程:通過做增量分析,得到增量范圍為3～5,近似相等,因此可以擬合為線性趨勢,建立數學模型:Y=a+bt,只要求解出參數a、b,即可進行預測.

計算過程:

表2 標準公式中需要的數據計算

根據表2,將數據代入公式

代入參數a、b,即可得線性方程Y=16.04+3.68t所以,第10月的銷售量的預測值就是t=10時的Y值,即

2 特殊公式:當∑t=0時可采用簡易方法求解

對于時間序列,時間作為橫坐標,僅標示位置,水平位置左右平移并不會影響縱坐標的預測值.因此若令 ∑t=0,參數a、b的計算公式就變得簡單許多,將∑t=0代入標準公式:

可以得到簡易公式:

仍以例題1為例,題目略.

計算過程:

表3 特殊公式中需要的數據計算

將表3中的數據代入公式:

根據t的編數規律,第10月的t為5,將t=5代入公式:

用特殊公式計算的結果與標準公式計算出的結果是一致的.

3 變形公式:為方便計算機編程而引入新參數

為了方便計算機編程,通常先進行定義

這樣,參數a、b的公式變為:

還以例題1為例,題目略.

分析過程:將公式中的X看成t,則Xi2=t2,Xi×Yi=t×y,將表2數據直接代入即可.

計算過程:

將參數 a、b代入,則Y=16.04+3.68X

若X=10,則Y=52.84,與前面的公式計算的結果完全吻合.

4 經驗公式:斜率 b近似等于縱坐標差與橫坐標間距的比值

在季節變動預測法中,可以用經驗法計算線性方程的參數a、b.經驗法是將收集的時間序列根據時間周期 (通常為一年)分成幾段,分別計算第一段和最后一段的平均值,再與時間間隔期數相比得到斜率b,a則根據第一段的平均值和期數的均值得出,具體公式為:

由于本題中涉及季節變動,因此需要有季節變動的數據,故不再用例題1.本文將用一個具體的例題來介紹經驗法如何計算線性參數a、b.

例題2 以某超市某種商品近三年每個季度的銷量為例,具體數據如下表.

表4 某超市某商品三年的季度銷售量 (單位:10 kg)

從數據看,具有明顯的季節性,第三季度較其它三個季度明顯要多出很多;從不同年份的相同時期可以看出,存在一定的線性趨勢,因此,該商品的銷售量存在線性趨勢的季節變動.因此可以建立加法模型:Yt=a+bt+di或者是乘法模型:Yt=(a+bt)×fi.本文在這僅僅只介紹線性參數a、b的計算,不涉及季節指數的計算.

計算過程: