淺淡高等數學中的概念教學

孔祥文

摘 要：高等數學強調對概念、法則的深刻理解，教師在講解概念時要善于從實際中的例子引入新的概念，激發學生學習高等數學的興趣。

關鍵詞：高等數學；概念；學習興趣

高等數學是普通高校的一門必修基礎課，許多后續課程都與這門課程相關。隨著高新科技的不斷發展，數學在各領域得到廣范應用，數學的地位與作用日益提高，數學已經不僅僅是學習后繼課程和解決科技問題的工具，而且是培養理性思維的重要載體。對培養學生的邏輯思維能力、分析問題解決問題的能力、建立數學模型的能力，對開闊學生思路，提高學生綜合素質等，都有很大幫助。

中學數學的常識性比較強，強調技巧，而高等數學則強調對概念、法則的深刻理解。所以引導學生理解并牢固掌握數學概念是學好數學公式、定理、方法，從而提高數學能力的基礎。而數學概念本身就抽象且邏輯嚴謹，有的學生本身的數學基礎比較差，又沒有正確的學習態度和學習方法，使得好多學生對高等數學望而卻步，更談不上學習興趣。在教學實踐中要有效地提高學生學習數學的積極性，首先要提高學生學習數學的興趣。

高數中的數學概念都是來自實際中具體問題的抽象，所以概念的引入不宜直接拋出，而應把概念的發生，形成，探索過程呈現出來，一個概念產生發展的過程都要經過很多人的參與和努力，那些普遍存在的東西怎樣一次次左右我們的思想，數學家是怎樣對所接觸的材料進行整理，引進術語，給出定義的。這樣，概念的出現不致使學生感到突然、莫明其妙，而是感到自然。更重要的是，能使學生對概念作更探層次的理解，養成科學的思維習慣，提高學生發現問題和解決問題的能力。

俗話說：“教無定法，貴要得法。” 大多數概念由于它的抽象性，常使學生感到不可捉摸，這時應當為學生提供一個概念的模型，這個模型可以是一個特別例子、一個生動比喻、一個實在事物，一個美好的故事。讓學生容易理解和接受。在講解分段函數時，就可以引入日常生活中常見的電話吧，利用函數求它的收費。在講數列極限概念時，可先介紹數學史中極限產生的思想，比如我國古代，戰國時代的《莊子·天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的名言。其意是所余部分總可一分為二，永遠取不完，這是公元前三世紀的事，當時還沒有提出極限的概念。到了公元三世紀，我國三國時期杰出的數學家劉徽，基于《莊子》的無限分割思想，在注《九章算術》時訂正了圓周率（周長與直徑之比）是周三徑一之誤，他在計算圓周率的過程中創立并使用了極限方法。劉徽為了定義和計算圓的周長，創立了“割圓術”，他用圓內接正多邊形的周長近似代替圓的周長與圓直徑作比值來求圓周率，實際上內接正多邊形邊數越多，它的周長就越接近圓的周長，最后求出了圓內接正3072邊形的周長，與圓直徑相比，化成小數為3.1416，畢竟3072并不是個很大的數，所以算出的圓周率精度不是很高。后來南北朝的天文學家、數學家祖沖之繼續用劉徽的“割圓術”把圓周率算到小數點后7位。劉徽指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”雖然自己只能做到有限步，但他相信，如果無限做下去，即內接正多邊形的邊數是無限多的，則正多邊形周長將無限趨于圓的周長，也只有在無限的過程中，才能真正做到“無所失”，這樣算出的應該是圓周長的精確值。

為了讓學生更好理解極限是“可望而不可及”，可以給學生發一張面積為1平方分米的正方形簿紙片，讓學生做對折實驗，學生可得到一個數列，顯然對折的次數越多，手中

紙片的面積將越小，這樣無限對折下去，手中的紙片面積將無限向“0”靠近，但不會等于“0”，也就是不會在對折中突然紙片消失不見了。因此，“0”是該數列當n無限增大時的極限，該數列會無限向“0”逼近，但永遠到不了“0”。在教材上表示上述極限的公式為，注意極限符號不能丟，因為。

在“連續”概念的教學中，可以從日常生活中所觀察到的連續變化現象出發，得到連續變化現象的本質特征，再由此得到“連續”的數學定義。在教學中可以用一個未成年小孩子的身高為例。未成年孩子的身高顯然是隨著年齡的增長而增高的，也就是說身高y是時間t的函數，而且身高不會發生突變，也就是說它是連續變化的。一個與父母親天天生活在一起的孩子，細心的父母并沒有覺察到自己的孩子今天比昨天長高了多少，這是為什么呢？因為時間間隔很小，孩子身高增長也很少。用數學術語講就是，自變量時間有微小變化時，身高函數的相應變化也是很微小的，以致即使極細心的父母，也發覺不了自己的孩子一天內的身高增加了多少。因此，連續變化現象的特征是：當自變量有微小變化時，函數相應的變化也很微小。那么怎樣刻劃自變量和函數的變化呢？很自然地就引進了“改變量（或增量）”的概念。高等數學中記為符號?x和?y，則連續變化現象的特征翻譯成數學語言就是：當?x極其微小趨于0時，相應?y也極其微小趨于0，即有連續定義式。

導數（）概念同高等數學其它概念一樣，也是客觀世界中具體問題在數量關系上的抽象，教材上是由變速直線運動的速度問題和幾何上切線問題引入的。講解時最好從具體的例子開始，比如一輛汽車在10小時內走了600公里，它的平均速度是60公里/小時，但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60公里/小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置s與時間t的關系為，那么汽車在由時刻

t0變到t1這段時間內的平均速度是，當t1與t0很接近時，汽

車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在t0到t1這段時間內的運動變化情況，自然就把平均速度

的極限作為汽車在t0時刻的瞬時速度v（t0），用數學符號表示為，如令?x=t1-t0，則上式又可寫為

。又在幾何上的切線問題中，先畫出

曲線圖形，任一點（x0，y0）處作切線，在切線傾角未知的情況下是不能直接求切線斜率的。經過分析，切線是割線的極限位置，所以先求得割線斜率，然后得x0處切線斜率

。這樣從兩個實際意義完全不同的問題分

析中得到完全相同結構的極限。數學上去除它們的實際意義，把這種特殊結構的極限取名為導數。即導數的實質就是函數改變量與自變量改變量之比當自變量改變量趨于0時的極限。這一比率反映了變量變化快慢的程度。所以導數又叫變化率。

函數告訴我們變量之間的對應關系，極限告訴我們在自變量某一變化過程中函數變化的趨勢，連續是討論自變量改變量趨于0時相應函數改變量是不是也趨于0，而導數是討論函數改變量與自變量改變量之比當自變量改變量趨于0時的極限。至此，并沒有討論函數在某點當自變量取得一個微小改變量?x時，相應函數改變量?y到底有多大。而微分就是要解決這樣一個問題。引進微分概念時，也從一個具體例子出發。比如一塊正方形均勻鐵皮，邊長為x，面積為S，因熱脹冷縮，邊長改變量為?x，求面積S的改變量?S。顯然

上式?S可由兩部分組成，第一部分是關于?x的一個線性函數，第二部分（?x）2當?x→0時是比?x高階無窮小的。實際中當?x很小時，第二部分比第一部分要小得多，是可以忽略不記的。比如當x=2，?x=0.01時，第一部分2x?x=0.04，第二部分（?x）2=0.0001，所以決定?S大小，起主要作用的是第一部分，第二部分往往可忽略不記。

第一部分即?S的線性主要部分地位就顯得很重要了，數學上要把這一部分單獨拿出來加以研究和討論并取一個新的名字“微分”。再由此例推廣到一般情形，得到微分的數學定義，學生就更容易接

受了。

再如，在定積分的概念講解時，教材上是以曲邊梯形的面積為例，進行分割、近似計算、求和、取極限四個步驟來引入定積分定義的。由于這是一個比較難理解的概念，可以把它和一些趣味性的故事聯系在一起。曹沖稱象的故事想必大家都聽過，“時孫權曾致巨象，太祖欲知其斤重，訪之群下，咸莫能出其理。沖曰：置象大船之上，而刻其水痕所至，稱物以載之，則校可知矣。”他就是把一個整體化為部分來解決大象的體重問題。這就可以把曲邊梯形和大象做比較，把大量的石塊和分割的小曲邊梯形相聯系。把問題得以通俗化。

教師是整個高等數學教學活動中最活躍的因素。如何引入一個新的數學概念，讓學生能夠輕松地接受新的概念，是每一個教師在教學中都應重視的問題。教師一定要充分擔當好領引者的角色，在日常教學工作中要結合實際，不斷提高自身素質，潛心研究教學方法，不斷總結，逐步積累教學經驗，這樣才能夠不斷增加高等數學的魅力，激發學生的學習興趣。