圓弧齒輪齒面沿接觸線是滾動與滑動并存的證明

康星虎，閆文斗，段建中

(寧夏大學 機械工程學院，寧夏 銀川750021)

0 前言

圓弧齒輪傳動在我國有較長的研究和應用歷史，并掀起過熱潮，也取得了較大成績。但近些年來，國內學術界對該課題的研究趨于冷淡。本課題組在進行多圓弧齒廓齒輪的若干年持之以恒研究中，對公開或內部發行的圓弧齒輪傳動的中文專著中基本理論進行了梳理，并發現了一些缺陷。本文的任務是否定圓弧齒輪經典著作［1-2］中第39～40頁表述的基本觀點：凹齒廓與凸齒廓之間沿接觸線是純滾動。手冊［3］亦未明確解釋具體運動形式。根據幾何數學與運動學分析表明：凸凹齒廓嚙合的一對齒輪副的兩條接觸線長度不相等，因此嚙合點在接觸線上的速度大小亦不相等，進而可知：兩齒面之間沿接觸線的運動必定是滾動與滑動并存。該結論的意義在于：1)明確了凸凹齒廓之間沿接觸線的運動形式，2)給出了這種運動形式的定量公式，3)可以用該結論合理地解釋圓弧齒輪傳動中的一些物理現象：如油膜厚度大，齒面磨損均勻，跑合性良好等;并且為這些物理現象的定量分析奠定了數學與運動學基礎。為了有力地論證此結論，很有必要介紹圓柱螺旋線相關知識。

1圓柱螺旋線數學表示與幾何意義

由圓弧齒輪的形成原理可知［1］，圓弧齒輪參與嚙合時的接觸線是一條圓柱螺旋線。圓柱螺旋線方程為［3］：

其中：r—螺旋線所在圓柱的半徑;ψ—角度變量，0≤ψ≤θ。

圓柱螺旋線的形成過程用圖1即可說明。T為圓柱上端面圓周上任意一點，M從T點開始，沿所在圓柱面母線以速度V勻速向下運動，同時圓柱以角速度ω繞軸線oo勻速旋轉，那么點M在圓柱面上的軌跡就是曲線TA，則曲線TA就是圓柱螺旋線，它的長度：

圖1 圓柱螺旋線

由螺旋線運動學分析可知［4］：ψ = ωt，z=Vt。則可由軸向距離Z相等得到：pψ=Vt，兩邊同除以時間t得到：

圓弧齒輪中的螺旋線的性質，由下面的論述給出：

如圖2所示，以齒輪底面作為xy平面，將齒輪軸線作為z軸，在圖2中齒輪某一齒面上有n條螺旋線A1B1，A2B2，…AnBn，它們都是以齒輪軸線為中心軸的圓柱面與螺旋齒面的交線，根據式(1)可得到其參數方程為：

圖2 螺旋線性質說明圖

其中：r1=OA1，r2=OA2，…rn=OAn。現有一垂直于齒輪軸線的平面S，它與螺旋線的交點分別為，…，與齒面的交線為一段圓弧，從z軸負方向看去，這段圓弧可以看作形成齒面的齒廓圓弧在S平面內的投影繞齒輪軸線旋轉了Δψ角度后得到的。當然，齒廓上對應的兩點與齒輪軸心連線的夾角也為Δψ，在圖2中Δψ即為直線OA1與，OA2與，…OAn與之間的夾角。假設在齒輪端面上螺旋線z軸的坐標值為=pψ，11=p2ψ2，…=pnψn，則在S平面上螺旋線z軸的坐標值為=p1(ψ1+ Δψ)=p2(ψ2+Δψ)，…=pn(ψn+Δψ)。又因為，－=－=…－=p1Δψ =p2Δψ =…pnΔψ=Δz(Δz為S平面與齒輪端面之間的距離)，由此可知，p1=p2=…pn，也就是說這些螺旋線具有相同的螺旋參數P。因螺旋參數p=rcotβ，所以螺旋線所在圓柱面半徑越大，其螺旋角也就越大。

要使一對圓弧齒輪能正確嚙合，除了兩齒輪的法面模數和壓力角相等外，還須保證生成齒輪輪齒的齒輪節圓柱上的兩條螺旋線螺旋角大小相等［1］。

2 圓弧齒輪的兩條接觸線間存在相對滑動的證明

根據式(2)可求得圖3中兩節圓柱上的圓柱螺旋線的長度。

式中：LP1—為齒輪1節圓柱面上螺旋線長度，LP2—為齒輪2節圓柱面上螺旋線長度。

由式(5)可得：

由式(2)求得接觸線KA的長度LKA為：

圖3 螺旋接觸線所在的圓柱面半徑的大小

圖3O1K＞O1P，并根據螺旋線性質知：半徑越大，螺旋角也越大，所以：βKA＞βP1。

由式(9)，式(10)可得：LKB＜LP2=LP1＜LKA。

即兩條接觸線KA與KB的長度不等：

圖4 圓弧齒輪接觸線速度分析

在圖4中，P為端面節點，K為接觸點，KK'為嚙合線，KA、KB為兩圓弧齒輪的接觸線。在某一瞬時，兩齒面在K點接觸，則接觸點K相對于齒輪軸線O1O'1的速度為V1t，且V1t=O1K·ω1;接觸點K相對于齒輪軸線O2O'2的速度為V2t，且V2t=O2K·ω2。將端面圓周速度V1t、V2t分別投影到相應螺旋線KA、KB的切線方向上，根據圖2b幾何關系，得：

兩齒面沿接觸線方向的相對速度，即滑動速度ΔV=V1s－V2s=sinβ(O1K·ω1－O2K·ω2)。嚙合點在接觸線上的速度V1s是由沿嚙合線KK'的速度Vz和圓周速度V1t合成，其中V1t=O1K·ω1;嚙合點在接觸線的速度V2s是由沿嚙合線KK'的速度Vz和圓周速度V2t合成，其中V2t=O2K·ω2。因為在齒輪副嚙合過程中，轉動速度ω1和ω2是常量，所以圓周速度V1t和V2t是定值。沿節圓柱切線方向向下的速度Vz=p1ω1=p2ω2，式中p1=O1Pcotβp1，p2=O2Pcotβp2，所以Vz也是一定值。由平行四邊形法則知，若兩個分速度大小方向不變，則合速度就一定是方向恒定，大小不變的，即嚙合點在接觸線KA和KB上的速度V1s和V2s都是方向不變，大小恒定的。可得速度分別為：

可知速度V1s和V2s不相等。又因為在齒輪副嚙合過程中，從某一瞬時開始，嚙合點是從K點開始，同時沿接觸線KA和KB的分別往接觸線的另一端逐點依次移動的。那么，在移動過程中，嚙合點在接觸線上就存在速度差，那么，嚙合點沿接觸線方向上就一定存在滑動現象。滑動距離ΔL為：ΔL=LKA－LKB;滑動速度V滑為：

3 結語

圓弧齒輪副在傳動過程中，嚙合點在接觸線上是滾動與滑動共存的一種運動現象。即齒面在接觸線上嚙合傳動時存在滑動，而非經典著作中的純滾動。由于接觸線上各點的齒高不變，所以齒面磨損均勻，有利于磨合成理想的圓弧，跑合性好。

［1］邵家輝.圓弧齒輪［M］.北京：機械工業出版社，1994.

［2］太原工學院齒輪研究室.圓弧齒輪［M］.北京：機械工業出版社，1980.

［3］成大先，等.機械設計手冊第五版［M］.北京：化學化工出版社，2008.

［4］吳序堂.齒輪嚙合原理［M］.西安：西安交通大學出版社，2009.

［5］同濟大學應用數學系.高等數學第五版［M］.北京：高等教育出版社，2001.