一種非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間分析

王少鋒，李開明

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京210094)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于具有剛度大、承載力強(qiáng)、位置精度高、慣量小、響應(yīng)快等優(yōu)良特性，在工業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)療衛(wèi)生以及航空航天等領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用［1］。目前，大多數(shù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)均采用對稱式結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，相對于非對稱式并聯(lián)機(jī)構(gòu)，它具有正向求解容易，控制簡單方便，加工制造容易等特性［2-5］。

然而，針對某些方向性能要求較高而其他方向要求相對較低的特殊應(yīng)用場合，對稱式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)就不太合適［6-7］。例如，用于測試氣體沖擊射流的試驗(yàn)平臺，被試驗(yàn)件的受力主要源自于氣體射流的沖擊力，其方向大體沿射流的沖擊方向，因而在這一方向需要機(jī)構(gòu)具有較好的穩(wěn)定性;同時(shí)，為了能夠動(dòng)態(tài)模擬射流的沖擊力，試驗(yàn)平臺在射流方向還需要有較長的工作空間。據(jù)此特性，本文研究了一種非對稱式3-(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其動(dòng)平臺為等腰梯形，定平臺上的6個(gè)鉸鏈點(diǎn)成非對稱分布，且不共面，其可達(dá)工作空間成逗號“，”型，可初步滿足該實(shí)驗(yàn)要求。

1 機(jī)構(gòu)描述

非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的CAD模型圖和結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，它由定平臺、動(dòng)平臺及連接兩平臺的6根可伸縮驅(qū)動(dòng)支鏈組成。每根驅(qū)動(dòng)支鏈均采用伺服電動(dòng)機(jī)—滾珠絲杠副驅(qū)動(dòng)，兩端分別通過球鉸與定平臺和動(dòng)平臺相連。相鄰的兩根驅(qū)動(dòng)支鏈采用伺服電動(dòng)機(jī)同步驅(qū)動(dòng)，組成一組平行雙聯(lián)驅(qū)動(dòng)副，以約束動(dòng)平臺的轉(zhuǎn)動(dòng)，使其只有3個(gè)平移自由度。因此非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)為3平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度公式［1］：

圖1 非對稱三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)

式中：M表示機(jī)構(gòu)的自由度;d表示機(jī)構(gòu)的階數(shù);n為包括機(jī)架在內(nèi)的構(gòu)件數(shù)目;g為運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目;fi表示第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度;v為冗余約束數(shù)目;ε為機(jī)構(gòu)中存在的局部自由度。

可知機(jī)構(gòu)具有6自由度。但是，由于機(jī)構(gòu)中包含3條同步驅(qū)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)約束，因此，具有平行雙聯(lián)驅(qū)動(dòng)副的非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為3。

機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺上的4個(gè)球鉸成等腰梯形布置，梯形的平行短邊長與腰長相等，即B5B16=B16B23=B23B4，其中平行短邊B16B23的兩端為復(fù)合球鉸。最外側(cè)的兩組平行驅(qū)動(dòng)副在定平臺上的4個(gè)鉸鏈點(diǎn)共面，且與中間桿組鉸鏈的中點(diǎn)相距s，如圖1(b)所示。

2 位置分析

如圖 1(b)所示，建立動(dòng)坐標(biāo)系o＇－x＇y＇z＇和定坐標(biāo)系o－xyz。定、動(dòng)平臺上各鉸鏈點(diǎn)在坐標(biāo)系中的投影幾何關(guān)系如圖 2 所示，圖中點(diǎn)Ci，Ci＇(i=1，2，3)分別為每組平行驅(qū)動(dòng)副的鉸鏈點(diǎn)在定平臺和動(dòng)平臺上的中點(diǎn)。動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)o＇為動(dòng)平臺的外接圓圓心，o＇x＇軸垂直于動(dòng)平臺;定坐標(biāo)系原點(diǎn)o為C2C3中點(diǎn)，ox軸垂直于A3A4、A5A6構(gòu)成的平面。∠C2C1C3=90°，C2C3=2OC1=2R，每組平行驅(qū)動(dòng)副鉸鏈點(diǎn)之間的距離相等且為h，動(dòng)平臺外接圓半徑為r，梯形的底角為α，且有α=2arcsin(h/2r)。

根據(jù)幾何關(guān)系，定平臺中各鉸鏈點(diǎn)在定系中的位置矢量為：

式中，p=h/2cosα，q=h/2sinα

圖2 定、動(dòng)平臺鉸鏈點(diǎn)幾何關(guān)系

同理，動(dòng)平臺各鉸鏈點(diǎn)在動(dòng)系下的位置矢量為：

式中，w=rcosα/2

由于非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)只具有3個(gè)移動(dòng)自由度，因此其姿態(tài)變換矩陣為3階單位矩陣I3。設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系o＇－x＇y＇z＇在定系o－xyz中的位置矢P0=(x0y0z0)T，則動(dòng)平臺鉸鏈點(diǎn)在定系中的位置矢量表示為：

各驅(qū)動(dòng)支鏈的桿長矢量在定坐標(biāo)系中可表示為：

從而驅(qū)動(dòng)桿的長度，也就是機(jī)構(gòu)的反解為：

將上述各式代入式(5)中，即可得到非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的唯一反解方程：

式中，t=R－w，m=R－p－h(huán)/2，n=q－w。

對(6)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，即可得到非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解。然而，由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，位置正解的難度一般較大，在求解時(shí)通常采用數(shù)學(xué)推導(dǎo)軟件來輔助求解。

對于式(6)，可以很容易的求解出y0：

將其代入式(6)后，式(6)可化簡成一個(gè)二元二次方程組。借助于Matlab數(shù)值分析軟件求解簡化后的方程組，可以得到該機(jī)構(gòu)的全部正解方程。從求解結(jié)果來看：y0，z0均為唯一解，只有x0具有兩個(gè)解。這表明，非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)對應(yīng)一組給定的驅(qū)動(dòng)桿桿長，可能會(huì)有2種可能的位形，而這2種可能位形只在x軸方向的取值不一。

3 可達(dá)工作空間分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間是指機(jī)構(gòu)末端操作器上某一參考點(diǎn)可以達(dá)到的所有點(diǎn)的集合，它的大小是衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能的重要指標(biāo)，也是進(jìn)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。影響并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的主要因素包括機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸、鉸鏈的轉(zhuǎn)角范圍以及各支鏈之間的干涉等。其求解在很大程度上依賴于機(jī)構(gòu)位置解的研究結(jié)果，至今也沒有非常完善的方法。對于比較簡單的機(jī)構(gòu)，如平面機(jī)構(gòu)，其工作空間的邊界可以用解析表達(dá);而對于空間6/6型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，目前還只有數(shù)值法。

3.1 約束條件分析

影響非對稱式3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間的因素包括：驅(qū)動(dòng)支鏈的長度限制，定、動(dòng)平臺上的球鉸轉(zhuǎn)角范圍限制，以及每組平行驅(qū)動(dòng)桿之間的支鏈干涉。

1)驅(qū)動(dòng)支鏈長度限制。對于每根驅(qū)動(dòng)桿，必須滿足：

此處Lmin和Lmax是支鏈所能達(dá)到的最短長度與最長長度。當(dāng)其中的一條支鏈達(dá)到最長或最短桿長時(shí)，上平臺即處于工作空間的邊界位置。

2)球鉸轉(zhuǎn)角范圍限制。球鉸副的轉(zhuǎn)角由球鉸的姿態(tài)向量npi和與球鉸相連接的驅(qū)動(dòng)桿的方向矢量li來確定。設(shè)球鉸的許用半錐角為θmax，則驅(qū)動(dòng)桿的轉(zhuǎn)角θ需滿足：

3)平行驅(qū)動(dòng)桿之間的支鏈干涉。假設(shè)Di(i=1～3)為每組平行驅(qū)動(dòng)桿中心線之間的最短距離，由于每一組平行驅(qū)動(dòng)桿在運(yùn)動(dòng)的過程中始終保持平行，則它們不發(fā)生干涉的條件為：

式中：D為驅(qū)動(dòng)桿的最大直徑。

3.2 實(shí)例計(jì)算分析

設(shè)定該機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺外接圓半徑r=350mm，平行桿鉸鏈點(diǎn)間距h=350mm，α=60°;定平臺外接圓半徑R=620mm，s=300mm;伸縮桿最短lmin=650mm，最長lmax=1200mm，桿最大直徑D=80mm;球鉸的轉(zhuǎn)角范圍 θ=70°。

借助Matlab數(shù)值計(jì)算軟件，采用邊界搜索法繪制出非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間的三維表面圖，如圖3所示。圖4為工作空間在二維平面上的截面圖。

圖3 工作空間三維表面圖

圖4 工作空間二維截面圖

從圖3中的整體外形來看，非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間形似逗號(“，”)，其左側(cè)較大，右側(cè)狹小，中間向上拱起，邊界表面為光滑的弧形，內(nèi)部不存在空洞。從圖4(a)、圖4(c)可以看出，該機(jī)構(gòu)的工作空間關(guān)于xoz平面對稱。從圖4(b)可以看出，機(jī)構(gòu)在左半部分有較大的工作空間，而這一側(cè)也正好是中間桿組偏置的那一側(cè);在右半部分則為一條狹長的弧形。

利用左側(cè)區(qū)域，可以定姿態(tài)測量沖擊射流，并且具有較大的調(diào)節(jié)范圍;而左側(cè)至右側(cè)的這一狹長區(qū)域，則可用來動(dòng)態(tài)模擬沖擊射流。

4 結(jié)論

在對非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置分析的基礎(chǔ)上，借助于MATLAB軟件繪制出了該機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間三維表面圖及在各坐標(biāo)軸方向的二維截面圖。從分析的結(jié)果可以看出，非對稱3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間可基本滿足氣體沖擊射流對測試平臺結(jié)構(gòu)的要求，為后續(xù)研究提供了參考。

［1］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］王銀，李開明.并聯(lián)機(jī)器人單支鏈伺服控制研究［J］.機(jī)械制造與自動(dòng)化，2011，40(6)：167-170.

［3］高繼良，李開明，陳有清.3－(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析及結(jié)構(gòu)參數(shù)對其影響分析［J］.機(jī)床與液壓，2011，39(23)：51-54.

［4］陳海真，鄒忠月，郝秀清.一種新型三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸出及工作空間分析［J］.機(jī)床與液壓，2010，38(5)：24-26.

［5］姚裕，吳洪濤，張召明，等.基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的六分量并聯(lián)天平及其力雅克比矩陣研究［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2004，23(7)：768-770.

［6］吳孟麗，張大衛(wèi)，趙興玉.一種新型非對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析［J］.中國機(jī)械工程，2008，19(12)：1423-1428.

［7］胡波，路懿，許佳音.一種新型兩移一轉(zhuǎn)非對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及靜力學(xué)［J］.燕山大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，32(4)：290-294.