基于線性整數規劃的企業設備檢修及工藝模式組合模型

李國鳳

(河南大學工商管理學院,河南 開封 475004）

0 引言

在競爭激烈的市場經濟大潮中，一個企業取得優勢的關鍵在于內部資源的合理分配和生產經營計劃的科學安排，當然這涉及到企業管理層對市場供需狀況的敏銳判斷和內部資源分配及有關計劃的執行能力，涉及到市場、生產、研發、人力及財務等各個方面，本文無意去從這些方面區探討企業如何進行問題識別和改進問題，因為這部分研究存在著一種“差異性”特征，不同企業的實際情況不同導致了不可能存在一種通用的模型去囊括這些問題，但在企業設備檢修和工藝模式的選擇與組合問題上，眾多企業均存在著一種共性，即：檢修需要占用生產資源、但卻能提高以后的生產能力，工藝模式的良好選擇能夠降低采購成本和提高凈利潤。

當前針對企業的流程再造模型已經相當的成熟，但復雜不意味著最佳，在一般企業中也不會常設懂高深數學理論與實踐知識的崗位，所以尋求一套比較通俗易懂和操作的運籌學模型是非常有必要的。對于企業設備維修和工藝模式的選擇而言，作為一項標準的經濟學分析，不需要了解各項工藝的具體原理，而只需要通過一種數量角度的邏輯刻畫對影響因素的動態變動及產生作用路徑，設立目標函數和相應約束條件對有關變量進行決策選擇就可以可以得到最優的檢修和工藝模式選擇計劃。

1 模型構建

1.1 設備維修節點選擇

在正式構建前，對有關條件假設如下：

（1）企業所生產產品在研究期限內需求量既定，這可以通過市場部門的預測得到。在T個時間段內的市場需求量為D=(d1,d2,……dT)，可以視為這是企業的外生變量。

(2)企業在固定時間內的生產能力固定，這與企業資源稟賦、設備、資金、人力的數量有關，在短期內不可能改變，則T期內的最大生產能力固定，為G=(g1,g2,……gT)。

(3)企業生產單位成本存在一定的變動，這是符合實際原料購買情況和由于原材料市場價格、人力資本的變動引起，T期內的單位生產成本表示為：C=(c1,c2,……cT)。

(4)當在某期生產與上期存貨的總和（供給量）大于市場需求量時，多于產品會被推導下期出售，這時會帶來存貨成本，每單位存貨的成本為k。

企業生產目的是獲取最大利潤，如果確定在某一個時間段上維修，勢必要造成該段部分時間停工造成對生產能力的擠占，但維修過后的生產能力會有一定的提高，如在圖1中所示，如果不維修，則生產能力如G，如果在1期維修，則造成在第一期的生產能力減少w1，從而1期生產力變為g1-w1，而從第2期開始每期生產能力增加f個單位，以此類推，如果在第t期維修，則第1到t-1期的生產能力不變，而t期變為gt-wt，t+1至T期的能力變 為gi+f(i=t+1,......T)，這樣就能得到以t為分界點的三個部分，具體如圖1所示。

圖1 維修時間點確定帶來的生產能力變動

1.2 企業工藝模式選擇模型

通常在進行一個產品的生產中需要對原材料進行加工，如將進口的鋁片通過切割得到不同面積和形狀，在這其中進口的材料型號不同、同型號的材料可以有不同的加工模式，那么企業必須通過產品生產需要選擇合理的工藝模式進行組合以實現利潤最大，具體原理如圖2所示。

圖2 工藝模式組合的思路

假設有n種不同型號的原材料，分別記為：p1,p2,......pn,對于每種原材料pi有不同種加工模式，記為pij(i)，值得指出的是對于每一種原材料其具備的加工模式數量不同,所以j的個數對不同材料不同，那么總的模式共有那么針對每一種模式有一些具體指標：一是產出指標，當然這類的產出不局限于1個、可能是多個，本文記為k個，記為Abj(i)(b=1,2,.....k)。二是冗余指標，即原材料經過工藝加工后的剩余量，每種模式下的冗余材料為：rj(i)。構建選擇模型步驟為：

決策變量選取。用xj(i)表示在第j(i)種模式下的的工藝處理次數。

目標函數確定。如果每種產出能夠單獨進行價值計量，即能夠單獨賣出，則定義k種產品的價格為Qbj(i)(b=1,2,.....k)，那么收益函數為：

此時的冗余損失為：

那么目標函數是利潤最大化：

約束包括三個方面：

一是材料約束，每種可得的原材料有一定的上限：

二是生產資源約束，如每個模式加工單位個數需要Ej(i)單位時間、人力或其他生產資源，那么約束為：

由（2）為目標函數，（3）～（6）形成的約束函數就是最優工藝模式選取模型。

2 實例分析

2.1 生產及維修計劃選取

某企業根據市場部門的調研，已經確定了未來6周市場對本企業生產的A產品的銷量，而生產部則根據企業內部人員、設備的利用情況對該時間段內的產能也進行了確定，并且每期內生產單位成本是變動的，具體數據由表1得出。假定在這過程中，如果某一期的產量大于本期需求，那么將造成存貨，這部分存貨將會在下期被出售，存貨單位成本為1元/個。同時為了保障生產順暢和提高生產線產能，必須在6周中選取一周進行維修，維修會造成該期生產能力5單位的減少，但會使得后面所有期產量有2單位的提升。本文將根據該案例尋求一個合理的維修點。

表1 生產參數表

選擇決策變量為在6時段內的產出，xi(i∈(1,6))，假設在1期開始無庫存，那么可以有1～5期末的庫存分別為：yi(i∈(1,5))，那么6周的總成本費用由生產成本和庫存成本組成：

在約束上，每一期產量、本期需求量與下期庫存有嚴格的平等關系：

同時xi(i∈(1,6))受到了表1中最大產能約束，這里設在6期中的某一期是否進行檢修的符號是：wi，是一個0～1變量，當wi=1表示在第i期檢修，會造成該期生產能力5單位的減少，但會使后期2單位的增加，有約束：

本文利用LINDO6.1軟件進行求解，輸入（7）～（9），求解結果。表明最優解釋是在1～5期分別生產15,20.25,32,20個單位的產品，而第6期不生產，最小成本為159，在1～4期末存貨量為3,8,8,8是最佳存貨量，維修計劃選擇在第5期最佳，這說明在現有資源約束下企業維修應當給生產任務讓路，只有先保證市場需求得到滿足的前提下才能進行維修。圖中“ DUAL PRICES”為（8）（9）右端約束每增加一個單位所能帶來的成本，表明當1～5期每期需求量增加一個單位，總成本將會降低1.5個單位，所以這種“影子價格”體現出了在企業現有情況下，只要開拓1單位市場的成本不高于1.5，那么在各期開拓的行為就是值得的。而生產能力在1～3期存在不足，但影子價格分別為0.3,0.2,0.1，在5～6期有剩余，剩余量為3,22。

2.2 工藝模式的選取

企業B需要制造一種復合塑料產品，必須先進口兩種型號的塑料，C種品為20×20的正方形產品，D種品為10×30的長方形品，現在需要制造一個三面型柱體，其中底面和高面均為一個5×5的等邊三角形，高為6。那么對于C品來說有兩種取料工藝，一種如圖3，可以切割得到三個蓋（底）和兩個圍邊，另一種如圖4,可以得到4個三角形和1個長方形。

首先三角形面積為12.5，長方形面積為102.42，故模式1余料為 20×20-3×12.5-2×17.07×6=157.06模式2余料為：20×20-4×12.5-1×17.07×6=247.08，模式3余料為：10×30-3×12.5-1×17.07×6=160.8

圖3 模式1

圖4 模式2

圖5 模式3

那么根據已知數據可以得到參數表：

表2 工藝模式參數表

xi(i=1,2,3)表示三種工藝模式下的實用的材料數量，假設收益是銷售品（底蓋與圍體匹配量）y1與價格的乘積，記為2y1，y2是因為多余底（蓋）帶來的損失，y3是多余的圍體損失，單位余料價格為0.01。所以利潤函數有：

約束條件：

一是人力資源限制：

二是原材料限制：

生產出的底蓋個數為3x1+4x2+3x3，圍體數為2x1+x2+x3，那么兩個底（蓋）才能與一個圍體組成一個成品，而成品數是由（13)表示：

多余的底（蓋）和圍體數量為：

對于（13）可將其轉化為

至此，所有的約束條件均已表述，用LINDO6.1軟件進行求解，輸出結果如圖6。

圖6 工藝模式選擇結果

結果表明：三種模式的最優組合是模式1為28次，模式2為2次，模式3為24次，即用原料1為28+2=30個，原料2為24個。能組裝的成品為82個，只有多余底（蓋），個數為82個，人力資源恰好用完，而原材料供給的剩余變量為70和16，材料供給均有剩余，故應當減少訂貨計劃，不存在任何約束的影子價格，所以不應當增加任何生產資源。

3 結論

本文通過對企業經營過程中的設備維修和工藝模式選擇的實際流程進行分析后，以成本最小、凈利潤最大為目標，以生產資源、市場需求滿足以及變量間恒等關系為約束函數，構建了一套易于操作與理解、結論清晰的線性整數規劃模型，通過實例發現所構建的模型和假設與企業實際比較吻合，并且能夠快速的通過matlab和lindo軟件進行計算，對現代企業在日益動態的市場競爭中能夠快速的進行各項決策具有很強的幫助作用。值得提出的是不同企業的資源稟賦、生產經營流程及原材料特征不同，不同變量間的平衡關系及差異時點上的邏輯關系也不盡相同，所以具體構建模型時還是有很大的區別，需要企業成立專業的數學規劃部門，以期通過規劃方法對企業流程進行再造和資源分配的研究，使得企業投入-產出效率達到最佳，并通過冗余變量及影子價格的分析確定投資可行性和必要性。

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