基于貝葉斯理論的刀具維修決策模型

劉 念，李建蘭，陳 剛，丁宏剛，康 樂，嚴 野

（1. 華中科技大學 能源與動力工程學院，武漢 430074；2. 中國人民解放軍91760部隊，江門 529145）

0 引言

隨著生產技術的高速發展，電力和機械等行業的設備日趨大型化和精密化，設備的正確維修對企業的安全和經濟生產都具有重要意義。設備工作性能的好壞、效率的高低都與維修有關，對故障原因癥候診斷的正確處理以及維修方式的運用，這些都需要維修計劃的指導[1]。維修策略的選擇與時機的確定成為研究者們關注的熱點問題。

近年來，國內外許多學者對維修決策進行了研究，提出了各種決策模型。Murray A和Ko T J等人利用神經網絡或自回歸時序等模型對磨損量進行計算或監測[2～4]，CAO X和陳保家等人利用比例危險模型或Logistic回歸模型預測刀具有效剩余壽命[5,6]。周奇才等人提出了基于風險的維修決策，對堆垛機的風險進行定量分析并利用風險為決策目標建立維修策略以降低堆垛機的運行風險[7]。程志君等人針對部件間存在經濟相關性的復雜系統，提出一類基于機會策略的視情維修優化模型，解決系統層事后維修與視情維修的綜合優化問題[8]。王進才等人運用馬爾可夫決策模型，提出了以費用效果為指標的維修策略[9]。羅運虎等提出基于風險的用戶可靠性需求決策模型，得到了用戶可靠性需求的最優值[10]。此外，林月平等人將最短路徑算法應用在工程裝備應急維修決策中，提高了維修保障效率[11]。劉曉平等人將進化蒙特卡洛方法引入機械故障診斷的特征選擇，提高機械故障診斷精度和診斷效率[12,13]。還有一些學者開發了關于維修決策的軟件支持系統，李敏等人引入了基于狀態的維修，設計并開發了自行火炮狀態維修決策支持系統(CBMDSS)[14]；吳軍等人提出基于隱馬爾科夫鏈模型的數控裝備可靠性預測方法，在此基礎上, 開發了數控裝備可靠性預測原型軟件系統，該系統對于提高數控裝備利用率、減少數控裝備維修費用以及延長數控裝備使用壽命等具有重要的意義[15]。

在維修實際中，由于設備自身特性以及實際運行條件等各種原因，設備狀態劣化的發展過程通常不是嚴格按照統計出來的性能曲線的過程發展，而是劣化程度存在偏差的情況[16～18]。針對這一問題，本文根據修正的思想將先驗概率加以修正，建立基于貝葉斯理論的維修決策模型，以實現基于設備實際狀態的維修決策。

1 基于貝葉斯理論的維修決策模型

基于貝葉斯理論的維修決策模型，從刀具個體差異性角度出發，根據貝葉斯理論得到刀具當前狀態的后驗分布，然后再結合性能曲線確定刀具未來某一時刻狀態，得到不同時刻點的維修成本，最后根據基于維修成本最小化的原則確定最優的維修方案。

1）狀態向量A

狀態向量指設備的全部可能狀態的集合。一般，設備狀態可分為正常、不正常和故障三種狀態。由于設備處于故障狀態時必須進行維修，而本文討論的主題是選擇最佳設備維修時機，因此，故障狀態不需要考慮，設備狀態只需考慮正常和不正常即可。設設備狀態向量A為：

根據產品質量，產品狀態分為合格和不合格，因此，定義產品狀態向量C為：

2）先驗概率和后驗概率

先驗概率指根據以往經驗和分析得到的概率。設備性能曲線通常由歷史統計數據分析得到，如圖1所示，反映了設備正常/異常概率與工作時間的關系。因此，設備狀態的先驗概率可以由性能曲線獲得，根據設備運行時間t即可在性能曲線上得到設備正常的先驗概率Pt1(A1)以及設備不正常的先驗概率Pt1(A2)。

圖1 設備性能曲線

后驗概率指利用新的信息修正先驗概率后獲得的更接近實際情況的概率估計，表示為Pt1(A2|B)，其中，B為抽樣事件：在t1時刻，在設備加工后的產品中抽取m件產品，有n件不合格，其余合格。本文將利用貝葉斯理論來計算后驗概率。

根據貝葉斯理論，設有構成事件完備組的2個事件Ai（i=1，2），t1時刻各事件發生的概率分別為Pt1(Ai)，獨立事件B發生的概率為P(B)。假設事件B在事件Ai條件下發生的概率為Pt1(B|Ai)，則t1時刻事件Ai在事件B條件下發生的概率為：

公式（3）中， Pt1(Ai|B)為t1時刻事件Ai的后驗概率， Pt1(Ai)為t1時刻事件Ai的先驗概率， B為觀測樣本事件。

根據條件概率公式可以得到：

式（4）、（5）中m, n分別為抽樣總數和抽樣次品數，將式（4）、（5）代入公式（3）中，得到t1時刻設備狀態為正常、異常的后驗概率Pt1(Ai|B)（i=1,2）為：

后驗概率Pt1(Ai|B)是在設備統計概率Pt1(Ai)基礎上修正得到，通過對設備設置抽樣事件增加信息量，克服了統計概率不針對個體的缺點，得到更加符合設備自身實際的概率分布。后驗概率的引入，為更準確地評價設備所處狀態提供了一個途徑，也為正確選擇維修決策提供了基礎，是一種簡單的基于狀態的維修策略。

根據后驗概率Pt1(A2|B)在性能曲線中得到相應的運行時間t1’，即性能曲線上t1’時刻概率Pt1’(A2)=Pt1(A2|B)，記Pt1’(A2)為考慮設備實際運行狀態后t1時刻對應的當量概率，則有Pt1’(A2)=Pt1’(A2)=Pt1(A2|B)，反映了設備的實際劣化狀態。修正后的概率才是設備實際的故障概率。應當是根據修正后的概率，找到一個對應的時間點（當量時間），就相當于設備已經運行了更長的時間，所以才有更高的故障率。從時間上說，由于設備加劇了劣化，所以更接近于失效，壽命變短，不能運行到預期的時間點。當然，如果設備保養得好，也有可能是修正后的概率更低，那就意味著設備可以使用更長的時間。

設下一維修時刻為t2時刻，由當前修正后的點t1’時刻容易得到下一維修時刻t2時刻，并在性能曲線中得到t2時刻對應的設備狀態異常的概率Pt2(A2)，如圖1所示。繼而得到t2時刻設備狀態正常概率Pt2(A1)=1- Pt2(A2)。

3）概率矩陣P

把某一時刻設備各狀態的概率組成一個矩陣，稱為該時刻的概率矩陣P。設t1時刻的概率矩陣為P1，t2時刻的概率矩陣為P2，則有：

4）維修決策向量Q

維修決策向量指設備全部可能維修方案的集合，設維修方案包括立即維修和暫不維修。則維修決策向量Q為：

5）約束條件

當設備運行時間超過最大允許運行時間或抽樣事件次品率超過允許值時，均需立即維修。為了保證設備安全性，設約束條件：

公式（10）中，t為設備運行時間，tmax為設備最大允許運行時間， p(B)為抽樣次品率，p(B)max為抽樣允許最大次品率。

6）維修成本矩陣F

維修過程中可能存在零件更換、生產產品質量、設備停機和人力資源等方面的損耗，同時零件的使用壽命也影響著維修的總成本，當零件使用時間超過其設定壽命時，超出的使用時間會減少廠家對零件的投資成本，本文把因為零件使用壽命延長所減少的投資稱為節省投資成本；當零件超出其壽命時，節省投資成本為正值，反之為負值。因此，本文所討論的維修過程中的成本包括次品成本、零件成本、停機成本、人工成本和節省投資成本。在給定設備狀態下，不同的決策行為會有不同的維修成本。將不同設備狀態、決策行為下，各維修成本的數值表示成一個矩陣，稱為維修成本矩陣，記為F。因此，采取qi（i=1,2）維修決策時的維修成本矩陣Fi為：

公式（11）中各元素分別表示采用決策qi時的各維修要素。分別是設備狀態為正常（A1）、不正常（A2）時的次品成本；分別是設備狀態為正常（A1）、不正常（A2）時的零件成本；分別是設備狀態為正常（A1）、不正常（A2）時的停機成本；分別是設備狀態為正常（A1）、不正常（A2）時的人工成本；分別是設備狀態為正常（A1）、不正常（A2）時的節省投資成本。

7）維修總成本U

維修總成本是各維修決策方案所產生的維修成本。維修總成本矩陣可表示為：

根據最小維修成本的原則，得到基于貝葉斯理論維修決策模型的最優決策qmax為：

若U1＜ U2,選取q1為維修決策；反之選取q2為維修決策。

2 加工中心刀具維修時機決策

刀具是加工中心的重要部件，刀具狀態的好壞直接影響著工件的加工質量。因此，刀具的合理更換是生產質量和經濟性的重要保證。已知廠家提供的刀具性能曲線如圖2所示，刀具平均壽命為加工工件950件，刀具已經加工工件數為800件，在刀具加工的產品中，抽取300件產品，有1件不合格，其余合格。

圖2 刀具性能曲線

工廠歷史運行數據表明，刀具狀態正常時產品合格率為99.9%，刀具狀態不正常時產品合格率為99%。廠家規定：產品抽樣不合格率不得高于1%，刀具加工工件數不得超過1200件。以一天為時間段，刀具狀態為正常、不正常時產生的次品數分別為1件和5件，一件次品損失500元，停機時間一小時損失30000元，因為刀具原因而停機后維修時間一般為0.5小時，即每次停機損失為15000元，刀具壽命延長一天節省的投資成本為1000元。刀具維修過程中，維修類型分為預防性維修和故障維修。當設備狀態正常時，實施預防性維修；當設備狀態不正常時，實施故障維修。當前時刻（t1時刻）和下一時刻（t2時刻）的維修成本如表1、表2所示。

表1 t1時刻維修成本表

表2 t2時刻維修成本表

在圖2中，橫坐標為刀具已加工工件數，縱坐標為刀具失效率。由刀具加工工件數為800，可知其先驗失效率為0.007，即刀具先驗概率分布為：

由已知條件可知，當設備狀態為正常或不正常時，產品合格率分別為：

將上述先驗概率與條件概率的數據帶入公式（6）和公式（7），得到此時刀具狀態的后驗概率為：

通過圖2和Pt1’(A2)，得到修正后的當量工件數為680件，按每天加工100件工件，往后推一天得到第二天t2時刻加工工件數為780，由圖2可知t2時刻刀具狀態分布為：

得到t1時刻和t2時刻概率矩陣分別為：

因t1時刻和t2時刻刀具均未超出平均壽命，其節省投資成本分別為：

采用決策q1即立即維修時，維修類型為預防性維修，記此時維修成本矩陣為F1；采用決策q2即暫不維修時，維修類型為預防性維修或故障維修，記此時維修成本矩陣為F2，有：

得到：

因為U1＞ U2，所以最優決策為q2：暫不維修。

曲線中t2時刻異常概率Pt2(A2)可以作為t2時刻的先驗概率，在t2時刻時，同樣可以采用抽樣事件增加信息量，得到t2時刻的后驗概率，不斷修正刀具所處狀態，使其更真實地反映劣化狀態，并在此基礎上得到t2時刻的最優維修決策，如此反復，依次得到下一時刻點的最優維修決策。

3 結束語

本文建立了一種基于貝葉斯理論的維修決策模型，適用于設備先驗概率已知、抽樣事件容易實施的維修決策的選擇。刀具的維修決策結果表明，基于貝葉斯理論的后驗概率不僅能較好地修正先驗概率，更為重要的是反映了設備更為真實的劣化狀態，為維修決策提供了重要依據，從而減少設備的維修不足和過度維修，保證了設備的安全運行和經濟運行。本文研究成果為企業施行狀態檢修提供了一種途徑，具有有益的參考意義。

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